2020高中物理第六章万有引力与航天第四节万有引力理论的成就学案新人教版必

1、第四节万有引力理论的成就1 . 了解万有引力定律在天文学上的重要应用。2 .掌握计算天体质量和密度的基本思路。3 .掌握运用万有引力定律和圆周运动知识分析天体运动问题的基本思路。4 .掌握天体的线速度、角速度、周期、向心加速度与轨道半径的关系。5 .掌握双星系统的运动特点及其问题的分析方法。01 k课前自主学习 KEQ1ANWHUXUEXI1 .计算天体的质量(1)地球质量的计算利用地球表面的物体： 若不考虑地球自转， 质量为m的物体的匚01重力等于地球对物体的 02万有引力,即mg= 03GMm则M= 04(，由于g、R、G已经测出，因此可计算出地球的质量。(2)太阳质量的计算利用某一行星：

2、测出该行星的口 05轨道半径禾奥6公转周期,由于行星的运动可看做匀速圆2Mm 4周运动，行星与太阳间的口 07万有引力充当向心力，即口 08空=mTr由此可得太阳质量 M= 09 4兀 2r3gT °(3)其他行星质量的计算利用绕行星运转的卫星：若测出该卫星与行星间的口10距离和卫星绕彳亍星运动的口 11周期,同样可得出行星的质量。2.发现未知天体(1) 海王星的发现：英国剑桥大学的学生口丝亚当斯和法国年车5的天文学家口色勒维耶根据天 王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。1846年9月23日，德国的口 4-勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星海

3、王星。(2)其他天体的发现：近 100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了口 15冥王星、阅神星等几个较大的天体。判一判(1)天王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的。()(2)海王星的发现确立了万有引力定律的地位。()(3)牛顿根据万有引力定律计算出了海王星的轨道。()提示：(1) x 人们依据万有引力定律计算轨道发现的是海王星等，不是天王星。(2) V 海王星的发现有力证实了万有引力定律的正确性。(3) X 计算出海王星轨道的是亚当斯和勒维耶。想一想1969年7月20日，美国宇航员阿姆斯特朗在月球上烙下了人类第一只脚印(如图)，迈出了人类征服宇宙的一大步。(1)宇航员在月球上用弹簧秤测出

4、质量为m的物体重力为F,已知月球半径为 R怎样利用这个条件估测月球的质量？(2)宇航员驾驶指令舱绕月球表面飞行一周的时间为T,已知月球半径为 R怎样利用这个条件估测月球质量？提示：(1)设月球质量为m则f= GRm故冲FRm(2)设月球质量为 M宇航员与指令舱总质量为 m',由万有引力提供向心力，得 畔；=m 4T2-R 则得 m= 4GTR。02、课堂探究评仰 KETANGTANIKJP1NGIIA- 2 -课堂任务 仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。天体质量和密度的计算活动 1 ：甲图中卡文迪许“能称出地球质量”是怎么一回事？- 4 -提示：卡文迪许在实验室测出了引力常量G的

5、值。若忽略地球自转的影响，在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力。mg= GR2f: M= G-,知道了引力常量 G代入数据（地球表面g= 9.8 m/s2,地球半径kg。R= 6400 km）,就可以算出地球的质量M= 6.0X10 24活动2:乙图中太阳的质量可以用活动1的方式来计算吗?- 22 -提示：如果知道相应的数据也可以，但直接数据不好获得，可以有更好的方法来计算。如果知道地球绕太阳的公转周期T和它与太阳的距离r,可以利用太阳对地球的万有引力提供地球需要的向心力来求太阳质量。由G = m地爷；得M太= 4G；。活动3:讨论、交流、展示，得出结论。（1）天体质量的计算重力

6、加速度法若已知天体（如地球）的半径R及其表面的重力加速度 g,根据在天体表面上物体的重力 近似等于天体对物体的万有引力，得mg= GRm解得天体白质量为 M= gR, g、R是天体自身的参量，所以该方法俗称“自力更生法”。环绕法借助环绕中心天体做圆周运动的行星（或卫星）计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”。常见的情况如下：万有引力提供向心力中心天体的质量说明Mm?O = ms rrMm 4tt-了=m -r2.4 rvM= "rv (T厂为行星（或口星）的 轨道半径为行 星（或卫星）绕中心天体 运动的线速度、角速度 和周期"环绕法'求得的是中 心天体的质量.而不能

7、求 绕中心天体做圆周运动 的行星（或卫星）的质量（2）天体密度的计算方法1:若天体的半径为 R,由“重力加速度法”可知天体的质量为gR2,M=，那么由GM 4 _33g=萨 y= 3兀R求得天体的密度 p = 4兀rg方法2:若中心天体的半径为 R,由“环绕法”可知中心天体的质量绕天体的轨道半径和公转周期），那么由3M 4.,371rp =vfe v= 兀R求得中心天体的密度 p = gTR当行星（或卫星）环绕中心天体表面运动时,337r其轨道半径r等于天体半径 R,则p =不平。P =千GlGI给出了 一种简单地求中心天体密度的方法，但是千万要注意这里的 动时对应的周期，而不是在其他轨道上运

8、动时的周期。T是环绕中心天体表面运注意区分R、r、h的意义，一般情况下,R指中心天体的半径，r指行星（或卫星）的轨道半径，h指行星（或卫星）距离中心天体表面的 高度，r = R+ ho例1 土星周围有美丽壮观的“光环”，组成环的颗粒是大小不等、线度从1 到10 m的岩石、尘埃，类似于卫星，它们与土星中心的距离从知环的外缘颗粒绕土星做圆周运动的周期约为7.3 X104 km 延伸到 1.4X105 km。已引力常量为 6.67X10 11 Nl- m 2/kg 2,则土星的质量约为(估算时不考虑环中颗粒间的相互作用A. 9.0 X1016 kgC. 9.0 X 1025 kgB.D.)()6.4

9、 X1017 kg6.4 X 10 26 kg(1) 土星“光环”的外缘颗粒为什么能绕土星做圆周运动？提示：这些颗粒受到土星的万有引力，万有引力提供了颗粒绕土星做圆周运动的向心力。(2)用什么方式来计算土星的质量？提示：可以把土星周围的这些颗粒当做土星的卫星，找到其轨道半径和绕土星运动的周 期，利用“环绕法”来求出土星的质量。规范解答土星“光环”的外缘颗粒绕土星做圆周运动，根据万有引力提供向心力:1.4X105 km, T为绕土星运动的周Mm 4 % 24 兀 2r3空=mTr,解得 M= gT。其中r为轨道半径，大小为期，约为14 h ,代入数据得：M-6.4 X 1026 kg , D正确

10、。完美答案D利用环绕法只能求中心天体质量，而不能求周围环绕卫星或行星的质量。变式训练1若地球绕太阳公转周期及公转轨道半径分别为T和R,月球绕地球公转周期和公转轨道半径分别为 t和r,则太阳质量与地球质量之比为 （）R3t 2R3T2R3t 2前A.37 B. r3t 2 C.2T D.2t 3答案 A后灯 4 Mm 4兀2 /日 r3皿粒 R t2 R3t2.斛析 由 Gr2= m-Tr得 Mk下，则江=,pur3宇，A正确。例2 （多选）2011年7月在摩洛哥坠落的陨石被证实来自火星，某同学想根据平时收集 的部分火星资料（如图所示）计算出火星的密度，再与这颗陨石的密度进行比较。下列计算火 星

11、密度的式子，正确的是（引力常量G已知，忽略火星自转的影响）（）A. p =3g02 71GdB. p =g0T237td_3兀C- P=GT2D. p6MTd3(1)由图片中火星的质量和直径能求火星密度吗？由重力加速度呢？提示：知道直径就可以计算体积，又知道质量，由 p =刖以直接求火星密度。知道重 力加速度和直径也可以通过“重力加速度法”求火星密度。(2)火星近地卫星的周期与火星密度有什么关系？3兀提不：p = G2。规范解答 由 P =M, V= 4兀 2 3,得 P =-6M3, D正确；由 GMm= mg, P =M V=4V 3 27cdd 2V 32d 33g03兀兀J 3,联立解

12、得=丁3, A正确；根据近地卫星的周期与中心天体密度的关系P=K可22 兀 GdGI知，C正确。完美答案ACD天体密度的计算可以说是天体质量计算的延伸，它可以借助于天体质量的计算，也可以 用自己特有的规律进行运算。变式训练2近年来，人类发射的火星探测器已经在火星上着陆，正在进行着激动人心的科学探索（如发现了冰），为我们将来登上火星、开发和利用火星奠定了坚实的基础。如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动, p的表达式为（k为某个常量）（）A. p = kT并测得它运动的周期为T,则火星的平均密度kB- p =TC. p = kTD. p = T-2答案 D ., ，一 -Mm 4兀2 _4

13、 % 2R3，一 ,，4解析 根据万有引力定律得 GR-myR,可得火星质量 M-GT2-,又火星的体积 V=-R R3,故火星的平均密度 P =M=答=5，D正确。天体运动各物理量与轨道半课堂任务径的关系 仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。活动1:地球绕太阳转一周的时间和金星、火星相比是长还是短呢?提示：无论地球、金星还是火星，它们绕太阳的运动都是万有引力提供向心力:Mm G-2 = rm -T- 2r o由此可得出T= 2兀GM即r越大，T越大。故地球绕太阳一周的时间比金星长,比火星短。活动2:如果知道地球绕太阳公转的半径和太阳的质量,提示：可以。仍然利用万有引力提供向心力，即我能知

14、道地球公转的线速度吗?2 xMm v , , 一口 ,G-2= m-,由此可得出 v = r r活动3:讨论、交流、展示，得出结论。(1)天体运动的分析与计算基本思路：一般行星或卫星的运动可看做匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它 的万有引力提供，即 F si = F常用关系：a.v4兀2ma= nm-= mo 2r = m-r。b.忽略自转时，GRm= mg物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力)，整理可得:GM= gR,该公式通常被称为“黄金代换式”，即当GM知道时，可以用 gR2来代换GM(2)天体运动的各物理量与轨道半径的关系设质量为m的天体绕另一质量为 M的中心天体做半径为 r

15、的匀速圆周运动。由2Mm v ，口Grr m-信v=r越大，v越小。由Mm2= mo rGM由Mm 2兀Grr= m 不由得3 =r越大，川越小。2r得T= 2兀I4r越大，T越大。GMGMma得a= y, r越大,a越小。以上结论可总结为：“一定则四定(即:r定了,V、T、a都定了)，越远则越慢”。例3 俄罗斯的“宇宙一2251”卫星和美国的“钺一33”卫星在西伯利亚上空约 805 km处发生碰撞，这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件。碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境。假定有甲、乙两块碎片绕地球运动的轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是 ()A.甲的运行周期一

16、定比乙的长8 .甲距地面的高度一定比乙的高C.甲的向心力一定比乙的小D.甲的向心加速度一定比乙的大(1)中心天体相同的两个环绕天体，速率大的半径如何？提示：速率大的半径小。(2)由环绕天体轨道半径的情况可以判断哪些物理量？提示：由轨道半径可以知道 v、T、a的情况。规范解答甲的速率大，由GM2m= ny,得v =、/GM由此可知，甲碎片的轨道半径小,距地面的高度小，故 B错误；由 幽 泻2- r,得T=41W,可知甲的运行周期小，故 A r ； gm错误；由于未知两碎片的质量，无法判断向心力的大小，故口 ，GMm /口 GMC错误；由p=ma 4导a=,可知甲的向心加速度比乙的大，故D正确。完

17、美答案D同一中心天体的环绕天体的 v、T、a的情况由轨道半径 r确定。以r为分析的核心,由于是唯一确定，随便知道哪个已知量，剩下的四个物理量也都确定了。而另外一变式训练3有的天文学家倾向于把太阳系外围较小的天体叫做“矮行星”，些人把它们叫做“小行星”，谷神星就是小行星之一。现有两个这样的天体，它们的质量分别为m和m,绕太阳运行的轨道半径分别是ri和2,求：(1)它们与太阳间的万有引力之比；(2)它们的公转周期之比。2m22 (2) mr i解析设太阳质量为 M由万有引力定律得，两天体与太阳间的万有引力之比MmFi=GUF2=lMrmG 2 r2答案2mr22-omri所以，天体绕太阳运动的周期

18、T= 2兀GIMMmG-2 =r(2)两天体绕太阳的运动可看成匀速圆周运动，向心力由万有引力提供，则有:则两天体绕太阳的公转周期之比TiT2双星问题课堂任务仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。活动1:什么是双星系统？提示：两个离得比较近的天体，在彼此间的万有引力作用下绕两者连线上的某一点为圆 心做圆周运动，这样的两颗星组成的系统称为双星系统。如图甲所示。活动2:双星系统的向心力由什么力来提供？提示：两颗星的万有引力提供彼此的向心力，所以两颗星的向心力大小是相等的。活动3:双星的角速度、周期一样吗？提示：双星总是在它们连线的两个端点，相同时间一定转同样圈数，其角速度、周期是一样的。活动4:讨

19、论、交流、展示，得出结论。(1)双星系统：两个离得比较近的天体， 在彼此间的万有引力作用下绕着两者连线上某一 点做匀速圆周运动，两者的距离不变，这样的两颗星组成的系统称为双星系统。(2)双星系统的特点各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供(如图)，即Gmm2= mco2ri= m32r2。两颗星的运动周期及角速度都相同，即Tl = T2, 3 1= 3 2。两颗星的轨道半径与它们之间距离的关系为：ri+2= L。(3)双星的两个结论运动半径与质量成反比，即r im21 口 一一=一;质重之和：rn+ mi=2 m4兀 2L3GT-。例4两个靠得很近的天体，离其他天体非常遥远，它们以其连线上

20、某一点O为圆心各自做匀速圆周运动，两者的距离保持不变，科学家把这样的两个天体称为“双星”，如图所 示。已知双星的质量分别为 m和m,它们之间的距离为 L,求双星的运行轨道半径 ri和2及 运行周期T(1)双星靠什么提供它们运转的向心力?提示：各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供。(2)双星角速度有什么特点？提示：相等。规范解答由双星系统的特点可知 ri +2= L,对 m2： GmLm2= ma 2r2。Lm联立解得ri=m2，Lmr 2 =m+ m2再由Lm2m+ m'解得周期T=g二十LnLmLm完美答案ri = m+m2 r2=m+mT=. G 案 + m变式训练4两个星球

21、组成双星， 它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动，现测得两星中心距离为-42R3答案飞rR,其运动周期为 T,求两星的总质量。解析设两星球质量分别为则由万有引力提供向心力得m和m,做圆周运动的半径分别为ri和2mm 4兀G-r= rmTri ,2mm 4兀 Gr- = nrrr2 且1+2=喳由式联立可得m+4兀2Rm="G广-I7 -03课后课时作业 KEHOUKESH17UOYE A组：合格性水平训练9 .（发现未知天体）（多选）下面说法中正确的是（）A.海王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的B.天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现

22、的C.天王星的运动轨道偏离是根据万有引力定律计算出来的，其原因是由于天王星受到轨道外面其他行星的引力作用D.冥王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的答案 ACD解析 人们通过望远镜发现了天王星，经过仔细的观测发现，天王星的运行轨道与根据 万有引力定律计算出来的轨道总有一些偏差，于是认为天王星轨道外面还有一颗未发现的行 星，它对天王星的吸引使其轨道产生了偏差。英国的亚当斯和法国的勒维耶根据天王星的观 测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出这颗新行星的轨道，后来用类似的方法发现了 冥王星。故A、C D正确，B错误。10 （天体运动各参量的比较）科学家们推测，太阳系的第十颗行星就在地球的轨道

23、上，从 地球上看，它永远在太阳的背面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“挛 生兄弟”。由以上信息我们可能推知 （）A.这颗行星的公转周期与地球相等B.这颗行星的自转周期与地球相等C.这颗行星质量等于地球的质量D.这颗行星的密度等于地球的密度答案 A解析 由题意知，该行星的公转周期应与地球的公转周期相等，这样，从地球上看，它 才能永远在太阳的背面。故A正确。行星的自转周期、质量和密度都只与行星本身有关，而与绕中心天体如何运行无关，B、C、D错误。11 （天体运动各参量的比较）假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动，已知地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离，那么（）A.地球公转的周期大

24、于火星公转的周期B.地球公转的线速度小于火星公转的线速度C.地球公转的加速度小于火星公转的加速度D.地球公转的角速度大于火星公转的角速度答案 D解析 根据GM2m= m2T 2r = nv"=ma=m2r得：公转周期 T= 2兀 7GM公转线速度GMGM-GMC错误，D正确。Y，公转加速度a= 7，公转角速度3=7，分析可得A、B、12 （天体密度的计算）地球表面的平均重力加速度为g,地球半径为 R,万有引力常量为G用上述物理量估算出来的地球平均密度是（）A.3g4兀RGB.4VR2GC9D?C.RGRG答案 Am Mm mgR2, M 3M解析 地球表面有 G三 = mg 4导M=

25、77，又由p =Q= A己 ）由得出 p =RGV 4 兀 R47故选区。13 （天体质量的计算）（多选）通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量。假设卫 星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的 质量。这两个物理量可以是 （）A.卫星的速度和角速度B.卫星的质量和轨道半径C.卫星的质量和角速度D.卫星的运行周期和轨道半径答案 AD_ ，v , Mm解析 根据线速度和角速度可以求出半径 =公，根据万有引力提供向心力， 则有牢=23v vm,整理可得 M=,故A正确；由于卫星的质量 m对圆周运动无影响，故 B、C错误；若rGw知道卫星的运行周期和轨道半

26、径，则GMm= m2。2r,整理得M= 4GJ,故D正确。14 （天体运动各参量的比较）两颗行星A和B各有一颗卫星a和b,卫星轨道接近各自行MA,星的表面，如果两行星的质量之比为解析M=p,两行星半径之比为 -=q,则两个卫星的周期之比卫星在行星表面做圆周运动时，万有引力提供圆周运动的向心力，则有:MmMB他m2r 2r，彳导T=寸需，解得：Tb=q、/p，故D正确。15 （双星问题）（多选）宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不会因为万有引力的作用而吸引到一起。如图所示，某双星系统中A、B两颗天体绕 O点做匀速圆周运动，它们的轨道半径之比a：

27、b= 1 ： 2,则两颗天- 34 -A.质量之比m : mB= 2 ： 116 角速度之比 3A ： 3B= 1 ： 2C.线速度大小之比 Va : Vb= 1 ： 2D.向心力大小之比 Fa： Fb= 2 ： 1答案 AC解析 双星都绕O点做匀速圆周运动， 由两者之间的万有引力提供向心力，角速度相等,设为a，设A、B之间的距离为Gg=mico 2rB，联立得mAmB2L。根据牛顿第二定律，对 A星：GF=mA3 rA；对B星:Va ： Vb=a：b= 1 ： 2, C 正确;mA： mB=b ：a=2 ： 1, A正确；根据双星系统的特点有：角速度之比a ： 3 b= 1 ： 1, B错误

28、；由v= 3 r得线速度大小之比向心力大小之比 Fa ： Fb= 1 ： 1, D错误。8.(综合)若宇航员登上月球后，在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同高度由静止同时释放，二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面。已知引力常量为G,月球的半径为 R。求：(不考虑月球自转的影响)(1)月球表面的自由落体加速度大小g月；(2)月球的质量M(3)月球的密度。答案2h(1)干(2)2hR23hGtr (3) 2 无 RGt解析(1)月球表面附近的物体做自由落体运动h=2g月t2,可得g2h月=钎。(2)因不考虑月球自转的影响，则有 任mg月,2hR2月球的

29、质量M= -ToGt2hR2口 4、 M "GT3h(3)月 球的留度 p = -= -= 372。V 43 2 兀 RGt.兀R317 （双星问题）太阳系以外存在着许多恒星与行星组成的双星系统，它们运行的原理可以理解为：质量为 M的恒星和质量为 m的行星（M> m）在它们之间的万有引力作用下有规律地运 动着。如图所示，我们可认为行星在以某一定点C为中心、半径为 a的圆周上做匀速圆周运动（图中没有表示出恒星）。设万有引力常量为 G,恒星和行星的大小可忽略不计。（1）试在图中粗略画出恒星运动的轨道和位置；（2）试计算恒星与我 C间的距离和恒星的运行速率v。答案见解析器Mmm

30、9;/GM解析 （1）恒星运动的轨道和位置大致如图。（2）设恒星与点C间的距离为应，对行星m F= mo 2 aD对恒星 M F' = ML 2RK2）根据牛顿第三定律，F与F '大小相等。又由得：RM= 32,口Mm v对恒星M G2=屿a+ Rm R代入式得:B组：等级性水平训练10 .（天体运动各参量的关系）一行星绕恒星做圆周运动。由天文观测可得，其运行周期为T,速度为v,引力常量为G,则下列关系式错误的是（）A.恒星的质量为v3T2TGB.行星的质量为4兀 2v3GTTC.行星运动的轨道半径为vT2兀D.行星运动的加速度为2 71V答案 B2解析 因v = ?,所以r = , C正确；结合万有引力定律公式Gt2= m,可解得恒|2 %r r3T星的质量M= v, A正确；因不知行星和恒星之间的万有引力的大小，所以行星的质量无法 2兀G计算，B错误；行星的加速度 a=v = v2 ,