参数方程新题培优练

1、根底题组练1. 在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,并在两坐标系中取相同的长度单位.曲线C的极坐标方程为p= 2cos 0,直线I的参数方程为X= 1 + tcos a ,(t为参数,a为直线的倾斜角).y= tsin a(1)写出直线I的普通方程和曲线 C的直角坐标方程；假设直线I与曲线C有唯一的公共点,求角a的大小.n解：当a=u时,直线I的普通方程为X = 1 ；n当a丰亍时,直线I的普通方程为 y= (x+ 1)tan a .由 p= 2cos 0,得 p= 2 pos 0 ,所以 x2+ y2= 2x,即为曲线C的直角坐标方程.把 x= 1 + tcos

2、a , y= tsin a 代入 x2 + y2= 2x,整理得 t2 4tcos a + 3= 0.3由= 16cos2 a 12= 0,得 cos2 a = 4,所以cosa =于或cos故直线I的倾斜角a为；或5n.6 62以极点为原点,以极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系,曲线C的极坐标方x= 3 + 5cos a ,程为p= 10,曲线C的参数方程为(a为参数).y= 4+ 5sin a ,(1) 判断两曲线C和C的位置关系；(2) 假设直线I与曲线C和C均相切,求直线I的极坐标方程.解：(1)由 尸10得曲线C的直角坐标方程为 x2 + y2= 100,x= 3+ 5cos a ,

3、由得曲线C的普通方程为(x 3)2+ (y+ 4)2 = 25.y= 4 + 5s in a曲线C表示以(0, 0)为圆心,10为半径的圆；曲线C表示以(3, 4)为圆心,5为半径的圆.由于两圆心间的距离 5等于两圆半径的差,所以圆 C和圆C的位置关系是内切.x2+ y2= 100,由(1)建立方程组(x 3)2+( y+ 4)2 = 25,x= 6,3解得可知两圆的切点坐标为(6, - 8),且公切线的斜率为3,y= 8 ；4所以直线I的直角坐标方程为 y+ 8 = 3(x 6),即 3x 4y 50 = 0,所以极坐标方程为 3 pcos 0 4 pin 0 50= 0.3. (2021湘

4、东五校联考)平面直角坐标系xOy中,倾斜角为 a的直线I过点M( 2,4),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为 pin20 = 2cos 0.(1)写出直线I的参数方程(a为常数)和曲线C的直角坐标方程;x= 2+ tCOS a,解：直线I的参数方程为(t为参数),y= 4+ tsin a假设直线I与C交于A, B两点,且|MA| |MB|= 40,求倾斜角 a的值.sin a4. (2021湖北八校联考)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1x = . 3cos a, y = sin ap sin20 = 2cos 0,即psin2 0 = 2pcos0,将

5、x=pos0 ,y=p sin 0代入得曲线C 的直角坐标方程为y2 = 2x.(2)把直线I的参数方程代入y2 = 2x,得t2si n2 a (2cos a+ 8s in a)t+ 20 = 0 ,设A , B对应的参数分别为t1 , t2 ,由一元二次方程根与系数的关系得,t12=2cos a8sin a ,加2=鼻 ,sin asin a根据直线的参数方程中参数的几何意义,得|MA| |MB|= |tit2|= 2°- = 40,得a=n或 a3n4 .又= (2cos a+ 8sin 评一80sin2 a >0 ,所以a= n(a是参数),以原点O为极点,x轴的正半轴

6、为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为pin 0 + ；=返(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；设P为曲线C1上的动点,求点 P到C2的距离的最大值,并求此时点P的坐标.x2解：曲线C1的普通方程为-+ y2= 1,由pin 0 + n ,得pin 0+ p cos 0= 2,得曲线C2的直角坐标方程为 x+ y 2 = 0.设点P的坐标为(3COS a, sin a),那么点P到C2的距离为| 3cos a+ sin a 2|,n小2sin a+ 3 22 ,当 sin a += 1,即na+ 3=n2+ 2knK Z),5n+ 2K nK Z)时,所求距离最大,最大值为

7、 2 2,此时点P的坐标为32,综合题组练1. (2021郑州市第一次质量测试角为a,以坐标原点为极点,)在平面直角坐标系X轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线xOy中,直线I过点(1, 0),倾斜C的极坐标方程是 pn(2)假设a= 4,设直线I与曲线C交于A,B两点,求 AOB的面积.解：(1)由题知直线x= 1 + tcosl的参数方程为y= tsina,(t为参数).由于8cos 0p=厂7,所以 pin20 = 8cos 01 cos 0所以 Psin2 0 = 8 pcos 0 即 y2= 8x.法一：当a=,直线I的参数方程为x = 1 +t, 厂(t为参数),y = 2t代入 y

8、2= 8x 可得 t2 8 2t 16= 0,设A, B两点对应的参数分别为ti, t2,那么ti+ t2= 8 , 2, ti t2= 16,8cos 0所以 |AB|=|t1 t2|=' (t1 +12) 2 4t1 t2= 8 3.又点O到直线AB的距离d = 1 X sin-2,所以 Saaob = *AB|X d= cos2 0 .(1)写出直线I的参数方程和曲线 C的直角坐标方程;X 8 3X-= 2 6.法二：当a= n时,直线I的方程为y= X 1 ,设 M(1 , 0), A(X1, y1), B(X2, y2),y2= 8x,由得 y2 = 8(y+1),y=x 1

9、 ,即 y2 8y 8= 0,由根与系数的关系得y1+ y2= 8,y1y2= 8,1 1 1 1SAOB= 2|OM |y1 y2|= 2 x 1 X 寸(y1 + y) 2 4y1y2 = X 寸82 4X ( 8)= - X 4承= 2 6.x= cos 92. (2021高考全国卷 川)在平面直角坐标系 xOy中,O O的参数方程为n (9为y= sin 9参数),过点(0, 2)且倾斜角为 a的直线I与O O交于A, B两点.(1) 求a的取值范围；(2) 求AB中点P的轨迹的参数方程.解：(1)O O的直角坐标方程为 x2 + y2= 1.n当a=2时,I与O O交于两点.当灯时,

10、记tan a= k,那么l的方程为y= kx- ,2.l 与0 O交于两点当且仅当.1；2v 1,解得kv 1或k> 1,即3n4n综上,a的取值范围是一43n4X= tcos a ,(2)l的参数方程为(t为参数,y=寸 2+ tsin anV aV4设A, B, P对应的参数分别为tA, tB, tP,那么tP= AB,且 tA, tB满足 t2 2.2tsin a+ 1 = 0.于是 tA+ tB = 2 . 2s in a, tp= , 2sin a .X = tPCOs a ,又点P的坐标(x, y)满足y = p2+ tpsin a ,所以点P的轨迹的参数方程是x= sin

11、2 a ,av 3nn).2n(a为参数,v迈迈4y= 2 2 cos 2 aX= 2cos a,3. (2021惠州市第二次调研)曲线C:.(a为参数)和定点A(0,3), F1,y=寸3sin aF2是此曲线的左、右焦点,以原点O为极点,以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线AF2的极坐标方程；经过点Fi且与直线AF2垂直的直线I交曲线C于M , N两点,求|MFi|NFi|的值.X 2C0S a,x2 y2解：曲线C:可化为-+ y = 1,故曲线C为椭圆,y = v3si n a43那么焦点 Fi( i, 0), F2(1, 0).所以经过点A(0,3)和F2(1, 0)的直线

12、AF2的方程为x +1,即 卩 3x+ y 3 = 0,所以直线AF2的极坐标方程为J3 p cos 0+ pin 0=3.由(1)知,直线AF2的斜率为一.3,由于I丄AF2,所以直线I的斜率为 呼,即倾斜角3X= 1 +呉为30°所以直线I的参数方程为(t为参数),1y= 2t代入椭圆C的方程中,得13t2 12 3t 36= 0.由于点 M , N 在点 F1 的两侧,所以 |MF1|NF1|=|t1 + t2| =4. (综合型)(2021南昌市第一次模拟)在平面直角坐标系 xOy中,曲线C1过点P(a, 1),其参数方程为x= a+ 2ty= 1+ 2t(t为参数,a R)

13、.以O为极点,x轴非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为pcoS2 0 + 4cos 0 尸0.(1)求曲线C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程;曲线C1与曲线C2交于A, B两点,且|PA|= 2|PB|,求实数a的值.解：(1)由于曲线C1的参数方程为x= a+ . 2ty= 1 + . 2t所以其普通方程为x y a+ 1 = 0.由于曲线C2的极坐标方程为 pcos2 0 + 4cos 0 p= 0,所以 pcos2 0 + 4 pcos 0 p = 0,所以 x2 + 4x x2 y2= 0,即曲线C2的直角坐标方程为y2= 4x.设A, B两点所对应的参数分别为t1, t2,y2= 4x,由 x= a+写2t,y= 1 + ,2t得 2t2 2 ,2t + 1 4a = 0.A = (2 ,2)2 4 X 2(1 4a)>0,即a>0,由根与系数的关系得ti + t2=21 4atit2=根据参数方程的几何意义可知|PA|= 2|ti I,