上海理科数学试题及标准答案解析

1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理科）第卷（选择题共50分）一、填空题（本大题共14 小题，共 56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分（ 1）【 2015 年上海，理1】设全集 UR ，若集合 A1,2,3,4, Bx | 2 x 3 ，则 AeU B【答案】 1,4【解析】根据题意，可得eU Bx | x3或 x2，故 AeU B1,4【点评】本题考查集合的交、并、补的混合运算，熟练掌握集合的交并补的运算规则是解本题的关键本题考查了推理判断的能力（ 2）【 2015 年上海，理2】若复数 z 满足 3zz1i ，其中

2、i为虚数单位，则 z【答案】 11i42【解析】设 zx yi x, yR ，根据题意，有zxyi ，可把 3 zz 1 i 化简成 3x 3 yix yi 1 i ，对于系数相等可得出x1 , y1 ，z11 i 4242【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题（ 3）【 2015 年上海，理3】若线性方程组的增广矩阵为23c1 、解为x3，则 c1c201c2y5【答案】 16【解析】根据增广矩阵的定义可以还原成方程组2 xy3yc1 把 x3代入，可得 c121,c2 5 ，c1 c2 16 0c2y5【点评】本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关

3、键（ 4）【 2015 年上海，理4】若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为163 ，则 a【答案】 4【解析】根据正三棱柱的体积计算公式V hS底 =a13aa3a3163a4 224【点评】本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题（ 5）【 2015 年上海，理5】抛物线20 上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为1，则 py 2 px p【答案】 2【解析】根据抛物线的性质，我们知道当且仅当动点Q 运动到原点的时候，才与抛物线焦点的距离的最小，所以有 QPmin 1p ,p2 2【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础（ 6）【2015 年上海，理 6】若

4、圆锥的侧面积与过轴的截面积面积之比为2，则其母线与轴的夹角的大小为【答案】3【解析】设这个圆锥的母线长为h '，底面半径为 r ，母线与轴的夹角为，所以 S侧= 1l h' ，而过轴的截面是一121'2S侧lh'个三角形，故，有222，2rhhhr，所以轴SS轴122rh21h'2h, hh'2r 2 ,h'2， sinr3,r3h'23【点评】本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知求出圆锥的母线与轴的夹角的余弦值，是解答的关键（ 7）【 2015 年上海，理 7】方程 log29x 15log23x 122 的解为【答案】 29

5、x1502【解析】由条件可得3x 1203x 14 3x130, 3x 133x 1 10，9x154 3x 123x13,x2,3x11,x1 ，所以 x1或 x2，检验后只有x2 符合【点评】本题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法，考查了计算能力，属于基础题（ 8）【 2015 年上海， 理 8】在报名的3 名男教师和6 名女教师中， 选取 5 人参加义务献血， 要求男、女教师都有，则不同的选取方法的种数为（结果用数值表示）【答案】 120【解析】解法一：这里男女老师都要有的话，可以分男1、女 4，男 2、女 3 和男 3、女 4，142332456015120 所以有 C3

6、C6C3 C6C3 C6解法二：C95根据题意，报名的有3 名男老师和6 名女教师，在9 名老师中选取5 人，参加义务献血，有=126种；其中只有女教师的有5种情况；则男、女教师都有的选取方式的种数为126 6=120 种C6 =6【点评】本题考查排列、组合的运用，本题适宜用排除法（间接法），可以避免分类讨论，简化计算（ 9）【 2015 年上海，理9】已知点 P 和 Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是 Q 的纵坐标的 2倍， P和Q的轨迹分别为双曲线 C1和 C2 ，若 C1 的渐近线方程为y3x ，则 C2 的渐近线方程为【答案】 y3x2【解析】设点P和Q的坐标为x, y、 x0 , y0

7、xx0，又因为 C1 的渐近线方程为y3 x ，故设 C1 的，则有y2 y0方程为 3x2y2，把 P 点坐标代入，可得3x024 y02，令0 ，3x2 y0即为曲线 C2 的渐近线方程，即 y3x 2【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础（ 10）【 2015 年上海，理10】设 f1 x 为 fx2x2x , x0,2 的反函数，则 yfxf1x 的最大值2为【答案】 4【解析】通过分析，我们可得函数x2x0,21，由反函数的fx2在定义域上是单调递增的，且值域为242定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域以及反函数与原函数的单调性相同，可得f1x

8、的定义域为1，值域为 0,2，又原函数与反函数的公共定义域为1，故2244ym a xf m a2xfm1 a 2x4【点评】本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，考查了函数的单调性，属中档题110（ 11）【 2015 年上海，理11】在 1x的展开式中，2项的系数为（结果用数值表示）x2015x【答案】 4511010101010【解析】在1x21x2015中要得到 x 项的系数，肯定不能含有2015 项，故只有 C10 1 xx2015x ，x2而对于1x10， x2项的系数为 C102 18 x245 【点评】本题考本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，

9、是基础题（ 12）【 2015 年上海，理12】赌博有陷阱某种赌博每局的规则是：赌客现在标有1,2,3,4,5 的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将两张卡片上数字之差的绝对值的1.4 倍作为其奖金 （单位： 元）若随机变量1 和2 分别表示赌客在每一局赌博中的赌金与奖金，则 E 1E 2（元）【答案】 0.2【解析】由题可知，P21.444 , P22.833 , P24.222 , P2 5.61 ，C5210C5210C521010所以，1 和 2的分布列分别为：1.42.84.25.61234521432111111PP10101

10、010555551123 453, E1.40.42.80.34.2 0.25.6 0.12.8 ，即有 E 1E 2 0.2E 125【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，根据概率的公式分别进行计算是解决本题的关键（ 13）【 2015 年上海，理13】已知函数fxsin x ，若 x1 , x2 , xm 存在满足 0x1 x2xm6 ，且f x1 fx2f x2fx3fxm 1fxm12 m2,m N *，则 m 的最小值为【答案】 8【解析】对任意的xi , xj， fxif xjfxmaxfx min2 ，欲使 m 取最小值，尽可能多的让 xi i1,2, m取最值

11、点，考虑到0x1x2xm6，f xf x2f xf xf xf x12 m 2, m N*，123m 1m按照右图所示取值可以满足条件，所以m 的最小值为 8【点评】本题主要考察正弦函数的图像，数形结合是本题关键（ 14）【 2015 年上海，理14】在锐角ABC 中， tan A1 ， D 为 BC 边上的一点，ABD 与ACD 面积分别为 22和4，过 D作DE AB于E，DFAC于F，则 DEDF16【答案】15【解析】由题可知，cos EDF1AB DE 2， S ACD1，cos A ， S ABDACDF 422S ABC12AB AC sin A 6 ，所以 DE4， DF8，

12、AB12ABACACsin A4832DEDFDEDF cosEDFcos Acos A ，ABACAB AC化简可得8442tan A16DE DFsin A cos Asin 2 A3 121533tan A【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数形结合的解题思想方法，考查了三角函数的化简与求值，是中档题二、选择题（本大题共有4 题，满分20 分）考生应在答题纸相应编号位置填涂，每题只有一个正确选项，选对得 5分，否则一律得零分（ 15）【 2015 年上海，理15】设 z1, z2C ，则 “z1 , z2 中至少有一个数是虚数”是 “z1 z2 是虚数 ”的（）（ A ）充分非必

13、要条件（ B）必要非充分条件（ C）充要条件（D ）既非充分也非必要条件【答案】 B【解析】充分性不成立，如z11 i ， z22 i ， z1 z21不是虚数；必要性成立，采用反证法，若z1, z2 全不是虚数，即 z1 , z2 均为实数，则 z1z2 比为实数，所以z1 z2 是虚数，则 z1 , z2 中至少有一个数是虚数，故选 B3【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复数的有关概念进行判断是解决本题的关键（ 16）【 2015 年上海，理16】已知点 A 的坐标为4 3,1，将 OA 绕坐标原点 O 逆时针转至OB ，则B的纵坐标为（）3（ A ）3353（C） 11（

14、D） 132（ B）2【答案】 D22【解析】以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 A,，则 B,3，且nis1， cos43 ，B 的纵坐标为：sin31sin3cos134313 ，故选 D22222【点评】本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键（ 17）【 2015 年上海，理17】记方程：x2a1 x10，方程： x2a 2 x20 ，方程： x2a3 x40，其中 a1, a2 , a3 是正实数当 a1 , a2 , a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程无实根的是（）（ A ）方程有实根，且有实根（ B）方程有实根

15、，且无实根（ C）方程无实根，且有实根（ D ）方程无实根，且无实根【答案】 B【解析】 方程无实根， 则3a2160 ，又1a24，2a28，当成等比数列时，a22a a，3312a1 , a2 ,a1 32a222即有 a3a2，由 3216160 ，即420 得 a3a1a216a1 ，当方程有实根，且无实根时，a1a124， a228 ，可以推出 a246416416a12 ，故选 B【点评】 本题主要考查方程根存在性与判别式 之间的关系， 结合等比数列的定义和性质判断判别式 的取值关系是解决本题的关键（ 18）【 2015 年上海，理18】设 Pnxn , yn是直线 2xynn*与

16、圆x2y22 在第一象限的交点，则极nNyn1 （1限 lim）nxn1（A） 1（ B ）1（C）1（D）22【答案】 A【解析】采用极限思想求解当n时，直线 2xyn1nN*趋向于 2 xy1 ，直线与圆的交点趋向于yn1 可以理解为过点 P 1,1nP 1,1， lim所作的圆的切线的斜率k ，设切线方程为y1 k x1 ，结合n xn 1dr ，即1 k2 ，解之 k1 ，即 limyn121，故选 Ak1nxn1【点评】本题考查了极限思想、圆的切线的斜率、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（本题共5 题，满分 74 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定

17、区域内写出必要的步骤（ 19）【 2015 年上海，理19】（本小题满分 12 分）如图，在长方体中ABCD A1 B1C1D1 ，AA11，ABAD2， E 、 F 分别是棱 AB 、 BC 的中点，证明A1、C1、 F 、E四点共面，并求直线CD1 与平面 A1 C1 FE 所成角的大小解：由于 E 、 F 分别是棱 AB 、 BC 的中点，所以 EF / / AC ，又 AC / / AC11 ，所以 EF / /AC1 1，由公理三的推论，可知A1 、 C1 、 F 、 E 四点共面连接 A1F 、 A1B 由于 CD1 / / A1B ，所以直线 CD1 与平面 A1 C1 FE 所

18、成角的大小与A1 B 与平面 A1C1FE 所成角的大小相等 设 A1B与平面FE 所成角为，点 B 到平面sindEFB 中，体积1 111A CA EF 的距离为 d ，则，在三棱锥 AA1B4VAEFB VB A1EF ，所以 1S EFBAA11S AEFd ，即 dS EFBAA1 ，结合题中的数据， 可以计算出 S EFB1 ，331S AEF21AFA1 B5， A1FEF2，A1F6 ，由此可以计算出S AEF33，所以 d，123所以 sind15 ，即arcsin15 ，所以直线 CD1 与平面 A1C1FE 所成角的大小为arcsin15 A1B151515【点评】本题主

19、要考查利用空间直角坐标系求出二面角的方法，属高考常考题型；本题也可采用空间向量解决（ 20）【 2015 年上海，理20】（本小题满分14 分）如图， A 、 B 、 C 三地有直道相通，AB5 千米， AC3千米， BC4 千米，现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过 t 小时，他们之间的距离为f t（单位：千米） 甲的路线是AB ，速度是5千米 /小时，乙的路线是ACB ，速度为8 千米 / 小时乙到达 B地后原地等待，设t t1 时，乙到达 C 地（）求 t1 与 ft1的值；（）已知警员的对讲机的有效通话距离为3 千米当 t1t1时，求 ft的表达式，并判断 f t在 t1

20、 ,1上的最大值是否超过3？说明理由解：（）由题中条件可知t13 小时，此时甲与A 点距离为 15千米，由余弦定理可知882152153369341f t192，所以 f t16 分8356488（）易知，当t7 时乙到达 B 位置，所以8当 3t7 时，ft1278t255t22 7 8t55t425t 242t18 ；885725t 242t18, 3t17当t1 时， ft5 5t；综合，ft888755tt1,8当 3t21 时， ft单调递减，此时函数的值域为3,3 41 ；82558当 21t7 时， ft单调递增，此时函数的值域为3,5 ；25858当 7t1 时， ft单调递减

21、，此时函数的值域为0,5；880, 3412由此，函数f t在 t1 ,1 上的值域为，而3419，即 3 413 ，888所以 f t在 t1 ,1 上的最大值没有超过314 分【点评】本题考查解三角形的实际应用，涉及余弦定理和分段函数，属中档题（ 21）【 2015 年上海，理21】（本小题满分14 分）已知椭圆 x22 y21 ，过原点的两条直线l1 和 l2分别与椭圆交于点 A、B 和 C、 D ，记得到的平行四边形ACBD 的面积为 S （）设 A x1, y1， Cx2 , y2 用 A、 C 坐标表示点 C 到直线 l1 的距离，并证明S2 x1 y2x2 y1 ；（）设 l1 与 l2的斜率之积为1 ，求面积 S 的值2解：（）由题易知A、 C 两点的横坐标不能同时为零，下面分两种情况：当 A、 C 两点的横坐标有一个为零时，不妨设x1 0， x20 不失一般性，此时l1 与 y 轴重合， C 到直线 l1