全等三角形常用辅助线做法

1、五种辅助线助你证全等姚全刚在证实三角形全等时有时需添加辅助线,对学习几何证实不久的学生而言往往是难 点下面介绍证实全等时常见的五种辅助线,供同学们学习时参考.一、截长补短一般地,当所证结论为线段的和、差关系,且这两条线段不在同一直线上时,通常可以考虑用截长补短的方法：或在长线段上截取一局部使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长线段相等.例1如图1,在厶ABC中,/ ABC=60 ° , AD、CE分别平分/ BAC、/ ACB .求证: AC=AE+CD .A分析：要证 AC=AE+CD , AE、CD不在同一直线上.故在 AC上截取AF=AE,那么只要 证实CF=CD .证实：在

2、AC上截取AF=AE,连接OF ./ AD、CE 分别平分/ BAC、/ ACB,/ ABC=60 °/ 1+ / 2=60 ° ,a / 4= / 6= / 1+ / 2=60 ° .显然, AEO AFO , / 5= / 4=60°, / 7=180 ° -(/ 4+ / 5) =60 °在厶 DOC 与厶 FOC 中,/ 6= / 7=60°,/ 2= / 3, OC=OC DOC FOC , CF=CD AC=AF+CF=AE+CD .截长法与补短法,具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等, 或是将某条线

3、段延长,使之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加 以说明.这种作法,适合于证实线段的和、差、倍、分等类的题目.-可编辑修改 -例 2:如图甲,AD / BC,点 E 在线段 AB 上,/ ADE= / CDE, / DCE= / ECB 求证：CD=AD + BC.思路分析：1 题意分析：此题考查全等三角形常见辅助线的知识：截长法或补短法.2解题思路：结论是CD = AD + BC,可考虑用“截长补短法中的“截长, 即在CD上截取CF=CB,只要再证DF=DA即可,这就转化为证实两线段相等 的问题,从而到达简化问题的目的.解答过程：证实：在CD上截取CF=BC,如图乙在厶FCELBCE

4、中CF=CBCECE:. FCE BCE (SAS ,又 AD / BC,/ ADC + / BCD=180°,:丄 DCE+ / CDE=90/ 2+ / 3=90°,/ 1 + Z 4=90°,/Z 3= / 4.在厶FDE与厶ADE中,rAFDE = AADE< DE = DEZ3 = Z4- FDE ADE (ASA), DF = DA,v CD=DF+CF,CD= AD + BCo解题后的思考： 遇到求证一条线段等于另两条线段之和时, 一般方法是截长 法或补短法：截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条, 然后证实剩下局部等于另 一条；补短：将一

5、条短线段延长,延长局部等于另一条短线段,然后证实新线段等 于长线段.1对于证实有关线段和差的不等式,通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差 小于第三边,故可想方法将其放在一个三角形中证实.2在利用三角形三边关系证实线段不等关系时,如直接证实不出来,可连 接两点或延长某边构成三角形, 使结论中出现的线段在一个或几个三角形中, 再 运用三角形三边的不等关系证实.-可编辑修改 -、中线倍长三角形问题中涉及中线中点时,将三角形中线延长一倍,构造全等三角形是常用的 解题思路.例3三角形的两边长分别为 7和5,那么第三边上中线长 x的取值范围是 分析：要求第三边上中线的取值范围,只有将将中线与两个

6、边转移到同一个三角形中,然后利用三角形的三边关系才能进行分析和判断.-可编辑修改 -解：如图2所示,设 AB=7 , AC=5 , BC上中线AD=x 延长AD至E,使DE = AD=x / AD是BC边上的中线, BD=CD/ ADC= / EDB 对顶角 ADC EDB BE=AC=5在 ABE 中 AB-BE V AE V AB+BE即 7-5V 2xV 7+5 IV xv 6例4：在 ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且BE=AC,延长BE交AC于F,求证：AF=EFA提示：倍长 AD至G,连接BG,证实 BDG ACDA 三角形BEG是等腰三角形第1题图例5：如图,在

7、ABC中,AB = AC , D、E在BC上,且DE=EC,过D作DF /BA 交 AE 于点 F, DF=AC.求证：AE平分乙BAC提示：方法1倍长AE至G,连结DG方法2:倍长FE至H,连结CH例 6: CD=AB,/ BDA= / BAD , AE 是厶 ABD 的中线,求证：/ C= / BAE 提示：倍长AE至F,连结DF证实 ABE AFDE ( SAS)进而证实厶ADF BAADC (SAS)5、如图5, AD为ABC的中线,求证；AB+AC>2ADn6.如圏15所示,心是厶ABC的中线,BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF4 求证；AC=BF.A你热爱生命吗孕那么别

8、浪费时间,由于时间是組成生命的材料-富兰克林5、分析：要证 AB+AC>2AD,由图想到：AB+BD>AD , AC+CD>AD,所以 有AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD ,左边比要证结论多 BD+CD,故不能直接 证出此题,而由2AD想到要构造2AD,即加倍中线,把所要证的线段转移到同 一个三角形中去证实：延长AD至E,使DE=AD.连接BE, CE TAD沖AABC的中线二BD=CD 中线定义在厶ACDiEBD中BD = CD C 己证u Z1 = 对顶角相等AD = ED 辅助线作法 ACD EBD SAS BE=CA 全等三角形对应边相等在 ABE中有

9、：AB+BE>AE 三角形两边之和大于第三边 AB+AC>2AD.6、分析：欲证AC=BF,只需证AC、BF所在两个三角形全等,显然图中没有 含有AC、BF的两个全等三角形,而根据题目条件去构造两个含有 AC、BF的全 等三角形也并不容易.这时我们想到在同一个三角形中等角对等边,能够把这 两条线段转移到同一个三角形中,只要说明转移到同一个三角形以后的这两条 线段,所对的角相等即可.思路一、以三角形ADC为根底三角形,转移线段 AC,使AC、BF在三角形BFH中方法一：延长 AD至U H,使得DH=AD,连结BH,证实 ADC 和 HDB全等,得AC=BH.通过证实/ H= / BF

10、H,得到BF=BH.证实；延长AD到H,使得DH=AD,连接BH / D为BC中点BD-DC在厶adcJdAhdb中AD = DH ZADCZBDHBD=CDa ADC HDB(SAS) AC=BH,/ H= / HACEA=EF/ HAE= / AFE又/ BFH= / AFE BH=BF BF=AC方法二：过B点作BH平行AC,与AD的延长线相交于点H,证实 ADC和厶HDB全等即可.小结：对于含有中点的问题,通过“倍长中线可以得到两个全等三角形.而过一点作直线的平行线,可以起到转移角的作用,也起到了构造全 等三角形的作用.思路二、以三角形BFD为根底三角形.转移线段BF,使AC、BF在两

11、个全 等三角形中方法三：延长FD至H,使得DH=FD,连接HC.证实 CDH和厶BDF全 等即可.三、作平行线当三角形问题中有相等的角或等腰等条件时,可通过作平行线将相等的角转换到某一个三角形中得到另外的等腰三角形或相等的角,从而为证实全等提供条件.例7.如图3,在等腰 ABC中,AB=AC,在AB上截取BD,在AC延长线上截取 CE, 且使CE=BD .连接DE交BC于F.求证：DF=EF .分析：要证DF=EF,必须借助三角形全等而现有图形中没有全等三角形由等腰三角形条件,可知/ B= / ACB,作 DH / AE,可得/ DHB= / ACB 那么 DBH为等腰三角形. 证实：作DH

12、/ AE交BC于H ./ DHB= / ACB,/ AB=AC,/ B= / ACB/ DHB= / B, DH=BD/ CE=BD DH= CE又 DH / AE,/ HDF= / E/ DFH= / EFC (对顶角) DFH EFC (AAS) DF=EF四、补全图形在一些求证三角形问题中,延长某两条线段边相交,构成一个封闭的图形,可找到 更多的相等关系,有助于问题的解决例&如图4,在厶ABC中,AC=BC,/ C=90 ° , BD为/ ABC的平分线.假设 A点到 直线BD的距离AD为a,求BE的长.分析：题设中只有一条线段AD,且为直角边,而要求的 BE为斜边要找

13、到它们 之间的关系,需设法构造其他的全等三角形.证实：延长 AD、BC相交于F.由BD为/ ABC的平分线,BD丄AF .易证 ADB FDB FD= AD=a AF=2a / F= / BAD又/ BAD+ / ABD=90.,/ F+ / FAC=90 °/ ABD= / FAC/ BD 为/ ABC 的平分线 ABD= / CBE/ FAC= / CBE,而/ ECB= / ACF=90 ° , AC=BC ACFBCE (ASA) BE=AF=2a五、利用角的平分线对称构造全等角的平分线是角的对称轴, 在证实全等过程中不仅提供了两个相等的角, 还有一条公共 边,利用

14、角的平分线在角的两边上截取相等的线段, 或向两边作垂线,对称构造出全等三角 形是常用的证实方法.例5.如图5,在四边形 ABCD中,BD平分/ ABC,/ A+ / C=180 ° .证实：AD=CD .分析：由角的平分线条件,在BC上截取 BE=BA,可构造厶ABD EBD,从而AD=DE .那么只要证实 DE=CD .证实：在 BC上截取BE=BA,连接DE .由 BD 平分/ ABC,易证 ABD EBD AD=DE / A= / BED又/ A+ / C=180°,/ BED+ / DEC=180/ DEC= / C,. DE=CD AD=CD2、,如图2,Z 1

15、= / 2, P为BN上一点,且PD丄BC于点D ,AB+BC=2BD.求证：/ BAP+ / BCP=180°.图2证实：过点P作PE垂直BA的延长线于点E,如图2-2图2-2且PD丄BC.'.PE=PD在冃沖禹泌EPD中1PE= PD'BP = BP&刃咤用 BPDiHLttAB+BC=2BDi*卩D0=占民在用HPE与舟 CPD中,PR = PD< APEA 二 ZPDCAE= DC全等三角形问题中常见的辅助线的作法常见辅助线的作法有以下几种：1遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一的性质解题,思维模式是全 等变换中的“对折.2遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利 用的思维模式是全等变换中的“旋转.3遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是 三角形全等变换中的“对折,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.4) 过图形上某一点作特定的平分线,构造全等