第三章范数理论及其应用

1、第三章第三章 范数理论及其应用范数理论及其应用3.2 3.2 矩阵范数矩阵范数3.3 3.3 范数的应用范数的应用3.1 3.1 向量范数向量范数它具有非负性、齐次性和三角不等式三个它具有非负性、齐次性和三角不等式三个基本性质，向量范数也具备这些性质。基本性质，向量范数也具备这些性质。平面解析几何中一个向量平面解析几何中一个向量 的长度的长度的定义：的定义：T21)x,x(x 212221)xx(x 3.1 3.1 向量范数向量范数(1)(1)非负性非负性： ，当且仅当，当且仅当 时，时， ; ;(2)(2)齐次性齐次性：对任何数：对任何数 ，有，有 ; ;0 x 0 x 0 x xx 定义定

2、义3.1.13.1.1设设 是是 维向量空间，若对维向量空间，若对 中任意向量中任意向量 都有一个实数都有一个实数 与之对应与之对应且满足：且满足：nxnVnVx(3)(3)三角不等式三角不等式：对：对 中任意两个向量中任意两个向量 x x 和和 y,y,有有nVyxyx 则称则称 为为 中向量中向量x x的范数，简称为的范数，简称为向量范数向量范数。 xnV定义了范数的向量空间称为赋范向量空间。定义了范数的向量空间称为赋范向量空间。 在赋范向量空间在赋范向量空间 中，向量中，向量x x与与y y之间的距之间的距离可定义为离可定义为 的范数，即的范数，即yx yx)y, x(d nV距离距离d

3、 d 具有具有平移不变性平移不变性，即若，即若 ，则，则 Va )y,x(d)ay,ax(d )a,ax(d)0 ,x(d 3.1.2 3.1.2 几种常用的向量范数几种常用的向量范数定理定理3.1.13.1.1按如下方式定义的函数是范数：按如下方式定义的函数是范数： n1kk1xx)1(2/1n1k2k2xx)2( x,x,xmaxx)3(n21 例例 3.1.13.1.1例例 3.1.23.1.2例例 3.1.33.1.3在在 和和 中画出中画出1-1-范数、范数、2-2-范数、范数、 - -范数范数的的“单位圆单位圆”和和“单位球单位球”有助于大家对有助于大家对范数的理解。范数的理解。2

4、R3R (1,0)(0.-1)(-1,0)(0,1)1x2x（0，0，1）（1，0，0）（0，1，0）1x2x3x1-1-范数意义下的范数意义下的“单位圆单位圆”和第一象限的和第一象限的“单位球单位球” (0,1)(1,0)(0,-1)(-1,0)1x2x1x2x3x(0,0,1)(1,0,0)(0,1,0)2-2-范数意义下的范数意义下的“单位圆单位圆”和第一象限的和第一象限的“单位球单位球” (1,0)(1,1)(0,1)(-1,1)(-1,0)(-1,-1)(0,-1)(1,-1)1x2x1x（0，0，1）（1，1，1）2x3x（1，1，0）（0，1，0）（1，0，0）（1，0，1）（0

5、，1，1）- -范数意义下的范数意义下的“单位球单位球”和第一象限的和第一象限的“单位球单位球” 3.1.3 3.1.3 向量范数的等价性向量范数的等价性定义定义3.1.23.1.2设设 和和 是是 中的两种向中的两种向量范数，如果存在正数量范数，如果存在正数 和和 使得对任使得对任意意 , ,都有都有nVxp q nV pqpxxx 则称向量范数则称向量范数 与与 等价。等价。p q 定理定理3.1.23.1.2对任意对任意 都有：都有：nVx 212xnxx)1( 22xxxn1)2( 定理定理3.1.33.1.3 n n维向量空间维向量空间 中所有的向量中所有的向量范数都是等价的。范数都

6、是等价的。 nV例例 3.1.43.1.4称向量序列称向量序列 收敛于收敛于 ，记为记为 或或定义定义3.1.33.1.3给定给定n n维向量空间维向量空间 中的向量中的向量序列序列 , ,其中其中 nV3 , 2 , 1k)x,x(xT)k(n)k(1)k( ）（n, 2 , 1jxxlimj)k(jk 若若Tn21)x,x,x(x (k)x)k(xxxxlim)k()k(k (k)x定理定理3.1.43.1.4 x(k)x0 xxlim)k(k 中任意一种范数中任意一种范数是是 nV 不同的向量范数可能具有不同的大小，不同的向量范数可能具有不同的大小，但在各种范数下，向量序列的收敛问题却但

7、在各种范数下，向量序列的收敛问题却表现出简洁性和一致性。表现出简洁性和一致性。3.2.1 3.2.1 矩阵范数的定义矩阵范数的定义3.2 3.2 矩阵范数矩阵范数定义定义3.2.13.2.1设设 ，定义一个实值函，定义一个实值函数数 ，满足以下性质：，满足以下性质：nmCA A(1)(1)非负性：非负性： ，当且仅当，当且仅当 时，时， 0A 0A 0A (2)(2)齐次性：齐次性： , ,其中其中 是任意常数；是任意常数； AA (3)(3)三角不等式：三角不等式： ，其中，其中 是是任意任意 的矩阵。的矩阵。BABA nm B(4)(4)相容性：相容性： ，其中，其中 是可与是可与 相乘的

8、任意矩阵；相乘的任意矩阵；BAAB BA则称则称 为为 的的矩阵范数。矩阵范数。AA例例 3.2.13.2.1例例 3.2.23.2.2 能否可以从能否可以从 中，将中，将 提取出来呢？提取出来呢？AxA例例3.2.33.2.3定义定义3.2.23.2.2设设 是是 上的矩阵范数，上的矩阵范数， 是是 与与 上的向量范数，如果对上的向量范数，如果对任意任意 和和 都有都有则称矩阵范数则称矩阵范数 与向量范数与向量范数 是是相容相容的的。m nmC v mCnCnmCA nCx vmvxAAxm v3.2.2 3.2.2 从属范数从属范数 定义定义3.2.33.2.3 是是 上的向量范数，上的向

9、量范数，定义实值函数定义实值函数则称则称 为由向量范数为由向量范数 导出的矩阵范数导出的矩阵范数或从属于向量范数或从属于向量范数 的矩阵范数，简称的矩阵范数，简称为为导出范数导出范数或或从属范数从属范数。vv0 xxAxmaxA v nCnnCA Av v 因此，我们可得到如下结论。因此，我们可得到如下结论。 若令若令 ，则，则 ，此时，此时vxxu 1uv vvvvvAuxxAxAx 定理定理3.2.13.2.1 v1xAxmaxA 定理定理3.2.23.2.2任意从属范数都是范数，即对任意从属范数都是范数，即对任意任意 ， ， ，都有：，都有：nmCA nmCB pnCC C (1)(1)

10、非负性：非负性： ，当且仅当，当且仅当 时，时， 。0A 0A 0A (2)(2)齐次性：齐次性： ；AA (3) (3) 三角不等式：三角不等式：BABA CAAC (4) (4) 相容性：相容性：另外每一种从属范数还具备如下性质：另外每一种从属范数还具备如下性质：(a) ;(a) ;1I (b)(b) ，且在某点，且在某点 等式成立；等式成立；xvvxAAx (c) (c) 若若 可逆，则可逆，则A1vxA1Axminv1(d) (d) 若若 可逆，则可逆，则Av1vxA1Ax m1kkjj1amaxA1 ）（2/1H2)AA(max(A)2( n1kikiamaxA)3(例例 3.2.4

11、3.2.4定理定理3.2.33.2.3 设设 ，分别由向量范数，分别由向量范数 导出的矩阵范数为：导出的矩阵范数为： nmCA ,21定理定理3.2.43.2.4设设 ，则，则nmCA 2F2xAAx)1( F2AA)2( 例例 3.2.53.2.5定理定理3.2.53.2.5设设 ，且，且 都都是酉矩阵，则是酉矩阵，则nmCA mnnmCQ,CP FFFFPAQAQAPA3.3.13.3.1线性变换的误差分析线性变换的误差分析 3.3 3.3 范数的应用范数的应用设设T T是线性变换，是线性变换，A A是与之对应的矩阵，即是与之对应的矩阵，即Ax)x(T 下面我们研究在此线性变换下下面我们研

12、究在此线性变换下“单位圆单位圆”的象。的象。的结论：的结论： AAxmax)x(Tmax11x1x ）（假定（假定 可逆）可逆）A11x1xA1Axmin)x(Tmin2 ）（假定（假定 可逆）可逆）A11x1xAA)x(Amin)x(Tmax3 ）（例例 3.3.13.3.11x2x1z2z(a) 单位圆1x2x 2zT)(1zT（b）单位圆在线性变换下的像矩阵从属范数在逼近论中的应用矩阵从属范数在逼近论中的应用设设 ， 是是 的一个近似值，则的一个近似值，则zwnCw zwA) z (T)w(T 上式说明象向量之间的误差不超过上式说明象向量之间的误差不超过 的的 倍倍. .zw A而相对误

13、差满足关系而相对误差满足关系)w(TzwA)w(T) z (T)w(T 由结论由结论(2)(2)知知 ，因此，因此 11xA1)x(Tmin 其中其中 称为矩阵称为矩阵A A的条件数。的条件数。 wzwAAwA1zwA)w(T)z (T)w(T11 1AA)A(cond 上式说明像向量的相对误差不超过原像的上式说明像向量的相对误差不超过原像的相对误差的相对误差的 倍倍. .)A(cond因此因此A A的条件数都大于的条件数都大于1.1.1IAAAA)A(cond11 由于由于可以证明可以证明n)A(cond)A(condn12 n)A(cond)A(condn121 其中其中 分别由矩阵分别由

14、矩阵的的1-1-范数、范数、2-2-范数和范数和 范数计算得到的。范数计算得到的。),A(cond),A(cond),A(cond21 设设 非奇异，非奇异， ，考虑如下线性，考虑如下线性方程组方程组 . .nnRA 1nRb bAx 3.3.2 3.3.2 线性方程组线性方程组 解的误差分析解的误差分析bAx 由于误差，设用由于误差，设用GaussGauss消去法得到的解消去法得到的解为为 ，满足，满足 其中其中E E是由舍入引是由舍入引起的误差矩阵起的误差矩阵. . xbx)EA( 设机器的有效数字为设机器的有效数字为t t，则，则t10AE 设设x x是线性方程组的精确解，则是线性方程组

15、的精确解，则 xE)xx(A xEAxx1 xEAxx1 AE)A(condxxx 表明了误差表明了误差E E 对方程组对方程组 的解的影响，当的解的影响，当 很小时，解的失很小时，解的失真程度小，这样的矩阵称为良态矩阵或好真程度小，这样的矩阵称为良态矩阵或好条件的。若条件的。若 很大，则解的失真程度很大，则解的失真程度也可能很大，这样的矩阵称为病态矩阵或也可能很大，这样的矩阵称为病态矩阵或坏条件的。坏条件的。bAx )A(cond)A(cond)A(condHilbertHilbert矩阵是很有名的病态阵：矩阵是很有名的病态阵： 1n2/11n/1n/11n/13/12/1n/12/11Hn随着随着n n的增大，的增大， 的条件数增长很快。的条件数增长很快。nH3.3.33.3.3矩阵的谱半径矩阵的谱半径 定义定义3.3.13.3.1设设 为为A A的的n n个个特征值，称特征值，称为为A A的谱半径。的谱半径。n21nn,CA jjmaxA 例例 3.3.3定理定理3.3.13.3.1 设设 是任一矩阵范是任一矩阵范数，则数，则mnn,CA mAA