二项式定理考点与题型归纳

1、二项式定理考点与题型归纳、根底知识(1)二项式定理：(a + b)n= c0an+.牯旷+ cnan_kbk+-+ cnbn(n N*)?;1二项式定理(2)通项公式：Tk+1 = cnankbk,它表示第k+ 1项;(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为cn, c1,cn .2二项式系数的性质当X悩洛一阚成系数於遢増的与st大血时二项式莱散見遨减的艸“为冊数时申何 硕的 頊式系數绘人二理武H+4 ：-2'糸数的和c； 4+ci+=<'+c+ci+“h为命数时風柄理的:顼式系敵机i"GFI星人0(1)项数为n+ 1.各项的次数都等于二项式的幕指数 n,即a与

2、b的指数的和为n.(3)字母a按降幕排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到零；字母b按升幕排列, 从第一项起,次数由零逐项增1直到n.挡二项式系数与项的系数的区别二项式系数是指 C0,cn,CS,它只与各项的项数有关,而与a,b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数局部,它不仅与各项的项数有关,而且也与a,b的值有关.如(a + bx)n的二项展开式中,第 k+ 1项的二项式系数是 cn,而该项的系数是 cnan-kbk.当 然,在某些二项展开式中,各项的系数与二项式系数是相等的考点一二项展开式中特定项或系数问题考法(一)求解形如(a + b)n(n N*)的展开式中与特定项相关的量2

3、例1 (1)(2021全国卷川)x2 + - 5的展开式中x4的系数为()XA. 10B.20C.40D.80(2)(2021合肥调研)假设(2x a)5的二项展开式中x3的系数为720,那么a=(2021甘肃检测)ax- ,x5的展开式中x5的系数为A,的系数为B,假设A + B =11a =2 2解析x2 + - 5的展开式的通项公式为Tr +1= C5 -x2)5 r x r = c5?x10-3r,令10 3r = 4,得r = 2故展开式中x4的系数为Cs - 2= 40.(2) (2x a)5的展开式的通项公式为Tr +1= (1)r- 5 - (x)5 rar =(1)r C 2

4、rarx5r,令5 r = 3,解得 r = 2,由(1)2 -5 - 22 a2= 720,解得 a = ± 3.aa33(3) Xgx 5的展开式的通项公式为Tr + 1= C5x5 r - & r = C5( a)rx5 -r.由 5尹=5,3得 r = 0,由 5尹=2,得 r = 2,所以 A=( a)0= 1, B = C5x ( a)2= 10a2,那么由 1 +10a2 = 11,解得 a= ± 1.答案(1)C(2) ±3(3) ±1解题技法求形如(a + b)n(n N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)

5、的步骤第一步,利用二项式定理写出二项展开式的通项公式Tr +1= cnanrbr,常把字母和系数别离开来(注意符号不要出错)；第二步,根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零,有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组),解出r;第三步,把r代入通项公式中,即可求出Tr+1,有时还需要先求n,再求r,才能求出Tr + 1或者其他量.考法(二)求解形如(a + b)m(c+ d)n(m, n N*)的展开式中与特定项相关的量例2(1)(1 . x)6(1 + x)4的展开式中x的系数是()A. 4B. 3C.3D.4(2)(2021南昌模拟)(x 1)(ax+ 1)6的展开式中含x

6、2项的系数为0,那么正实数a =解析法一：(1於)6的展开式的通项为cm -eVx)m= cm(i)mxm,(i+jx)4的展开式的通项为 cn (x)n= C3xn,其中 m= 0,1,2,6, n = 0,1,2,3,4.令2+2=1,得 m+n=2,于是(1 X)6(1+,x)4的展开式中x的系数等于C0(1)0C+ C1 ( 1)1 (4+ C6(1)2 C= 3.法二：(1 X)6(1 + x)4= (1 x)(1 + x)4(1 ,x)2 = (1 x)4(1 2 x + x).于是(1 &)6(1 + &)4的展开式中x的系数为c0 + C4 1)1 匕一3.(2

7、)(ax+ 1)6的展开式中含x2项的系数为C6a2,含x项的系数为C6a,由(x 1)(ax+ 1)6的 展开式中含x2项的系数为0,可得一C4a2 + C6a= 0,由于a为正实数,所以15a = 6,所以a2=5. 2答案(1)B (2)5解题技法求形如(a + b)m(c+ d)n(m, n N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤第一步,根据二项式定理把(a+ b)m与(c+ d)n分别展开,并写出其通项公式；第二步,根据特定项的次数,分析特定项可由(a+ b)m与(c+ d)n的展开式中的哪些项相乘得到；第三步,把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量考法(三)求形如(a+ b+

8、c)n(n N*)的展开式中与特定项相关的量例3(1)(x2+ x+ y)5的展开式中x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.604将x+ - 4 3展开后,常数项是 .解析(1)(x2+ x+ y)5 的展开式的通项为 Tr + 1= C5(x2 + x)5 ryr,令 r = 2,那么 T3= C2(x2 + x)3y2,又(x2 + x)3 的展开式的通项为 Tk+1= c3(x2)3 k xk= Cx6 k,令 6 k= 5,那么 k= 1,所以 (x2 + x+ y)5的展开式中,x5y2的系数为C2c3 = 30.422(2) x+ 4 4 3=也-破 6 展开式的通项是

9、CM)6-k jx k= ( 2)k Cx3 k.令 3 k= 0,得 k= 3.所以常数项是 C6( 2)3 = 160.解析C (2) 160解题技法求形如(a + b + c)n(n N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤第一步,把三项的和 a + b+ c看成是(a+ b)与c两项的和；第二步,根据二项式定理写出(a + b) + cn的展开式的通项；第三步,对特定项的次数进行分析,弄清特定项是由(a + b)n r的展开式中的哪些项和C相乘得到的；第四步,把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量题组练习11. (2021洛阳第一次统考)假设a = / n sin xdx,那么二项式

10、 a x - 6的展开式中的常数项为( )A. 15B.15C. 240D.240解析：选 D 由 a = / n sin xdx= ( cos x)ln= ( cos n ( cos 0) = 1 ( 1) = 2,得11332 x x 6 的展开式的通项公式为 Tr+1= c6(2 x)6 r - r = ( 1)rC6 -2r x3 戸,令 3?r =0,得r = 2,故常数项为C64= 240.2. (2021福州四校联考)在(1 x3)(2 + x)6的展开式中,x5的系数是.(用数字作答)解析：二项展开式中,含 x5的项是C62x5 x3C624x2= 228x5,所以x5的系数是

11、228.答案：228X 13. 2 + x+承5(X>0)的展开式中的常数项为 .解析：2+ 1 + 迈 5(x> 0)可化为 羽+± 10,因而 Tr +1 = C10 击 10-皿)10- 2r,令 10 2r = 0,得r = 5,故展开式中的常数项为C5. 5=答案：即 考点二二项式系数的性质及各项系数和典例精析(1) 假设-x+厂n的展开式中各项系数之和大于8,但小于32,那么展开式中系数最大的项A.6 3XC.4x 饭4B. .xD.或 4xx1假设x2 1n的展开式中含x的项为第6项,设(1 3x)n= ao + a1X + a2x2+ anxn,那么xai

12、 + a2+ an的值为假设(a + x)(1 + x)4的展开式中x的奇数次幕项的系数之和为32,那么a =解析(1)令 x= 1,可得x+厂n的展开式中各项系数之和为2n,即8 v 2nv 32,解1得n= 4,故第3项的系数最大,所以展开式中系数最大的项是C2(. x)2 了 2= 63x1 1x2xn的展开式的通项公式为Tr+1=cn(x2)nxr=cn(- 1)rx2n3r,由于含x的项为第6项,所以r = 5,2n 3r = 1,解得n = 8, 在(1 3x)n 中,令 x= 1,得 ao+ a1+ + a8= (1 3)8= 28, 又 ao= 1,所以 a1+ a8= 28

13、1 = 255.(3)设(a + x)(1 + x)4= a° + a1x+ a2x2 + a3X3+ a4X4+ a5X5,令 x = 1, 得 16(a + 1) = ao + a1 + a2+ a3+ a4 + a5,令 x = 1,得 0= a.一 a1 + a2 a3+ a4 a5,一,得 16(a + 1) = 2(a1 + a3+ a5),即展开式中x的奇数次幕项的系数之和为a1 + a3 + a5= 8(a + 1),所以8(a + 1) = 32,解 得 a= 3.答案(1)A255 (3)3解题技法1. 赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式,对于x, y的一切

14、值都成立.因此,可将x, y设定为一些特殊的值.在使用赋值法时,令 x, y等于多少,应视具体情况而定,一般取“ 1, 1或 0,有时也取其他值.如：形如(ax+ b)n, (ax2 + bx+ c)m(a, b, c R)的式子,求其展开式的各项系数之和,只需 令x= 1即可.形如(ax+ by)n(a, b R)的式子,求其展开式各项系数之和,只需令x= y= 1即可.2二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法假设 f(x) = ao + aix+ a2x2 + + anxn,贝U f(x)的展开式中(1)各项系数之和为f(1).f 1+ f 1a1 + a3+ a5 + =

15、奇数项系数之和为ao + a2+ a4 + =.(3)偶数项系数之和为题组练习1. (2021 包头模拟)(2x 1)5 = a5x5 + a4x4 + a3x3+ a2x2 + a1x+ ao,那么 |ao|+ |a11+ + |a5| =( )A.1B.243C.121D.122解析：选 B 令 x= 1,得 a5 + a4 + a3 + a2+ a1 + ao= 1,令 x = 1,得 a5 + a4 a3+ a2 a1+ ao= 243,+,得 2(a4 + a2 + ao) = 242, 即 a4+ a2+ ao= 121.一,得 2(a5 + a3 + a1) = 244,即 a5

16、+ a3+ a1 = 122.所以 |ao|+ |a1|+ + |a5|= 122 + 121 = 243.2. 假设(x+ 2+ m)9= ao+ a1(x+ 1)+ a2(x+ 1)2+ a9(x+ 1)9,且(ao+ a2+ a8)2 佝 + a3 + a9)2= 39,那么实数m的值为.解析：令 x= 0,那么(2 + m)9= ao+ a1+ a2+ a9,令 x = 2,贝U m9= ao a1+ a2 a3+一a9,又(ao+ a2+ + a8)2 (a1 + a3+ + a9)2=(ao+ a1 + a2+ + a9)(ao a1 + a2 a3 + + a8 a9)= 39,

17、(2 + m)9 m9= 39 ,.m(2 + m) = 3,'m = 3 或 m= 1.答案：3或13(1 + 3x)n的展开式中,后三项的二项式系数的和等于121,那么展开式中二项式系数最大的项为.1解析：由得 cn-2+ cn1 + cn= 121,那么尹r( 1) + n+ 1= 121,即 n2 + n 240= 0, 解得n= 15(舍去负值),所以展开式中二项式系数最大的项为T8= C(5(3x)7和T9= C?5(3x)8.答案：C15(3x)7 和 C15(3x)8考点三二项展开式的应用典例精析设 a Z,且 0<av 13,假设 512 018 + a 能被

18、13 整除,那么 a=()A. 0B.1C. 11D.12解析由于51 = 52 1,512 018= (52 1)2 018 = C2 018522 018 C2 018522 017+ 一c2(S18521 + 1,又13整除52,所以只需13整除1 + a,又 0< av 13, a Z ,所以a= 12.答案D解题技法利用二项式定理解决整除问题的思路(1) 要证实一个式子能被另一个式子整除,只要证实这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可因此,一般要将被除式化为含相关除式的二项式,然后再展开(2) 用二项式定理处理整除问题,通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数

19、)与某数的和或差的形式,再用二项式定理展开但要注意两点： 余数的范围,a= cr + b,其中余数b 0, r), r是除数,假设利用二项式定理展开变形 后,切记余数不能为负； 二项式定理的逆用.题组练习1使得多项式81x4 + 108x3 + 54x2+ 12x+ 1能被5整除的最小自然数 x为()A.1B.2C.3D.4解析：选C 81x4+ 108x3+ 54x2 + 12x+ 1 = (3x+ 1)4,上式能被5整除的最小自然数 为3.2.1 90Cio+ 902C2o - 903C3o + + (- 1)k90kCio + + 9010Ci0l除以 88 的余数为 解析：V1- 9O

20、Clo + 9O2C?o+ + (- 1)k9OkC1o + + 9O10C18= (1 - 90)10 = 8910,8910= (88 + 1)10 = 8810 + c1o889+ + &o88+ 1 ,前10项均能被88整除,余数为1.答案：1课时跟踪检测A级1.(2021 河北“五个一名校联盟模拟-护-X4 3的展开式中的常数项为A. -3 .2B.3 2C.6D. - 6解析：选D通项 Tr +1= c3 ¥ 3-r ( X4)r = c3( , 2)3-r ( 1)rx-6+6r,当6 + 6r = 0,即Xr = 1时为常数项,T2=- 6,应选 D.a2+

21、a42. 设(2 x)5= ao+ a1x + a2*+ a5x5,那么二的值为()a1 + a3A.6160122 B B. 12190d.- 121解析：选 C 由项式疋理, 得 a1 = C 1B. 2C. 1D.21 1解析：选D x+ x 10的展开式的通项公式为Tr + 1= C10 x10- r - - r= C10 x10-2r,令10 -2r = 4,解得r = 3,所以x4项的系数为C1°.令10-2r = 6,解得r = 2,所以x6项的系数为C%.1所以(x2 -a) x + x 10的展开式中x6的系数为C10-aC?0= 30,解得a = 2.24 =-

22、80, a2= c523 = 80, a3=- C522=- 40 ,a2 + a43a4 = C42 = 10,所以=-4.a1 + a343. 假设二项式x2+ X 7的展开式的各项系数之和为一1,那么含x2项的系数为A.560B. - 560C.280D. - 280解析：选A取x= 1,得二项式x2+ X 7的展开式的各项系数之和为1 + a7,即1 + a72 2=-1,1 + a =- 1, a=- 2.二项式 x2-x 7 的展开式的通项Tr +1= C7 x2)7-r - - r = C7 (22)rx14- 3令14 - 3r = 2,得r = 4因此,二项式x2- J的展开

23、式中含x2项的系数为C7 - - 2)4 =560.4. (2021山西八校第一次联考)(1 + x)n的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,那么奇数项的二项式系数和为()A.29C.21 11B. 210D. 212解析：选A 由题意得C4= cn,由组合数性质得n= 10,那么奇数项的二项式系数和为 2n -1= 2915. 二项式-2X29的展开式中,除常数项外,各项系数的和为()入A. 671B.671C. 672D.673解析：选B 令x= 1,可得该二项式各项系数之和为1.由于该二项展开式的通项公式1为 Tr +1= c9 x 9-r -2x2)r = c9( 2)r x3r-

24、9,令 3r 9= 0,得 r = 3,所以该二项展开式中的常数项为C3( 2)3=- 672,所以除常数项外,各项系数的和为一1-( 672) = 671.6. (2021石家庄二模)在(1 x)5(2x+ 1)的展开式中,含x4项的系数为()A. 5B. 15C. 25D.25解析：选B由题意含x4项的系数为一2C5+ c5=- 15.17. (2021枣庄二模)假设 (x2- a) x+ x 10的展开式中x6的系数为30,那么a等于()C.1D.1 或一3解析：选 D 令 x= 0,得 ao=(1 + 0)6= 1.令 x= 1,得(1 + m)6= ao+ ai+ a2+ + a6.

25、：ai+ a2 + a3+ - + a6= 63,二(1 + m)6= 64= 26,.m= 1 或 m= 3.9. (2021唐山模拟)(2x 1)6的展开式中,二项式系数最大的项的系数是 .(用数字作答)解析：(2x 1)6的展开式中,二项式系数最大的项是第四项, 系数是C323( 1)3= 160. 答案：160a10. (2021贵阳模拟)x+ - 9的展开式中x3的系数为一84,那么展开式的各项系数之和为x解析：二项展开式的通项 Tr + 1= C9x9r a r = arC9x9-2r,令 9 2r = 3,得 r = 3,所以 a3c91=84,解得a = 1,所以二项式为x -

26、 9,令x= 1,那么(1 1)9= 0,所以展开式的各项系 数之和为0.答案：0111. x + - + 1 5展开式中的常数项为x1 1解析：x+ + 1 5展开式的通项公式为 Tr+1 = C5 -x+ - 5.令r = 5,得常数项为C5= 1, 令r = 3,得常数项为C3 = 20,令r = 1,得常数项为C54 = 30,所以展开式中的常数项为 1 + 20+ 30= 51.答案：5112.x+ 4 n的展开式中,前三项的系数成等差数列2 x(1)求 n;(2) 求展开式中的有理项；(3) 求展开式中系数最大的项.1 1解：由二项展开式知,前三项的系数分别为c0, 1c1, 1c

27、n,1 1由得2 x 2Cr>= Cn+ 4C2,解得n= 8(n = 1舍去).+丄24x8的展开式的通项丄3rTr +1= C8( ,x)8r、4 r= 2 rC8x4 Rr = 0,1,8),35T5 =83r要求有理项,那么4 4必为整数,即r = 0,4,8,共3项,这3项分别是Ti = x4,1x,T9= 256X2设第r + 1项的系数ar + i最大,那么ar +1 = 2 rC8,ar+i2,c89 r那么 => 1,那么 ar2 r 1c8 1 2rar + 12rc82 r + 1aT72 = 2- r + 1C8+1 = 8 r?1,解得2< rw 3

28、.当 r = 2 时,a3= 22&= 7,当 r = 3 时,a4 = 2 入系数是()A.35B. 35C. 56D.561解析：选C由于第五项的二项式系数最大,所以n= 8所以二项式x x 8展开式的通项公式为 Tr + 1= C8x8 r( x 1)r = ( 1)rc8x8-2r,令 8 2r = 2,得 r = 3,故展开式中含有 x2项的系数是(1)3C8 = 56.2 疣一4C1+ 42C2 43d + + ( 1)n4nCn= 729,那么 Q+ G+ 疣的值等于()A.64B.32C.63D.31解析：选 C 由于 CS 4C1 + 42C2 43C3+ - + (

29、 1)n4ncn= 729,所以(1 4)n= 36,所以n= 6,因此 Cn+ cS+ Cr! = 2n 1 = 26 1 = 63.3. (2021济南模拟)x号2x x 5的展开式中各项系数的和为2,那么该展开式中含 x4项的系数为.C8 = 7,因此,第3项和第4项的系数最大,故系数最大的项为T3=7.rT,Tt=7rT.B级ai解析：令x= 1,可得X - 2x - 5的展开式中各项系数的和为1 a= 2,得a=- 1,入入1 1 1那么x+ - 2x - 5展开式中含X4项的系数即是 2x - 5展开式中的含X3项与含X5项系数的1和.又 2x x 5 展开式的通项为 Tr + 1 = C5( 1)r 2r x5 2r,令 5 2r = 3,得 r = 1,令 5 2r = 5,得r =