2020年高考数学一轮复习第三章第8节正弦定理和余弦定理应用举例

1、2020年高考数学一轮复习第三章第8节正弦定理和余弦距离咨询题组一题10时到达灯塔P的南偏西75 °、距塔那么这只船航行的速度为68海里的M处，下午2时到达这座定理应用举例1.一船自西向东航行，上午灯塔的东南方向的 N处,B.c.卫2也海里/时D.34皿海里/时解析：如图.由题意知/MPN=75+45° =120° , / PNM=45在 PMN中，由正弦定理，得MNsin1201PMsin 45，MN=68X 方=34 76 .2又由M到N所用时刻为14-10=4小时,，船的航行速度34 617 1v= -4 v6 (海里/时).答案：A2. 一船以每小时15

2、km的速度向东航行，船在 A处看到一灯塔 M在北偏东60方向，行驶4 h后，船km.到达B处，看到那个灯塔在北偏东15。方向，这时船与灯塔的距离为解析：如图，依题意有 AB=15X4=60, /MAB = 30°, / AMB = 45°,在 AMB中，由正弦定理得60 BMsin45sin30 '解得 BM=30/2 km.答案：30 .2ft3 .如下图，为了测量河对岸A, B两点间的距离，在这一岸定一基线 CD,现已测出 CD = a和/ ACD = 60°,Z BCD =30°, /BDC=105°, / ADC = 60

3、76;,试求 AB 的长.解：在4ACD 中，CD = a, /ACD = 60°, /ADC = 60°,因此 AC=a. 在 BCD中，由正弦定理可得c asin105 ° V3+ 1BC= /仁。= c a.sin45 2在4ABC中，差不多求得 AC和BC,又因为Z ACB = 30 °,因此利用余弦定理能够求得A、B两点之间的距离为AB= a/aC2+ BC2-2AC BC cos30 = 222a.题组二高度咨询题4 .据新华社报道，强台风 ''珍宝'在广东饶平登陆.台风中心最大风力达到 12级以上，大风降雨给灾45&

4、#176;角,树区带来严峻的灾难，许多大树被大风折断.某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成干也倾斜为与地面成 75。角，树干底部与树尖着地处相距20米，那么折断点与树干底部的距离是A.)20 ：6、匕3米B. 10m米C.*6 米3D.20 2米解析：如图，设树干底部为 O,树尖着地处为 B,折断点为A那么/ABO=45JOAB=60 ;由正弦定理知,AO20sin 451 sin 60wAO= 20V63答案：A5.在一个塔底的水平面上某点测得该塔顶的仰角为0,由此点向塔底7&直线行走了30 m,测得塔顶的仰角为2Q再向塔底前进10<3 m,又测得塔顶的仰角为4 9,那么塔的

5、高度为解析：如图，依题意有 PB=BA=30 , PC=BC= 10J3 .在三角形BPC中，由余弦定理可得cos2 0=（10；3）2 + 302 -（ 10 3）22 10,3 30,因此2 0 =30° , 4 0 =60° ,在三角形 PCD中,2可得 PD=PC sin4 0 =1072 =15（m）2答案：15 m6.某人在山顶观看地面上相距2 500 m的A、B两个目标，测得目标 A在南偏西57°,俯角为30°,同时测得B在南偏东78°,俯角是45°,求山高（设A、B与山底在同一平面上，运算结果精确到0.1m）.解：画出

6、示意图（如下图）设山高PQ=h,那么ARQ、ABPQ均为直角三角形,在图（1）中，ZFAQ=30° , zPBQ=45 °.PQPQ .AQ=t 30°V3h , BQ=t 45°=h在图（2）中，ZAQB=57 °+78 =135o ,AB=2 500,因此由余弦定理得：AB2=AQ2+BQ2-2AQ BQcos/AQB,即 2 5002=（ V3 h）2+ h2-2 V3 h h cos135 =（4+ 66 ）h2,h= 2500_ =984.4（m）4 .6答：山高约984.4 m.角度咨询题组三题7 .在ABC中，角 A、B、C所对的

7、边分不为 a, b, c,假如 c= V3a, B=30°,那么角 C等于()A. 120B. 105C. 90°D. 75解析：.飞=/a, .sinC = 73sinA= sin(180。 30 -C) = 73sin(30。+C)=>/3(乎sinC + cosC),即 sinC= V3cosC.，tanC = /.又 CC (0,180 ),°.C=120°.答案：A8 .假如把直角三角形的三边都增加同样的长度，那么那个新的三角形的形状为()A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.由增加的长度决定解析：设增加同样的长度为 x,原

8、三边长为a、b、c,且c2=a2+b2, a +b>c新的三角形的三边长为a + x、b + x、c+ x,知c+ x为最大边，其对应角最大.而(a+ x)2 + (b + x)2- (c+ x)2 = x2 + 2(a+ b-c)x>0,由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正，那么为锐角，那么它为锐角三角形.答案：A题组四正、余弦定理的综合应用9 .有一山坡，坡角为30。，假设某人在斜坡的平面上沿着一条与山坡底线成30。角的小路前进一段路后,升高了 100米，那么此人行走的路程为()A. 300 mB. 400 mC. 200 mD. 200v3 m解析：如图，AD为山坡底线，

9、AB为行走路线，BC垂直水平面.决那么 BC=100 , ZBDC=30 ° , zBAD=30 ° , £JA.BD=200 , AB=2BD=400 米.答案：B10 .线段AB外有一点 C, /ABC=60°, AB =200 km,汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩 托车以50 km/h的速度由B向C行驶，那么运动开始 h后，两车的距离最小.解析：如下图：设t h后，汽车由A行驶到D,摩托车由B行驶到 巳 那么AD=80t, BE=50t.因为 AB=200,因此 BD=200-80t,咨询题确实是求 DE最小时t的值.由余弦定理：D

10、E2=bd2+BE2-2BD - BEcos60°=(200-801) 2+2500t2-(200-801) 50t=12900t2-42000t+40000.当t=70时de最小.43答案：704311 .如图，扇形 AOB,圆心角 AOB等于60°,半径为 在弧AB上有一动点P,过P引平行于OB的直线和 最大值及现在 。的值.解：因为 CP/OB,因此 /CPO=/POB=60° 以2,OA/，OCP=120 .A,谈/ AOP= 0,求 POC面积的在 POC中，由正弦定理得OPCP2 CPsinZ PCO sin。' sin120sin 0一一 4

11、,因止匕CP = 3sin又一OC-sin(60 二4OC = ；j3sin(60 - 0).因此 POC的面积为S( = 2CP OCsin120 = 2 诋sin。J3sin(60 - 0)x13T=3sin Qsin(60 0) = 3sin 131cos 0- 2sin 0)= cos(2。一 60 ) - 2,长(0 °, 60 ).一，,'3因此当仁30时，S(9)取得最大值为3T.312. (2018宁波模拟)某建筑的金属支架如下图，依照要求AB至少长2.8 m, C为AB的中点，B至U D的距离比CD的长小0.5 m, / BCD = 60°,建筑支架的材料每米的价格一定，咨询如何样设计 AB, CD的长，可使建筑那个支架的成本最低?解：设 BC= am(a>1.4), CD = bm,连接 BD.1c c c那么在 CDB 中，(b 2)