第二章综合能力检测

1、能力检测一、选择题1已知点F1（4,0）、F2（4,0），曲线上的动点P到F1、F2的距离之差为6，则该曲线的方程为（）A1（x3）B1C1（y3）D12抛物线y28x的焦点到准线的距离是（）A1 B2 C4 D83椭圆1与双曲线1有相同的焦点，则k应满足的条件是（）Ak>3 B2<k<3 Ck2 D0<k<24F1、F2是椭圆1（a>b>0）的两焦点，P是椭圆上任一点，过一焦点引F1PF2的外角平分线的垂线，则垂足Q的轨迹为（）A圆B椭圆C双曲线D抛物线5直线yx3与曲线1（）A没有交点 B只有一个交点C有两个交点 D有三个交点6已知椭圆1（a>

2、;b>0）与双曲线1（m>0，n>0）有相同的焦点（c,0）和（c,0），若c是a、m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是（）A B C D7与抛物线x24y关于直线xy0对称的抛物线的焦点坐标是（）A（1,0） B（，0）C（1,0） D（0，）8已知直线l交椭圆4x25y280于M、N两点，椭圆与y轴的正半轴交于B点，若BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l的方程是（）A4x6y280 B5x6y280C6x5y280 D6x5y2809已知椭圆的中心在原点，离心率e，且它的一个焦点与抛物线y24x的焦点重合，则此椭圆方程为（）A1 B1Cy2

3、1 Dy2110过点C（4,0）的直线与双曲线1的右支交于A、B两点，则直线AB的斜率k的取值范围是（）A|k|1 B|k|>C|k| D|k|<111若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为（）A2B3C6D812B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30°方向2km处，河流的沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2km，现要在曲线PQ上选一处M建一座码头， 向B、C两地运转货物经测算，从M到B、C两地修建公路的费用都是a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是（）A（1）a万元 B（22）a万元

4、C2a万元 D（1）a万元二、填空题13双曲线1上一点P到它的一个焦点的距离为12，则点P到另一个焦点的距离为_14直线ykx1（kR）与椭圆1恒有公共点，则m的取值范围为_15已知过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|2，则|BF|_16已知双曲线的两个焦点为F1（，0）、F2（，0），P是此双曲线上的一点，且PF1PF2，|PF1|·|PF2|2，则该双曲线的方程是_三、解答题17已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线1的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交点为P（，），求抛物线方程和双曲线方程18已知双曲线与椭圆1有公共焦

5、点F1、F2，它们的离心率之和为2，（1）求双曲线的标准方程；（2）设P是双曲线与椭圆的一个交点，求cosF1PF2的值19已知椭圆长轴|A1A2|6，焦距|F1F2|4，过椭圆的左焦点F1作直线交椭圆于M、N两点，设F2F1M（0），问取何值时，|MN|等于椭圆的短轴的长20炮弹在某处爆炸，在F1（5000,0）处听到爆炸声的时间比在F2（5000,0）处晚秒已知坐标轴的单位长度为1米，声速为340米/秒，爆炸点应在什么样的曲线上？并求爆炸点所在的曲线方程21设椭圆C：1（a>b>0）的右焦点为F，过F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，2（1）求

6、椭圆C的离心率；（2）如果|AB|，求椭圆C的方程22已知，椭圆C过点A，两个焦点为（1,0），（1,0）（1）求椭圆C的方程；（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值第二章综合能力检测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1已知点F1(4,0)、F2(4,0)，曲线上的动点P到F1、F2的距离之差为6，则该曲线的方程为()A.1(x3)B.1C.1(y3) D.1答案A解析点P到F1、F2的距离之差是6，而不是距离的差的绝

7、对值是6，点P所在曲线应是双曲线的右支，由题可知，2a6，c4，a3，c4，b2c2a27，该曲线的方程为1(x3)，故选A.2(2010·四川文，3)抛物线y28x的焦点到准线的距离是()A1B2C4D8答案C解析本题考查抛物线的焦点到准线的距离3椭圆1与双曲线1有相同的焦点，则k应满足的条件是()Ak>3B2<k<3Ck2 D0<k<2答案C解析k>0，c，k2.4F1、F2是椭圆1(a>b>0)的两焦点，P是椭圆上任一点，过一焦点引F1PF2的外角平分线的垂线，则垂足Q的轨迹为()A圆B椭圆C双曲线D抛物线答案A解析PQ平分F1P

8、A，且PQAF1，Q为AF1的中点，且|PF1|PA|，|OQ|AF2|(|PA|PF2|)a，Q点轨迹是以O为圆心，a为半径的圆5直线yx3与曲线1()A没有交点 B只有一个交点C有两个交点 D有三个交点答案D解析当x>0时，双曲线1的渐近线为：y±x，而直线yx3斜率为1,1<yx3与双曲线的右支有一交点又直线yx3过椭圆顶点k1>0直线yx3与椭圆左半部分有两交点，共计3个交点，选D.6已知椭圆1(a>b>0)与双曲线1(m>0，n>0)有相同的焦点(c,0)和(c,0)，若c是a、m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离

9、心率是()A. B. C. D.答案D解析由题意可得解得，e.7与抛物线x24y关于直线xy0对称的抛物线的焦点坐标是()A(1,0) B(，0)C(1,0) D(0，)答案C解析x24y关于xy0，对称的曲线为y24x，其焦点为(1,0)8已知直线l交椭圆4x25y280于M、N两点，椭圆与y轴的正半轴交于B点，若BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l的方程是()A4x6y280 B5x6y280C6x5y280 D6x5y280答案D解析椭圆方程为1，设M(x1，y1)、N(x2，y2)则1，1两式相减得0kl.MN的中点坐标为(，)，MBN的重心为(2,0)，kl.MN的中点坐标为

10、(3，2)，l的方程为y2(x3)，即6x5y280.9已知椭圆的中心在原点，离心率e，且它的一个焦点与抛物线y24x的焦点重合，则此椭圆方程为()A.1 B.1C.y21 D.y21答案A解析抛物线焦点为(1,0)，c1，又椭圆的离心率e，a2，b2a2c23，椭圆的方程为1，故选A.10过点C(4,0)的直线与双曲线1的右支交于A、B两点，则直线AB的斜率k的取值范围是()A|k|1 B|k|>C|k| D|k|<1答案B解析如图所示，l1平行于yx，l2平行于yx，由图可看出，当过C由l1位置逆时针方向转到l2位置之间的直线与双曲线1的右支都有两个交点，此时k>或k&l

11、t;.11(2010·福建文，11)若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为()A2B3C6D8答案C解析本题主要考查椭圆和向量等知识由题易知F(1,0)，设P(x，y)，其2x2，则·(x，y)·(x1，y)x(x1)y2x2x3x2x2x3(x2)22当x2时，(·)max6.12B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30°方向2km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2km，现要在曲线PQ上选一处M建一座码头， 向B、C两地运转货物经测算，从M到B、C两地修

12、建公路的费用都是a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是()A(1)a万元 B(22)a万元C2a万元 D(1)a万元答案B解析设总费用为y万元，则ya·(MBMC)河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2km，曲线PQ是双曲线的一支，B为焦点，且a1，c2.由双曲线定义，得MAMB2a，即MBMA2，ya·(MAMC2)a·(AC2)以直线AB为x轴，中点为坐标原点，建立直角坐标系，则A(2,0)，C(3，)AC2，故y(22)a(万元)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13双曲线1上一点P到它

13、的一个焦点的距离为12，则点P到另一个焦点的距离为_答案2或2214直线ykx1(kR)与椭圆1恒有公共点，则m的取值范围为_答案m1解析将ykx1代入椭圆方程，消去y并整理，得(m5k2)x210kx55m0.由m>0,5k20，知m5k2>0，故100k24(m4k2)(55m)0对kR恒成立即5k21m时，对kR恒成立，故1m0，m1.点评一般地说，如果点P(x0，y0)满足<1，则点P在椭圆1的内部，由于直线ykx1过定点A(0,1)，故要使直线ykx1与椭圆恒有公共点，只须A在椭圆上或其内部，即1，m1.15(2010·重庆文，13)已知过抛物线y24x的

14、焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|2，则|BF|_.答案2解析本题考查抛物线的定义设A点(x1，y1)，B点(x2，y2)抛物线y24x，焦点为(1，c)，准线为x1.|AF|x1(1)2，所以x11.则AF与x轴垂直，|BF|AF|2.16已知双曲线的两个焦点为F1(，0)、F2(，0)，P是此双曲线上的一点，且PF1PF2，|PF1|·|PF2|2，则该双曲线的方程是_答案y21解析由PF1PF2，有|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(|PF1|PF2|)22|PF1|·|PF2|F1F2|2，由已知，|PF1|PF2|2a，|F1F2|2c2，|PF1|

15、·|PF2|2(2a2)2×2(2)2a24b2c2a2541.则双曲线方程为y21三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线1的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交点为P(，)，求抛物线方程和双曲线方程解析依题意，设抛物线方程为y22px，(p>0)，点(，)在抛物线上，62p×，p2，所求抛物线方程为y24x.双曲线左焦点在抛物线的准线x1上，c1，即a2b21，又点(，)在双曲线上，1，由解得：a2，b2.所求双曲线方程为

16、4x2y21.18(本小题满分12分)已知双曲线与椭圆1有公共焦点F1、F2，它们的离心率之和为2，(1)求双曲线的标准方程；(2)设P是双曲线与椭圆的一个交点，求cosF1PF2的值解析(1)在椭圆1中，a225，b29c4，焦点在y轴上，离心率为e由题意得：所求双曲线的半焦距c4，离心率e22，又e2双曲线的实半轴为a2，则b2c2a216412，所求双曲线的标准方程为1.(2)由双曲线、椭圆的对称性可知，不论点P在哪一个象限，cosF1PF2的值是相同的，设点P是双曲线的与椭圆在第一象限的交点，其中|PF1|>|PF2|由定义可知|PF1|PF2|10|PF1|PF2|4由、得|P

17、F1|7，|PF2|3又|F1F2|8，在F1PF2中，由余弦定理得cosF1PF2，cosF1PF2的值为.19(本小题满分12分)已知椭圆长轴|A1A2|6，焦距|F1F2|4，过椭圆的左焦点F1作直线交椭圆于M、N两点，设F2F1M(0)，问取何值时，|MN|等于椭圆的短轴的长解析如图所示，a3，c2，b1，椭圆方程为y21.设过F1的直线方程为yk(x2)代入，整理得(19k2)x236k2x72k290，x1x2，x1·x2.代入|MN|，整理得|MN|.2，k±.即tan±，或.20(本小题满分12分)炮弹在某处爆炸，在F1(5000,0)处听到爆炸声

18、的时间比在F2(5000,0)处晚秒已知坐标轴的单位长度为1米，声速为340米/秒，爆炸点应在什么样的曲线上？并求爆炸点所在的曲线方程解析由声速为340米/秒可知F1、F2两处与爆炸点的距离差为340×6000(米)，因此爆炸点在以F1、F2为焦点的双曲线上因为爆炸点离F1处比F2处更远，所以爆炸点应在靠近F2处的一支上设爆炸点P的坐标为(x，y)，则|PF1|PF2|6000，即2a6000，a3000.而c5000，b2500023000240002，|PF1|PF2|6000>0，x>0，所求双曲线方程为1(x>0)21(本小题满分12分)(2010·辽宁理，20)设椭圆C：1(a>b>0)的右焦点为F，过F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，