2020年高考数学(理)总复习：立体几何中的向量方法(原卷版)

1、2020年高考数学(理)总复习：立体几何中的向量方法题型一利用向量证明平行与垂直【题型要点】向量证明平行与垂直的4步骤(1)建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用载体中的垂直关系；建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素；(3)通过空间向量的运算求出平面向量或法向量，再研究平行、垂直关系;(4)根据运动结果解释相关问题.【例1】如图，在直三棱柱ADE - BCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，点M为AB的中点，点。为DF的中点.运用向量方法证明:(1) 0M /平面 BCF ；(2)平面 MDF _L平面 EFCD .11题组训练

2、一利用向量证明平行与垂直如图，在底面是矩形的四棱锥P- ABCD中，PAjjg面ABCD，点E, F分别是PC, PD的中点，PA = AB = 1, BC= 2.求证：EF 平面PAB；/ :4'(2)求证：平面PAD _L平面PDC.B题型二 利用空间向量求空间角【题型要点】1利用向量法求直线与平面所成角时易混淆直线与平面所成角与直线方向向量和平面的法向量的夹角的关 系，一定要注意线面角B与夹角a的关系为sin。= |cos此2.求二面角0,主要通过两平面的法向量n, m的夹角求得，即先求|cos (n, m> |,再根据所求二面角是钝 角还是锐角写出其余弦值.若0为锐角，则

3、cos 0= |cos <n, m> |；若 0 为钝角则 cos 0=一 |cos < n, m> |.【例 2如图，AD / BC 且 AD = 2BC, AD ± CD , EG / AD 且 EG = AD ,-CD / FG 且 CD = 2FG , DG _L平面 ABCD , DA = DC = DG = 2.*f*(1)若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN /平面CDE ；(2)求二面角E-BC-F的正弦值;若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°求线段DP的长.题组训练二利用空间向量求空间角如图，四面体A

4、BCD中， ABC是正三角形，AACD是直角三角形，/ ABD = Z CBD ,AB= BD.(1)证明：平面ACD _L平面ABC；(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体 积相等的两部分，求二面角D - AE- C的余弦值.题型三利用空间向量解决探索性问题【题型要点】利用空间向量巧解探索性问题空间向量最适合于解决立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算 进行判断.(2)解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把是否存在”可题转化为点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这

5、一方法解题.E为BC中点.【例3】如图，在长方体ABCD - AiBiCiDi中，AB=AA=1,(1)求证：CiD _L DiE；(2)在棱AA上是否存在一点M，使得BM 平面ADiE?若存在，求令萝的 值，若不存在，说明理由.AAi若二面角Bi AE- Di的大小为900求AD的长.题组训练三利用空间向量解决探索性问题如图，已知等边 ABC中，E, F分别为AB, AC边的I中点，M为EF的中点，N为BC边上一点,且CN = : BC,4将Za AEF沿EF折到 A'EF的位置，使平面A'EF _L平面EFCB.(I)求证：平面A MN _L平面A BF；(n )求二面角E

6、-A F-b的余弦值.题型四建立空间直角坐标系的方法坐标法是利用空间向量的坐标运算解答立体几何问题的重要方法，运用坐标法解题往往需要建立空间直角坐标系，依据空间几何图形的结构特征，充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系，是运用坐标法解题的关键，下面举例说明几种常见的空间直角坐标系的构建策略.方法一利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系【例4】已知直四棱柱ABCD - AiBCiDi中，AAi=2，底面ABCD是直角梯形，/ A为直角，AB/ CD , AB= 4, AD= 2, DC = 1,求异面直线B。与DC所成角的余弦值.方法二利用线面垂直关系构建直角坐标系【例5

7、】如图，在三棱柱ABC中，ABJJM面BBQiC, E为棱CC上异于C,Ci 的一点 , EA _L EBi.已知 AB = 2, BBi= 2, BC = 1 , / BCCi = i求二面角AEBi Ai的平面角的正切值.方法三利用面面垂直关系构建直角坐标系【例6如图，在四棱锥V - ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形,平面VAD ±底面ABCD.求证AB _L平面VAD；求二面角A - VD - B的余弦值.方法四利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系【例7】 已知正四棱锥V ABCD中，E为AC中点，正四棱锥底面边长为2a,高为求/ DEB的余弦值：(

8、2)若BE_LVC,求/ DEB的余弦值.如图，四棱锥PABCD , AB 二 BC【专题训练】1.如图，在四棱锥P ABCD中，PC jjg面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB± AD, AB /CD , AB = 2AD = 2CD = 2, PE = 2BE.(D求证：平面EAC _L平面PBC；(2)若二面角P - AC- E的余弦值为-3 求直线PA与平面EAC所成角的正 弦值.2.ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面1=2AD，/ BAD = Z ABC = 90 ° E 是 PD 的中点.(1)证明：直线CE平面PAB；点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45。求二面 角M AB- D的余弦值.3.AB = 2AD = 2, / DAB如图所示的几何体中，四边形ABCD为等腰梯形，AB II CD,FH二60'四边形CDEF为正方形，平面CDEF _L平面ABCD.(1)若点G是棱AB的中点，求证：EG I平面BDF ；(2)求直线AE与平面BDF所成角的正弦值；(3)在线段FC上是否存在点H，使平面BDF _L平面HAD ?若存在，求丽的值；若不存在，说明理由.4.如图，已知圆锥00i和圆柱0。2的组合体(它们的底面重合)，圆锥的底