电磁场与电磁波(第三版)课后答案__谢处方

1、.第二章习题解答2.1一个平行板真空二极管内的电荷体密度为40U 0 d 4 3x 2 3 ，式中阴极板位9于 x 0 ，阳极板位于xd ，极间电压为U0 。如果 U040V 、 d 1cm 、横截面S 10cm 2 ，求：（ 1） x0 和 xd 区域内的总电荷量Q ；（ 2） xd 2 和 x d 区域内的总电荷量 Q 。d44解 （1）Qd(0U 0 d 4 3 x 2 3) Sd xUS 4.72 10 11 C0923d00（）d44 (11 ) 0U0SQd(0U 0 d 4 3 x 2 3 ) Sd x0.97 10 11 Cd 293d3 22.2一个体密度为2.3210 7

2、C m 3 的质子束，通过1000V 的电压加速后形成等速的质子束，质子束内的电荷均匀分布，束直径为2mm ，束外没有电荷分布，试求电流密度和电流。解质子的质量 m1.7 10 27 kg 、电量 q 1.610 19C。由1mv2qU2得v2mqU1.37106 m s故Jv0.318A m 2IJ( d 2)210 6A2.3一个半径为 a 的球体内均匀分布总电荷量为Q 的电荷，球体以匀角速度绕一个直径旋转，求球内的电流密度。解以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z 轴。设球内任一点P 的位置矢量为 r ，且r 与 z 轴的夹角为，则 P 点的线速度为vrer sin球内的电荷体密度为Q4a

3、33故Jv eQ33r sine 3Q 3 r sin4a4a2.4一个半径为 a 的导体球带总电荷量为Q ，同样以匀角速度绕一个直径旋转，求球表面的面电流密度。解以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z 轴。设球面上任一点P 的位置矢量为 r ，且 r 与 z 轴的夹角为，则 P 点的线速度为vrea sin球面的上电荷面密度为QQ4a2e Q故J Sv ea sinsin4a24a2.5两点电荷q1 8C位于 z 轴上 z4 处， q24C 位于 y 轴上 y4 处，求(4,0,0)处的电场强度。.解电荷 q1 在 (4,0,0) 处产生的电场为q1r r12 ex 4 ez 4E10 rr1

4、3(4 2)340电荷 q2 在 (4,0,0) 处产生的电场为q2r r21 ex 4 ey 4E20 rr23(4 2)340故 (4,0,0) 处的电场为EE1E2exeyez 232202.6一个半圆环上均匀分布线电荷l ，求垂直于圆平面的轴线上za 处的电场强度E (0,0, a) ，设半圆环的半径也为a ，如题.图所示。2 6解半圆环上的电荷元l dllad在轴线上 za 处的电场强度为dElarrd40( 2a)3lez(ex cosey sin)d82a0在半圆环上对上式积分，得到轴线上za 处的电场强度为E (0,0, a)d E2l (ezex 2)lez( ex cose

5、y sin)d820a820a2题 2.6图2.7 三根长度均为 L ，均匀带电荷密度分别为l1 、 l 2 和 l3地线电荷构成等边三角形。 设l12l 22 l 3 ，计算三角形中心处的电场强度。解建立题2.7 图所示的坐标系。三角形中心到各边的距离为dL tan30o3 L则26l1oo3l 1E1ey40d (cos30cos150)ey 20 Loo3 l 23 l 1E2(ex cos30ey sin30 )20 L(ex3 ey )8 0 LE3(ex cos30oey sin30o)3l 3(ex3ey )3l1题 2.7图2 0 L8 0L故等边三角形中心处的电场强度为E E

6、1E2E3ey3l1(ex 3 ey ) 3l1(ex3 ey ) 3 l1ey3l 120 L80L8 0 L40 L2.8点电荷q 位于 (a,0,0) 处，另点电荷2q 位于 (a,0,0) 处，空间有没有电场强度 E0 的点？解电荷 q 在 ( x, y, z) 处产生的电场为.E1qex (x a) ey y ezz40 ( x a)2y2z2 3 2电荷2q 在 ( x, y, z) 处产生的电场为E 22q ex ( x a) ey y ez z4 0 ( x a) 2y 2z2 3 2( x, y, z) 处的电场则为 EE1E2。令 E0 ，则有ex ( xa)ey yez

7、z2ex ( x a) ey yez z( x a)2y 2z2 3 2( x a)2y2z2 3 2由上式两端对应分量相等，可得到(x a)( xa)2y 2z2 3 22( x a)( xa)2y2z2 3 2y( xa) 2y2z2 3 22 y( xa)2y2z2 3 2z( xa)2y2z2 3 22z( xa) 2y2z2 3 2当 y0 或 z0 时，将式或式代入式，得a0 。所以， 当 y0 或 z0 时无解；当 y0且 z0 时，由式，有(x a)( x a)32( xa)( xa)3解得x(32 2) a但 x3a 2 2a 不合题意，故仅在(3a2 2a,0,0) 处电场

8、强度 E0 。29一个很薄的无限大导电带电面，电荷面密度为。证明：垂直于平面的 z 轴上 z z0处的电场强度 E 中，有一半是有平面上半径为3z0 的圆内的电荷产生的。解半径为 r 、电荷线密度为ldr 的带电细圆环在z 轴上 z z0处的电场强度为r z0 d rd Eez 2 0 (r 2z02)3 2故整个导电带电面在z轴上 z z0 处的电场强度为r z0 drz01ez 2 0E ez 0 2 0 (r 2z02 )3 2ez 2 0 (r 2z02 )1 20而半径为3z0 的圆内的电荷产生在z轴上 zz0 处的电场强度为3z0rz0 d rz03z0Eezez10 2 0 (r

9、 2 z02)2 0 (r 2ez3 2z02 )1 2 04 02.10 一个半径为 a 的导体球带电荷量为Q ，当球体以均匀角速度 绕一个直径旋转，如题2.10 图所示。求球心处的磁感应强度B 。题 2.10 图解球面上的电荷面密度为Q4a2rer a 点处的电流面密度为当球体以均匀角速度绕一个直径旋转时，球面上位置矢量J Sv rezer aea sineQ sin4a将球面划分为无数个宽度为dla d的细圆环，则球面上任一个宽度为d l a d细1 E2.圆环的电流为d IJ S dlQsind4细圆环的半径为 basinda cos，圆环平面到球心的距离，利用电流圆环的轴线上的磁场公

10、式，则该细圆环电流在球心处产生的磁场为d B ez0b2 d Iez0Qa2 sin 3d0Q sin 3d2d2)3 22sin2a22)3 2ez8a2(b8 (acos故整个球面电流在球心处产生的磁场为0Q sin30QBez08adeza62.11 图2.11 两个半径为 b 、同轴的相同线圈，各有N 匝，相互隔开距离为d ，如题所示。电流 I以相同的方向流过这两个线圈。（1）求这两个线圈中心点处的磁感应强度Bex Bx ；（2）证明：在中点处d Bxd x等于零；（ 3）求出 b 与 d 之间的关系，使中点处d 2 Bxd x 2也等于零。解 （1）由细圆环电流在其轴线上的磁感应强度

11、0 Ia 2Bez 2(a2z2 )3 2得到两个线圈中心点处的磁感应强度为Bex (b20 NIb 2d 2 4)3 22）两线圈的电流在其轴线上x (0（xd ) 处的磁感应强度为Bex0 NIb 20NIb 22(b2x2 )3 22b2(dx)2 3 2所以d Bx30 NIb 2 x30 NIb 2 (dx)d x2(b2x2 )5 22b2( d x)2 5 2故在中点 xd 2 处，有d Bx30 NIb 2 d 23 0 NIb 2 d 20d x2b2d245 22b2d245 2（ 3）d2 Bx150 NIb 2 x230 NIb 2题 2.11 图d x22( b2x2

12、 )7 22(b2x2 )5 2150 NIb 2 (dx) 230 NIb 22b2(dx)2 7 22b2( d x)2 5 2令d 2 Bx0，有5d 2 410d x2x d 2b 2d 2 4 7 2b 2d 2 45 2即5 d 2 4b2d 24故解得db2.12一条扁平的直导体带，宽为2a ，中心线与 z 轴重合，通过的电流为 I 。证明在第一象限内的磁感应强度为Bx0I，4a0 Iln r2By式中 、r1 和 r2如题2.12图所示。4 ar1解将导体带划分为无数个宽度为d x 的细条.题 2.12 图.带，每一细条带的电流dIIdx 。由安培环路定理， 可得位于 x 处的

13、细条带的电流dI 在2a点 P( x, y) 处的磁场为d B0 d I0 I d x0 I d x2R4aR4a( xx ) 2y2 1 2则d Bxd B sin0 Iy d x4a( x x )2y2 d Byd Bcos0I (xx )d x4a( xx ) 2y2 所以a0 Iy d x0 IxxaBxarctana 4a( xx )2y2 4yaa0Iarctanaxarctanax4ayy0Iarctanxaarctan xa4ayy0I1)0 I4(24aaa0 I ( x x )d x0Ia22Byx )a 4a( xx )2y2ln( xy8 aa0 I( x a) 2y2

14、0 Ilnr2ln2y24 ar18 a ( x a)2.13 如题 2.13图所示，有一个电矩为p1 的电偶极子，位于坐标原点上，另一个电矩为 p2 的电偶极子，位于矢径为r 的某一点上。试证明两偶极子之间相互作用力为Fr3p1 p2(sin 1 sin 2 cos2cos 1 cos 2 )40r 4式中 1r , p1， 2r, p2，是两个平面 (r , p1) 和 (r, p2 ) 间的夹角。并问两个偶极子在怎样的相对取向下这个力值最大？解电偶极子 p1 在矢径为 r 的点上产生的电场为1gp1E13( p1 r)r4r5r30所以 p1 与 p 2 之间的相互作用能为因为1Wep2

15、 gE1r , p1，2p1grp2grggg1 3( p1 r )( p2r) p1p2r5r34 0r, p2，则题 2.13 图p1r cos 1p2r cos 2又因为是两个平面 (r , p1) 和 (r , p2 ) 间的夹角，所以有(rp1 )g(rp2 )r 2 p1 p2 sin 1 sin 2 cos另一方面，利用矢量恒等式可得.(r p1 )g( r p2 )( rp1) r gp2r 2 p1(r gp1) r gp2r 2 ( p1gp2 ) (r gp1)( r gp2 )因此( p1gp2 )12 ( rp1 )g(rp2 )(r gp1)( r gp2 )p1p

16、2 sin 1 sin2 cosp1p2 cos 1 cos 2rp1 p2于是得到We40r 3 ( sin 1 sin 2 cos2cos 1 cos 2 )故两偶极子之间的相互作用力为FrWep1 p2( sin 1 sin2 cosd1)qconst42cos 1 cos 2 )(3r0d rr3p1 p240r 4 ( sin 1 sin 2 cos2cos 1 cos 2 )由上式可见，当120时，即两个偶极子共线时，相互作用力值最大。2.14两平行无限长直线电流I1 和 I 2 ，相距为 d ，求每根导线单位长度受到的安培力Fm 。解 无限长直线电流I1 产生的磁场为B1e0 I

17、12 r10I1I 2直线电流 I 2每单位长度受到的安培力为Fm12I 2ez B1 d ze12d02式中 e12 是由电流 I1 指向电流 I 2 的单位矢量。同理可得，直线电流I1每单位长度受到的安培力为Fm21Fm120I1I2e122 d2.15 一根通电流 I1 的无限长直导线和一个通电流I 2 的圆环在同一平面上， 圆心与导线的距离为 d ，如题2.15 图所示。证明：两电流间相互作用的安培力为Fm0 I1I 2 (sec1)这里是圆环在直线最接近圆环的点所张的角。解无限长直线电流I1 产生的磁场为B1e0 I12r圆环上的电流元 I 2d l 2 受到的安培力为d FmI 2

18、 d l 2B1d l2 ey0I1I22 x由题2 15图可知dl 2(ex sinez cos)a d题 2.15 图.2xda cos0 aI1 I 2所以Fm(ez sinex cos)d2 (da cos0)ex0aI 1I 22cos2(dd0a cos )ex0aI 1I 2 (2d2)ex0 I 1I 2 (sec 1)2aad2a22.16证 明 在 不 均 匀 的 电 场 中 ， 某 一 电 偶 极 子 p 绕 坐 标 原 点 所 受 到 的 力 矩 为.r( pg )E p E 。p 绕坐标原点所受到的力矩为解 如题 2.16图所示，设 p qdl (d l1)，则电偶极

19、子Tr2qE(r2 )r1 qE(r1 )(rd ld ld ldl) qE(r) (r) qE(r2222qr E (rdl ) E(rdl ) q dl E(rdl ) E(rdl )dl 122222当时，有E(rdl ) E(r ) ( dl) E(r )22E(rd l ) E(r ) ( d l)E(r )22故得到T r (qdl)E(r ) qd l E(r )r( pg)Ep E题 2.16图.第三章习题解答3.1 真空中半径为a 的一个球面， 球的两极点处分别设置点电荷q 和 q ，试计算球赤道平面上电通密度的通量(如题 3.1图所示 )。解由点电荷 q 和q 共同产生的电

20、通密度为赤道平面Dq R3R3 q4RRaq er r ez ( z a)er r ez ( z a)4 r 2( z a)2 3 2r 2( z a)2 3 2则球赤道平面上电通密度的通量D gd SD gez z0 d SSSqqa(a)a3 2 2 r d r4( r22)3 2(r22题 3.1图0aa )qaa1(1)q0.293q(r 2a2 )1 2023.21911 年卢瑟福在实验中使用的是半径为ra 的球体原子模型， 其球体内均匀分布有总电荷量为Ze 的电子云，在球心有一正电荷Ze （ Z 是原子序数， e 是质子电荷量） ，通过实验得到球体内的电通量密度表达式为DeZe1r

21、，试证明之。0r 4r 2ra3解位于球心的正电荷Ze 球体内产生的电通量密度为D1erZe4r 2原子内电子云的电荷体密度为Ze3Ze4ra334ra3b电子云在原子内产生的电通量密度则为4r 3 3Zer0aD2 ererc4r243ra故原子内总的电通量密度为DDDeZe1r题 3. 3 图 (a)12r 4r 2ra33.3电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为0 C m 3,两圆柱面半径分别为a 和 b ，轴线相距为 c (c ba) ，如题3.3 图 (a) 所示。求空间各部分的电场。解由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。但可把半径为a 的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为0 的两种电荷分布， 这样在半径为 b 的整个圆柱体内具有体密度为0 的