双曲线考点与题型归纳

1、双曲线考点与题型归纳、根底知识1. 双曲线的定义平面内到两个定点 Fi, F2的距离的差的绝对值等于常数2a? (2av |FiF2|)的点P的轨迹叫做双曲线？ 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.?当|PFi| |PF2|= 2a2av|FiF2|时,点P的轨迹为靠近 F2的双曲线的一支当|PFi |PF2|= 2a2av|FiF2|时,点P的轨迹为靠近 Fi的双曲线的一支.?假设2a = 2c,那么轨迹是以Fi, F2为端点的两条射线；假设 2a>2c,那么轨迹不存在；假设 2a =0,那么轨迹是线段 FiF2的垂直平分线2. 双曲线的标准方程(i)中央在坐标

2、原点,焦点在x轴上的双曲线的标准方程为2x_b> 0).(2)中央在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线的标准方程为當b2= i(a>0,b> 0).3.双曲线的几何性质标准方程p y2= i(a>0, b>0)£首i(a > 0, b> 0)范围|x|>a, y R|y|>a, x R对称性对称轴：x轴,y轴；对称中央：原点焦占八'、八、Fi( c,0), F2(c,0)Fi(0, c), F2(0, c)顶点Ai ( a,0), A2(a,0)Ai (0, a), A2(0, a)轴线段AiA2, BiB2分别是双曲线的实轴

3、和虚轴；实轴长为2a,虚轴长为2b焦距|FiF2|= 2c离心率e=气/i+ 2 (i ,+s )e是表示双曲线开口大小的aa一个量,e越大开口越大.渐近线y=±xy=±)xa, b, c的关系a2= c2 b2、常用结论(1)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b,也叫通径.a与双曲线令by2 = 1(a> 0, b> 0)有共同渐近线的方程可表示为 £=t(tz 0).(3)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.假设P是双曲线右支上一点,Fl, F2分别为双曲线的左、右焦点,贝y|PFi|min = a + c,|PF 2|min = C a.考

4、点一 双曲线的标准方程典例(1)(2021石家庄摸底)双曲线过点(2,3),渐近线方程为y= ±.3x,那么该双曲 线的标准方程是()7x2 y2_ 4A* 詰-12 =C. x2彳=12 2B.Z x-= 132点x2彳D. = 123232 2(2021天津高考)双曲线 予治=1(a> 0, b > 0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A, B两点.设A, B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且di + d2= 6,那么双曲线的方程为( x2A.412= 1)x2 y2B. = 1124cx2y2= 1C.39解析法一：当双曲线的焦点在

5、x轴上时,设双曲线的标准方程是 羊一$= 1(a>0,49了孑 1,b> 0),由题意得讥,a解得a 1厂所以该双曲线的标准方程为x2£ = 1 ；b = .3,3当双曲线的焦点在 y轴上时,设双曲线的标准方程是o| 琴=1(a > 0, b > 0),由题意得94 一厂产1 ,无解.故该双曲线的标准方程为X2 卜1,选C.法二：当其中的一条渐近线方程y= '3x中的x = 2时,y= 2 '3>3,又点2,3在第一象限,所以双曲线的焦点在 x轴上,设双曲线的标准方程是 羊一£= 1a>0, b>0,由题意得49了疋

6、=1,a= 1,y2解得所以该双曲线的标准方程为x2詈=1,应选C.b=J3,法三：由于双曲线的渐近线方程为 y= ±3x,即扌3= ±<,所以可设双曲线的方程是 x2 3 = X入工0,将点2,3代入,得 入=1,所以该双曲线的标准方程为x2£ = 1,应选C.法一：如图,不妨设 A在B的上方,那么A c, Bc,-密.又双曲线的一条渐近线为bx ay= 0,bc b2+ bc+ b2 2bC 那么 d1+d2=2= T=2b&7R=6,所以 b = 3.又由 e= C= 2,知 a2 + b2= 4a2,所以 a = .'3. a所以双曲

7、线的方程为3g法二：由di+ d2= 6,得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3,所以b = 3由于双曲线2 x_ a2y2= 1(a>0, b>0)的离心率为2,所以c= 2,所以 =2 = 4,所以葺M= 4,解得a2= 3,所以双曲线的方程为x2y2=1,应选 c.答案1C题组练习2 21.双曲线Fi, F2,点P在双曲线的右x2 y2= 1(a>0, b>0)的左、右焦点分别为a b支上,假设|PF1| |PF2|= 4b,且双曲线的焦距为 2 ,5那么该双曲线的标准方程为x224A.4 - y2=1C. x2与=14B.X2 亡 132d.x2|PF1| |PF2

8、= 2a = 4b,解析：选A 由题意可得c2= a2+ b2,2c= 2 5,2a = 4,x2解得那么该双曲线的标准方程为j y2= 1.b2= 1,42.双曲线x2y2-y2= 1(a>0, b>0)的实轴长为4,离心率为 "5,那么双曲线的标准方程为()A.x22仏=116勞-解析：选A2由于双曲线务ay2b2=1(a>0, b>0)的实轴长为4,所以a= 2,由离心率为.5,可得a= .5, c= 2.5,所以b= c2 a2= 20 4= 4,那么双曲线的标准方程为 匚屮6=1.3. 经过点P(3,2 7), Q( 6 2, 7)的双曲线的标准方程

9、为解析：设双曲线方程为mx2 + ny2= 1(mnv 0),由于所求双曲线经过点P(3,2 7), Q( 6 .2, 7),9m + 28n = 1, 所以72m + 49 n= 1,m=_175,解得1 n= 25.故所求双曲线方程为亡x225 75=1.答案:25- 75=1考点二双曲线定义的应用考法(一)利用双曲线的定义求双曲线方程典例动圆 M与圆Ci : (x+ 4)2 + y2= 2外切,与圆 C2 : (x 4)2+ y2= 2内切,贝V 动圆圆心M的轨迹方程为()X2 y2X2 y2A迈u= 1" 2) £= 1(x < ,2)C.f +14= g .

10、2)D-f + J； = i(x< 2)解析设动圆的半径为r,由题意可得|MCi|= r +羽,|MC2|= r 评,所以|MCi|MC2| =2 2= 2a,故由双曲线的定义可知动点 M在以Ci( 4,0), C2(4,0)为焦点,实轴长为 2a = 2 .2的双曲线的右支上, 即a= 2, c= 4? b2= i6 2= i4,故动圆圆心 M的轨迹方程为 弓一i；= i(x>2)-答案A解题技法利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出双曲线方程.考法(二)焦点三角形问题典例Fi, F2为双曲线 C: x2 y2 = i的左、右焦点,点 P在C

11、上,/ FiPF2 = 60° 那么 |PFi| PF2|等于()A . 2B . 4C. 6D . 8解析由双曲线的方程得 a = 1, c= , 2,由双曲线的定义得|PFi| |PF2|= 2.在APFiF2中,由余弦定理得|FiF2|2= |PFi|2+ |PF2|2 2|PFi| PF2|cos 60°即(2 ,2)2 = |PFi|2+ |PF2|2 |PFi| PF2|=(|PFi| |PF2|)2+ |PFi| P|=22 + |PFi| P|,解得 |PFi| PF2|= 4.答案B解题技法在双曲线中,有关焦点三角形的问题常用双曲线定义和解三角形的知识来解

12、决,尤其是涉及PFi|, IPF21的问题,一般会用到双曲线定义涉及焦点三角形的面积问题,假设顶角B已1知,那么用Sapf1f2= 2|PFi|PF2|sin 0, |PFi|-|PF2|= 2a及余弦定理等知识；假设顶角B未知,那么E1用 Sapf1f2= 2 C y0|来解决.题组练习1. 点Fi 3,0和F23,0,动点P到Fi, F2的距离之差为4,那么点P的轨迹方程为a.手=i(y>0)B. X4y5= i(x>0)乞 x2= 1(y>0)C.45D.-学 i(x>0)解析：选B由题设知点p的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支,设其方程为g2bj2= 1(x

13、>0, a>0,2Xb>0,由题设知c= 3, a= 2, b2= 9 4= 5,所以点P的轨迹方程为 -5 = 1(x>0).2.双曲线x2 24= i的两个焦点为Fi, F2, P为双曲线右支上一点.假设4PFi|-3|PF2|,那么 FiPF2的面积为24A. 48C. 12解析：选B 由双曲线的定义可得|PFi| |PF2|= 1|PF2|= 2a= 2,解得 |PF2|= 6,故 |PFi|= 8,又 |FiF2|= 10,由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形,因此 Szf1pf2= 2|PFi| PF2|= 24.考点三双曲线的几何性质考法一求双曲线的

14、离心率或范围x2 y典例2021长春二测双曲线 孑一器=1a>0, b>0的左、右焦点分别为Fi,F2,点P在双曲线的右支上,且|PFi|= 4|PF2|,那么双曲线离心率的取值范围是5 c5A. 3,2B. 1,35,C. 1,2D. 3,+2a解析由双曲线的定义可知|PFi|PF2|= 2a,又|PFi|= 4|PF2|,所以|PF2| = _y,由双曲2 ac 55线上的点到焦点的最短距离为c a,可得j> c a,解得-< 3,即ew3,又双曲线的离心5率e> 1,故该双曲线离心率的取值范围为1, 3,应选B.答案B解题技法1. 求双曲线的离心率或其范围的

15、方法亠c2 a2+ b2 * b2±亠+1求a, b, c的值,由-2=厂=1 + 2直接求e.a aa2列出含有a, b, c的齐次方程或不等式,借助于b2 = c2 a2消去b,然后转化成关 于e的方程或不等式求解.2. 求离心率的口诀归纳离心率,不用愁,寻找等式消b求；几何图形寻迹踪,等式藏在图形中.考法二求双曲线的渐近线方程X2 y2典例2021武汉局部学校调研双曲线C: m2器=1m> 0, n>0的离心率与椭X2 y2圆其+±=1的离心率互为倒数,那么双曲线C的渐近线方程为2516A. 4x±3= 0B. 3x±4= 0C. 4x

16、±3= 0 或 3x±4= 0D. 4x± 5= 0 或 5x±4= 0解析由题意知,椭圆中a= 5, b= 4,椭圆的离心率e= " . 1詈,二双曲线的 离心率为".1+m=3,m=3,双曲线的渐近线方程为丫=爭=±,即4x±3=0应选 A.答案A解题技法求双曲线的渐近线方程的方法X2 V2y2 x2求双曲线 孑器=1(a > 0, b> 0)或拿孑=1(a> 0, b > 0)的渐近线方程的方法是令右边x2 y2by2 Xa的常数等于0,即令孑*= 0,得V=专X；或令拿孑=0,得y=

17、±bx.反之,渐近线方 程为y= ±x,可设双曲线方程为X2 £= Xa>0, b>0,仔0) aa b题组练习x2 y21. (2021潍坊统一测试)双曲线 器一器=1(a>0, b>0)的焦点到渐近线的距离为3,且离心率为2,那么该双曲线的实轴的长为 ()A. 1C. 2B. .；3D . 2 ,'3解析：选C由题意知双曲线的焦点(c,0)到渐近线bcbx ay= 0的距离为 (=b =Ja2+ b253,即c2 a2= 3,又e= a = 2,所以a = 1,该双曲线的实轴的长为 2a= 2.ax 22. 直线I是双曲线C :

18、 y4 = 1的一条渐近线,P是直线I上一点,F1, F2是双曲线C的左、右焦点,假设> >PF1 PF2 = 0,那么点P到x轴的距离为()2.3A. 3B.、：2C. 22 6 D. 3解析：选C 由题意知,双曲线的左、右焦点分别为F1( .'6, 0), F2( 6, 0),不妨设直线 I 的方程为 y=>/2x,设 P(X0, 72x0).由品 卍=( 6 X0,2x0) X0,近X0)= 3x2 6 = 0,得 X0= ±.'2,故点 P 到 x 轴的距离为 | .-'2X0| = 2,应选 C.3. (2021成都一诊)如图,双曲

19、线 E：孑一活=1(a> 0, b > 0), 长方形ABCD的顶点A, B分别为双曲线 E的左、右焦点,且点 C, D 在双曲线E上,假设AB|= 6, |BC|= §那么双曲线E的离心率为()A"B.|D. .''5解析：选D 由双曲线的标准方程可得a = 1,那么|PFi|PF2|= 2a = 2,即|6|PF2|= 2,解析：选B根据|AB| = 6可知c= 3,又|BC|= ,所以b =5, b2=号a,所以c2 = a2+号a2a 222c=9,解得a= 2(舍负),所以e= a =a32.4. (2021郴州二模)双曲线= 1(m&

20、gt;0)的一个焦点在直线 x+ y= 5上,那么双曲线的渐近线方程为()a y=B. y=C. y =D. y=解析：选b由双曲线mx291(m> 0)的焦点在y轴上,且在直线 x+ y= 5上,直线 x+ y= 5与y轴的交点为(0,5),有 c = 5,贝U m+ 9= 25,得m= 16,所以双曲线的方程为y6_x9=1,4故双曲线的渐近线方程为 y = ±3x.应选B.课时跟踪检测A级1. (2021襄阳联考)直线I: 4x 5y= 20经过双曲线C: |2-b= 1(a>0, b>0)的一个焦点和虚轴的一个端点,那么双曲线C的离心率为()A 5c 3A.

21、B匚C. 83 5解得|PF2|= 4或8.3. 2021全国卷川x2双曲线C：孑2b= 1a>0, b>0的离心率为2,那么点4,0到C的渐近线的距离为A. 2解析：选Dc -e=ab2_ b+ a2= 2,Aa = 1.双曲线的渐近线方程为x± = 0.点4,0到C的渐近线的距离d= 42 = 24.假设实数k满足0 < k< 9,那么曲线箱-芒=1与曲线启-yA 离心率相等B 虚半轴长相等C.实半轴长相等D .焦距相等解析：选D 由0<k<9,易知两曲线均为双曲线且焦点都在x轴上,由 25+ 9 k =25 k+ 9,得两双曲线的焦距相等.5

22、. 2021陕西局部学校摸底在平面直角坐标系 xOy中,双曲线Ci： 2X2 y2= 1,过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行直线, 那么该直线与另一条渐近线及x轴所围成的三角形的面积为A亚A. 42R返B. 22解析：选C设双曲线C1的左顶点为A,那么A ¥,0,双曲线的渐近线方程为y=土. 2x,不妨设题中过点 A的直线与渐近线y = . 2x 平行,那么该直线的方程为y= 2 x+于,y= V2x,即y= ,2x+ 1联立y= 7 2x+ 1,x= 解得所围成的三角形的面积 S= 2 -OA|1y= 2.所以该直线与另一条渐近线及x轴彳,应选C.6. (2021 宁五校协作体

23、模考)在平面直角坐标系 xOy中,双曲线 C：学= 1(a>0, b>0)的离心率为 于,从双曲线 C的右焦点F引渐近线的垂线,垂足为 A,假设 AFO 的面积为1,那么双曲线C的方程为()x2 y2 彳ox22 .B.y2= 14 yA = 12 82 2x y .C = 1C.416解析：选D 由于双曲线C的右焦点F到渐近线的距离|FA|= b, |0A|= a,所以ab= 2,又双曲线C的离心率为.5,所以, 1+ p= 5,即b2= 4a2,解得a2= 1, b2= 4,所以双曲线c的方程为x2-y4 = i,应选d.7. (2021北京高考)假设双曲线 £ 7

24、= 1(a>0)的离心率为 ¥,贝U a=a 42解析：由e=aa2+ b2a2 + 4 5a2,得 1T = 4,/a2= 16.答案：4&过双曲线x2的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于B两点,贝U |AB|=解析：双曲线的右焦点为F(2,0),过F与x轴垂直的直线为x= 2,渐近线方程为x2 -=0,将 x= 2 代入 x2-y3 = o,得 y2= 12, y= ±23,故 |AB|= 43.答案：4.39. (2021海淀期末)双曲线|2冷=1(a>0, b>0)的渐近线为正方形 OABC的边OA,OC所在的直线,点 B为

25、该双曲线的焦点.假设正方形OABC的边长为2,那么a =解析：双曲线乍一y2= 1的渐近线方程为y= fx,由可得两条渐近线互相垂直,由双曲线的对称性可得 一=1又正方形 OABC的边长为2,所以c= 2 E,所以a2+ b2= c2 =a(2 ,2)2,解得 a = 2.答案：210. (2021南昌摸底调研)双曲线Cx2a22b2= 1(a>0, b> 0)的右焦点为 F,过点F作圆(x a)2+ y2=看的切线,假设该切线恰好与的一条渐近线垂直,那么双曲线C的离心率解析：不妨取与切线垂直的渐近线方程为y=,由题意可知该切线方程为y=ac2cc16c), 即卩ax+ by ac

26、= 0圆(x a)2 + y2=花的圆心为(a,0),半径为4,那么圆心到切线的距离d =|a2 ac| ac a2 cc=c = 4,又e=a,贝U e2 4e+ 4 = 0,解得e= 2,所以双曲线 C的离心率e= 2. a2+ b2 c4a答案：211. 双曲线的中央在原点,焦点Fi, F2在坐标轴上,离心率为,2,且过点(4 ,10),点M(3 , m)在双曲线上.(1) 求双曲线的方程；> >(2) 求证：MF1MF2= 0 ；(3) 求厶F1MF2的面积.解：(1)'/e= 2,双曲线的实轴、虚轴相等.那么可设双曲线方程为x2 y2=入双曲线过点(4, .10)

27、,'16 10=入 即 入=6.x2 y2双曲线方程为-& = 1.(2)证实：不妨设F1, F2分别为双曲线的左、右焦点, 那么MH = ( 2书一3, m), MM= (2羽一3, m). MF 1 MF 2= (3 + 21'3) X (3 2>j3) + m2 = 3 + m2,/ M点在双曲线上,-9 m2 = 6,即 m2 3= 0,- MF1 MF 2= 0.(3) F1MF2 的底边长 |F1F2| = 4 3.由(2)知 m=±. 3. F1MF2的高 h= |m|= 3,1 - SAF1 MF2 = 2 4 3X 3 = 6.12.

28、中央在原点,焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点Fi, F2,且|FiF2|= 2 ,13 ,椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4,离心率之比为3 : 7.(1)求椭圆和双曲线的方程；假设P为这两曲线的一个交点,求cos/ F1PF2的值.解:(1)由题知c= 13,设椭圆方程为+ £= 1(a>b>0),双曲线方程为2%= 1(m>0 ,a bm nn>0),a m= 4,那么解得 a= 7, m= 3.那么 b= 6, n = 2.故椭圆方程为49+卷=1,双曲线方程为 罟£ = 1.不妨设F1, F2分别为椭圆与双曲线的左、右焦点,P是第一

29、象限的交点,那么|PF1|+ |PF2|= 14, |PF1| |PF2|= 6,所以 |PF1|= 10, |PF2|= 4.又|F1F2|= 2.13,所以 COS/F1PF2=|PF1| X 10X 4= 5.+ |PF2|2 |F1F2|22|PF1|PF2|102+ 42 2 .13 24y= kx与双曲线C:y2= 1(a>0, b>0)有两个 bb由题意知a> . 3,1+b2> 4,即宦 a2> 2.922. (2021吉林百校联盟联考)如图,双曲线C:孑一b9= 1(a>0, b>0)的左、右焦点分别 为Fi, F2,直线I过点Fi且与双曲线C的一条渐近线垂直,与两条渐近线分别交于M, NC. y V两点,假设|NFi|= 2|MFi|,那么双曲线C的渐近线方程为()B . y= ± 3xD. y= +