2021版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第1讲任意角和蝗制及任意角的三角函数教学案理北师大版

1、高考总复习第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数晨新考纲考向预测r1.丁帆让意他的糊檀和姐般制的怅立.工怪进叮瓠度耳角战的曳牝.，一理时任也南 也出也1步足，氽强.命题起务去谓:以理聊任点的一角南！t的权定.他也行蛇用度的u化我痢 格H长、面积的计算为主.常。向址，三用恒等变换M姑介，的我一 加阳鞅他式的应用及三曲面载能牝浦与求境.与曹介类i：论思思同蒙 皑。W罩的应用窟识,题继磔选程眈为主.信F滩蛾正切卜的定义核心*养曲学抽象，数学加齐J理牧M 夯H联箭卸ts 走迸教材一、知识梳理1.角的有关概念(1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角.(2)从终边位置来看，角可分为象限角与轴线角.

2、(3)若§与a是终边相同的角，则 B用a表示为3 =2kTt + a , kZ.2.弧度制(1)定义：在单位圆中，长度为 1的弧所对的圆心角称为1弧度角，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数 j角的弧度数是零._一，一 兀180(2)角度制和弧度制的互化：180 =7t rad , 1 =彳而rad , 1 rad = =_.(3)扇形的弧长公式：l = | g | r,扇形的面积公式：S= Ir =二| a | r2.2- 21. 一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦.2 . 一个结论兀右 a C 0, -2 ,贝u tan a > a >

3、sin a .3 .三角函数定义的推广y设点Rx, y）是角a终边上任息一点且不与原点重合，r=|Op,则sin a =-, cos a4 .象限角'第一象限趣）（机8加环金正句24ir+ <a<2Au+-nAEZ|«第 源取财卜班”+*（制+等*E?,第叫象限期:W则*咨"<出叶2叫*E司5.轴线角终选落祗"上的甭可 Hr/口）隆边将在弗上一的的 信卜咛+自小/怨力落ft型初,轴一的饼心印-”1-*;二、教材衍化1 .角225 =弧度，这个角在第 象限.心5兀答案：一7二42 .设角e的终边经过点 P（4 , 3）,那么2cos e -

4、 sin 0 =解析：由已知并结合三角函数的定义，得sin 0 = -|,5cos 0 =7,所以 2cos 0 sin 0 =2x7 =.555511答案：-53 . 一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为 弧度.»一 兀答案：73走出误区、思考辨析判断正误(正确的打“，”，错误的打“X”)小于90°的角是锐角.()(2)三角形的内角必是第一、第二象限角. ()(3)不相等的角终边一定不相同.()答案：(1) X (2) X (3) X二、易错纠偏常见误区| K(1)终边相同的角理解出错；(2)三角函数符号记忆不准；(3)求三角函数值不考虑终边所在象限.1 .下列与

5、93的终边相同的角的表达式中正确的是()4A. 2k% 45° (kCZ)B. k - 360° +9兀(kCZ)4C. k - 360° 315° (kCZ)D. k% +4(k Z)解析：选C.与"的终边相同的角可以写成2k兀+ 岑(k e Z),但是角度制与弧度制不44能混用，所以只有 C正确.故选C.2 .若sin a <0,且tan a>0,则a是第 象限角.解析：由sin a<0知a的终边在第三、第四象限或 y轴的负半轴上；由tan a >0知a的终边在第一或第三象限，故 a是第三象限角.答案：三3 .已知角

6、 a的终边在直线 y= x上，且cos a <0,则tan a =.解析：如图，由题意知，角 a的终边在第二象限，在其上任取一点P(x, y),则y= x,由三角函.、 Iy x数的定义得tan a=y=-x-=- 1.答案：1明善向百田考例考流.考点象限角及终边相同的角（自主练透）1 .给出下列四个命题：3一-4是第二象限角；3-是第三象限角；一 400。是第四象限角；一315。是第一象限角.其中正确命题的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4解析：选c. 34匚是第三象限角，故错误；4-=兀+3,所以卷是第三象限角，故正确； 400° =- 360° -40&

7、#176; ,所以一400°是第四象限角，故正确； 315。=- 3600 +45。，所以一315。是第一象限角，故正确，故选 C.一一 口2 .若角a是第二象限角，则万是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第三象PM角D.第二或第四象限角,.一 .一. 一 ，一. 兀解析：选C.因为a是第二象限角，所以2_ + 2卜兀<“<兀+ 2k Tt , kCZ,一 兀a 兀所以 -十 k兀万+k兀'k e Z.a当k为偶数时，万是第一象限角；当k为奇数时，y是第三象限角.a所以万是第一或第三象限角.兀兀3 .集合a kTt+ < a<kTt + -2-

8、, kCZ中的角所表示的范围（阴影部分）是（）.一一 .、.兀兀 .,兀斛析：选 C.当k= 2n( n C Z)时，2n兀+ < a w 2n兀+ ,此时 a表本的氾围与 a & 2表示的范围一样；当k=2n+ 1(n2 Z)时,兀兀,2n兀 + 兀 + WaW2nTt + Tt + ,此时，一，.，一，兀兀，一，.，一，、，、，a表小的氾围与 兀+ < a W兀+ 表布的氾围一样，故选 C.4 .在一720°0°范围内所有与45°终边相同的角为 解析：所有与45。终边相同的角可表示为：B =45° + kX360° (k

9、CZ),则令 720° W 45° +kX360° <0° (kCZ),得765° WkX360° < 45° ( k Z), 76545一解得砺忘k<-砺(心与，从而k=2和k= 1, 360360代入得3 =675° 和 3 =- 315°答案：675°和一315°5.终边在直线y=，3x上，且在2兀，2兀)内的角 a的集合为解析：如图,19在坐标系中画出直线 y = 43x,可以发现它与X轴的夹角是-y,在0 , 2兀)内，终边在直线y=J3x上的角有两个:在2

10、兀，0)内满足条件的角有两个：一 粤，一萼，故满足条件的角 a构成的集合 335兀35兀答案：一二713，(1)终边在某直线上角的求法4步骤数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线;按逆时针方向写出0, 2兀内的角；再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合;求并集化简集合.(2)判断象限角的2种方法图象法：在平面直角坐标系中， 作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第 几象限角；转化法：先将已知角化为k - 360° + a(0° W “<360° , kC Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角a ,再由角a终边所在的象限判断已知角是第几象限角.,

11、、a* 一 确定ka , y(k N)的终边位置3步骤用终边相同角的形式表示出角a的范围;再写出ka或+的范围;k_. a然后根据k的可能取值讨论确定k a或式的终边所在的位置.提醒终边在一条直线上的角之间相差180。的整数倍；终边在互相垂直的两条直线上的角之间相差90°的整数倍.考点扇形的弧长及角度公式(师生共研)例国 已知一扇形的圆心角为a ,半径为R弧长为l .若a=60° , R= 10 cm,求扇形的弧长l;(2)已知扇形的周长为 10 cm,面积是4 cm2,求扇形的圆心角；(3)若扇形周长为20 cm,当扇形的圆心角 a为多少弧度时，这个扇形的面积最大?一一c

12、兀【解】(1) a = 60 = _rad ,一一.兀10 71所以 l = a , Rf= _x 10= -(cm).332R+ Ra =10(2)由题意得12 R2=4R= 4,R= 1 ,(舍去)或 1a = 8a = .1故扇形圆心角为2 rad.(3)由已知得l +2R= 20, ,11o2所以 S= 2lR=2(20 2R) R= 10R R= (R 5) + 25,所以当R= 5 cm时，S取得最大值25 cm2,此时 l = 10 cm, a = 2 rad.弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积

13、最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得 到解决.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.1 .已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长是()A. 2B. sin 2C.sin7D. 2sin 1解析：选C.如图,/AO屋2弧度，过 O点作OCL AB于点C,并延长 O改ABF D则/ AOD= / BOD= 1 弧度,且 AC= 2AB= 1,在 RtAAOO, AC 11A sin Z AOC- sin 1 ' r - sin 1 '从而AB勺长为l = a - r = -.故选C. sin 12 . （

14、2020 四川乐山、峨眉山二模 ）九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中方田章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=；(弦x矢+矢2),弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦” 指圆弧对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为二，半径长为4的弧田(如图所示)，按照上述公式计算出弧田的面积为 .2兀.兀兀解析：由题意可得/ AOB=-OA= 4.在 RtAAOD,易得/ AOD=, Z DAO= , ODAB= 2AD= 4 j3.=/A= 3X 4= 2,可得矢=4-2 = 2.由 AD= AQin -3- = 4X g-= 2、/3,可得弦_ 1、.212所以弧田面

15、积=2(弦x矢+矢)= X (4PX2+2 ) = 4，3+2.答案：4 ,;3+2三角函数的定义(多维探究)角度一利用三角函数的定义求值例 WH已知角a的终边上一点 P(-y/3, m)( E0),且sin2m"=4，求 cos a , tana的值.【解】 设p(x, y).由题设知x=-0 y=mj所以 r2=| OP2=( J3)2+m2(O为原点)，r = d3+m,所以sinm 2mm所以 r = .3+ m2 = 2小，3+ m2= 8,解得 m= ± 率.当 m=木时，= 2也，x= y = f5,所以cos乎,tan a当m=m时，r = 2吸，x=$，y

16、 =乖,所以cos角度二判断三角函数值的符号例工-工(1)sin 2- cos 3 tan 4 的值()A.小于0B.C.等于0D.小存在(2)若 sin a tan a <0,且cos-<0,则角 a 是()tan aA.第一象限角C.第三象限角B.第二象限角D.第四象限角【解析】(1)因为十及小兀<4<3，所以 sin 2>0 , cos 3<0 , tan 4>0.所以 sin 2 - cos 3 - tan 4<0 ,所以选 A.(2)由 sin a tan a <0 可知 sin a , tan a 异号，则a为第二象限角或第三象

17、限角.由COs : <0可知cos a , tan a异号，则a为第三象限角或第四象限角.综上可知，a为第三象限角.【答案】(1)A (2)C角度三以三角函数定义为背景的创新题例回 如图所示，质点 P在半彳全为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为Po(、/2,、/2),角速度为1,那么点P到X轴的距离d关于时间t的函数图象大致为()【解析】因为R(、/2, 42)，所以/ ROx= ?.因为角速度为1,所以按逆时针方向旋转时间兀t 后，得/ POP= t,所以/ POx= t -.兀由三角函数定义，知点P的纵坐标为2sin t-,一，.，兀因此 d=2 sin t 一 了 .令 t =0,

18、贝U d = 2 sin 一1 =”.兀.当t =了时，d=0,故选C.规牌忻径(1)用定义法求三角函数值的两种情况已知角a终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r,然后用三角函数的定义求解；已知角a的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解.（2）判断三角函数值符号及角位置的方法已知一角的三角函数值（sin a , cos a, tan a ）中任意两个的符号， 可分别确定出角 终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况.（3）利用单位圆解三角不等式（组）的一般步骤用边界值定出角的终边位置；根

19、据不等式（组）定出角的范围；求交集，找单位圆中公共的部分；写出角的表达式.1 . （2020 江西九江一模）若 sin x<0,且 sin（cos x）>0 ,则角 *是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解析：选 D.因为一1w cos xwi,且 sin（cos x）>0 ,所以 0<cos xw 1,又 sin x<0,所 以角x为第四象限角，故选 D.2 .已知角a的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角 a终边上的一点P到原点的距离为R若a =-4,则点P的坐标为（）B.(声 1)A. (1 , V2)C.（啦，/）D. （1

20、 , 1）解析：选D.设点P的坐标为（x, y）,sin则由三角函数的定义得x=q2cos7t7=1故点P的坐标为（1 , 1）.解析：因为角a的终边经过点P（-x, 6）,且 cos a513'y=/sin 亍=1.所以x cos a = . 2-x +3613'55 .即x= 5或x= 2（舍去）,所以12 寸.sin a 12 nrt 11R,所以tan a=coTV=石'则赤F+高F1312+12 =23.答案：3基础题组练1 .若角a的终边经过点 P（1 ,。3），则cos a + tan a的值为（A.1+产C.宁D.-1 2. 3解析：选A.因为角a的终边

21、经过点 P（1 , V3）,则x= 1, y = V3,=|0印=2,所以cos ax 1-=tanr 2'ya = x= v3，那么 cos a + tanA.2.若角a的终边关于x轴对称，则有（A.a + B =90°B.C.a + 3 =2k- 180° , kC ZD.a + 3 =180° + k - 360° , kC Z解析：选C.因为a与B的终边关于x轴对称,所以3 =2k - 180° a , kC Z,所以kJ.3.已知点P（tana）在第三象限，则角的终边在（）A.第一象限D.第四象限C.第三象限解析：选B.由题意

22、知tana <0, cos a <0,故 sina >0,根据三角函数值的符号规律可知，角a的终边在第二象限.故选 B.4.已知点P（sin x-cos x, - 3）在第三象限，则 x的可能区间是（）兀A. 兀B.兀C.一万,D.解析：选D.由点P（sin x-cos x,-3）在第三象限，可得sin x cos x<0,即sin x<cosx,所以一34+2k兀<x<4+2kjt, kCZ.当k=0时，x所在的一个区间是5.已知角a =2kTt -kC Z)，若角e与角a的终边相同，则y =sin 0cos 0|sin 0 | 十 |cos 0 |

23、tan 0 -+而F的值为()A. 1B. 1C. 3D. - 3.-TT . ., . .解析：选B.由a =2kTt- (kC Z)及终边相同的角的概念知，角a的终边在第四象限, 5又角e与角a的终边相同，所以角0是第四象限角，所以 sin 0 <0, cos 0 >0, tan 0<0.所以 y= 1 + 11 = - 1.6 .已知a是第二象限角，P(x,45)为其终边上一点，且cos a =Wx,则x =,一.x解析：因为 cos a =1千x +54x ,所以x= 0或x = J3或x= 43 ,又a是第二象限角，所以x=->/3.答案：37 .若圆弧长度等

24、于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是解析：设圆半径为r,则圆内接正方形的对角线长为2r,所以正方形边长为 J2r,所以圆心角的弧度数是一空=.2.答案：228 .已知点Rsine , cos 0)是角a终边上的一点，其中 0 则与角a终边相3同的最小正角为4, 一， 2解析：因为e =21，故p3亭2 ,故a为第四象限角且cos a =喙,所以a2"+*' kJ,所以与角,一 ，一,11 兀终边相同的最小正角为- 611 71答案：T.119-已知际F=一忑丁,且lg(cos a)有意义.(1)试判断角a所在的象限; 3（2）若角a的终边上一点Mgm,且| OM= 1

25、（ O为坐标原点），求m的值及sin a的值.一 ,1斛：由MF1 sin得 sin a <0,由 lg(cosa）有意义，可知COS a>0,所以a是第四象限角.(2)因为|OM=1,所以32 52+ m=，一小 一一一 4又a为第四象限角，故 n<0,从而mF 二,5sin a4 一 y_ m _ 4 则 cos(sin 0 ) - sin(cos0 ) = cos 5sin 5> 0.综上，当a>0时，cos(sin0 ) - sin(cos8)的符号为负; 当 a<0 时，cos(sin 0 ) - sin (cos 0 )的符号为正. r=ToMi

26、 =不10.若角0的终边过点 R4a, 3a)(aw0).(1)求 sin 0 +cos 0 的值；(2)试判断 cos(sin 0 ) - sin(cos 0 )的符号.解：(1)因为角0的终边过点 R4a, 3a)( aw 0),所以 x= 4a, y = 3a, r = 5| a| ,当 a>0 时，r=5a, sin 0 + cos 0 = 7. 5当 a<0 时，r = 5a, sin 0 + cos 6=5.(2)当 a>0 时，sin 8 =|e 0, -r , 52cos e =- 40 ,52贝U cos(sin 0 ) - sin(cos 0 )=cos

27、7 - sin -2 v 0; 55'.3 兀当 a<0 时,sin5c 一5，°，cos e =4 0, V ,52综合题组练始边与X轴的非负半轴1 . （2020 河北唐山第二次模拟）已知角a的顶点为坐标原点,重合，终边上一点A(2sina , 3)(sin a w 0),则 cos a =()B.1A. 2D.232解析：选A.由三角函数定义得tan32sin a即叫cos a32sin a,得 3cosoo-1 ,，,，2sin a =2(1 cos a ),解得 cos a =2或 cos a = - 2(舍去).故选 A.2 .已知sin a >sin

28、 3 ,那么下列命题成立的是（）A.若a,§是第一象限的角，则cosa >cos（38 .若a,B是第二象限的角，则tana >tan（3C.若a,B是第三象限的角，则cosa>cos§D.若a,§是第四象限的角，则tana >tan（3解析：选D.由三角函数线可知选 D.3.如图,在RtPBO, / PBO= 90° ,以O为圆心、O助半径作圆弧交 OPT A点.若圆弧 AB等分 POB勺面积，且/ AOB= a弧度，则;=.tan a解析：设扇形的半径为r,则扇形的面积为2ar .,在RtAPOE, PB= rtan a ,则

29、 POB的面积为3r rtan a ,由题意得=r rtan a =2x = " r2,所以tan a = 2 a ,所以;一%一=222tan aJ1答案：24 .已知圆O与直线l相切于点A,点P, Q同时从A点出发，P沿着直线l向右运动，Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动，连接OQ OP如图)，则阴影部分面积 S, &的大小关系是 解析：设运动速度为 m运动时间为t ,圆O的半径为r,则AQ= AP= tm,根据切线的性质知 OAL AP,11所以 Si = 2tm ,一5扇形人0'S2=2tm ,一5扇形人0%所以S = S2恒成立.答案：Si=S25 .如图，在平面直角坐标系 xOy中，角a的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相 交于A点，它的终边与单位圆相交于 x轴上方一点B,始边不动，终边在运动. 若点B的横坐标为一4,求tan a的值； 5(2)若 A0助等边三角形，写出与角