高中数学第二讲直线与圆的位置关系四弦切角的性质成长学案新人教A版选修4-1

1、四 弦切角的性质主动成长夯基达标1. 如图 2-4-8,AB 是半圆 O 的直径 , C、 D是半圆上的两点 , 半圆 O的切线 PC交 AB的延长线于点 P, PCB25°, 则 ADC为（）图 2-4-8A.105°B.115°C.120°D.125°思路解析 : 连结 AC,构造出圆周角 ADC所对弧的弦切角 , 即 PCA,而 PCA显然等于 PCB 加上一个直角 , 由此即得结果 .答案:B2. 如图2-4-9,AB 是 O 的直径 , EF 切 O 于 C, ADEF 于 D, AD =2, AB =6, 则 AC 的长为（）图 2

2、-4-9A.2B.3C.23D.4思路解析 : 连结, 构造出弦切角所对的圆周角, 由已知有与ACB相似 , 所以可得BCADC= , 代入数值得关于 AC的方程 .答案:C3. 如图 2-4-10, AB是 O的弦 , CD是经过 O上的点 M的切线 .求证 :图 2-4-101 / 8(1) 如果 AB CD,那么 AM =MB;(2) 如果 AM=BM, 那么 AB CD.思路分析 : 本题的两个问题互为逆命题, 利用弦切角在中间起桥梁作用, 如第（ 1）题 , 由平行得 B = DMB,由弦切角得 DMB= A, 于是有 A = B.证明 : (1) CD切 O于 M点 , DMB=

3、A, CMA= B. ABCD, CMA= A. A = B. AM =MB.(2) AM=BM, A = B. CD切 O于 M点, DMB= A, CMA= B. CMA= A. AB CD.4. 如图 2-4-11, 四边形 ABED内接于 O, AB DE, AC切O于 A, 交 ED延长线于 C.求证 : AD AE =DC BE.图 2-4-11思路分析: 求证成比例的四条线段正好在两个三角形ACD 和 ABE 中 , 所以只要证明ACD ABE即可 .证明 : 四边形ABED内接于圆 , ADC= ABE. AC是 O的切线 , CAD= AED. ABDE, BAE = AED

4、. CAD= BAE. ACD ABE. ADAE =DCBE.5. 如图 2-4-12,P 为 O的直径 CB延长线上的一点,A 为 O上一点 , 若=, AE 交 BC于 D, 且 C =PAD.图 2-4-12(1) 求证 :PA 为O 的切线 ;(2) 若 BEA =30°,BD 1, 求 AP及 PB的长 .思路分析 : 对于（ 1） , A 已经是圆上一点 , 所以可以连结 OA, 证明 PA 与 OA垂直 ; 对于（ 2） , 将 E 利用圆周角定理转移到 Rt ODA和 Rt OAP中 , 解直角三角形即可得到线段 AP及 PB 的长 .2 / 8（1）证明 : 连结

5、 AO, =, BC为直径 , AE BC, AD =DE,=DE. OA =OB, C =3. 1=2 C.又 C = PAD, 1=2. 1+4=90°, 2+4=90°. PAOA. PA为 O的切线 .（ 2）解 : 在 Rt EBD中, BEA =30°,BD1, BE =2, DE =.在 Rt ODA和 Rt EBD 中 , 4=90° - 1=90° - 2 C=90° - 2 E =30°= E, ODA = BDE, AD =ED, RtODARt EBD. AD =DE = , OD =BD =1,OA

6、 =BE =2.在 Rt OAP中, AD OP,2即=1· DP. AD=OD· DP, DP=3. BP =2.在 Rt ADP中 , 根据勾股定理, 得=.6. 如图 2-4-13,BA 是 O的直径 , AD是 O的切线 , 切点为 A, BF、 BD交 AD于点 F、 D, 交 O于 E、 C, 连结 CE. 求证 : BE· BF =BC· BD.图 2-4-13思路分析 : 要证 BE· BF =BC· BD, 只需证 BEC BDF, DBF 为公共角 , 只需再找一组角相等, 为此 , 过 B 作 O的切线 , 构造

7、弦切角 .3 / 8证明 : 过 B作 O的切线 BG, 则 BG AD, GBC= BDF.又 GBC= BEC, BEC = BDF.而 CBE为公共角 , BEC BDF. BE·BF =BC·BD.7. 如图 2-4- 14, O是 ABC的外接圆 , ACB的平分线CE交 AB于 D,交 O于 E, 过 E 点作2O的切线交 CB的延长线于F. 求证 : AE =AD· EF.图 2-4-142思路分析 : 要证 AE=AD· EF, 考虑相似三角形 , 但 AE、AD、EF所在三角形不相似 , 因此要找线段等量代换 .证明 : 连结 BE,F

8、EB EAD=.又 3=2BE =AEBE =AE,2则 AE=AD· EF.8. 如图 2-4-15,PA、 PB 是 O的两条切线 , A、 B 为切点 , C 是上一点 , 已知 O的半径为r, PO =2r, 设 PAC+PBC =, APB =, 则 与 的大小关系为 ()A. >B. =C.<D.不能确定思路解析 : 连结 AB、 AO, PA、 PB为切线 ,4 / 8 PAC= ABC, PBC=BAC. = PAC+ PBC= PAC+ BAC=PAB =PBA =. AO =r, PA切 O于 A, AO PA, 且 PO=2r. APO= 30 &#

9、176;. APB =2 APO=60°. =60°. =(180 ° - 60°)=60 °. = .答案:B图 2-4-159. 如图 2-4-16, 已知 AB为 O的直径 , P 为 AB延长线上一点 , PT切 O于 T, 过点 B 的切线交AT延长线于 D, 交 PT于 C.图 2-4-16(1) 试判断 DCT的形状 .(2) DCT有无可能成为正三角形 ?若无可能 , 说明为什么 ; 若有可能 , 求出这时 PB与 PA应满足的条件 .思路分析 : 要判断 DCT的形状 , 先考虑其内角的关系 , 注意到 CT、 CB 为切线

10、, 则连结 BT, 可用弦切角定理推论得 ATB = BTD =90°, 从而可判断 DCT的形状 .解: (1) 连结 BT, CB、CT为 O的切线 , CTB =CBT.又 AB为 O的直径 , ATB = DTB =90°. DTC =90° - CTB, D =90° - CBT. DTC = D, 即 CD =CT. DCT为等腰三角形 .(2) 若 DCT为正三角形 , 则 D =60°, 由 (1) 知 CBT=90° - D =30°,而 CB切 O于 B, A = CBT=30°.在 Rt AT

11、B中,=sin30 °=,且 ABT=90° - 30°=60°, ABT = CTB + P.5 / 8而 CTB = CBT =30°, P =30°. P = CTB.PB=.=,TB即当 PB PA=13时, DCT为正三角形 .走近高考10. 如图2-4-17, AB是 O的直径 , PB切 O于点 B, PA交 O于点 C, APB的平分线分别交BC、 AB 于点 D、 E, 交 O 于点 F, A=60°, 并且线段2AE、 BD 的长是一元二次方程 x - kx+=0 的两个根 (k 为常数 ).图 2-4-

12、17(1) 求证 : PA· BD=PB· AE;(2) 证明 O的直径长为常数 ;(3) 求 tan FPA的值 .思路分析 : (1) 由 PBD PAE即可证得 .(2) 由韦达定理知 AE +BD =k, 只需证 BE =BD, 这可由角的相等证得 .(3) 要求 tan , 先将转化到直角三角形中, 而FPB=, 恰好在 RtPBEFPAFPAFPAFPB中, 解此三角形即可.(1) 证明 : PB切 O于点 B, PBD = A.又 PE平分 APB, APE = BPD. PBD PAE.=. PA·BD = PB· AE.(2) 解: 由

13、(1) 知 APE = EPB,又 BED = A + EPA, BDE = PBC+ EPB, BED = BDE. BE =BD. AE、BD为方程 x2- kx +=0 的两个根 ,AE +BD =k =AB. O的直径为常数k.(3) 解: PB切 O于点 B, AB为直径 , PBA =90°. A =60°, PB =PA·sin60 °=.由 (1) 得 PA· BD =PB· AE,. AE、BD的长是方程x2- kx +=0 的两个根 ,6 / 8 AE·BD =. AE =2, BD =3. .在 Rt中

14、 ,=·tan60 °=() ·=.PBAPB AB在 Rt中,tan BPE=,PBE又FPA=, tan FPA=.BPF11. 如图 2-4-18(1),四边形 ABCD是 O的内接四边形 , A 是的中点 , 过 A 点的切线与 CB的延长线交于点 E.(1)(2)图 2-4-18(1) 求证 : AB· DA=CD· BE;(2) 如图 2-4-18(2),若点 E 在 CB 延长线上运动 , 使切线 EA 变为割线EFA, 其他条件不变 , 问具备什么条件使原结论成立?思路分析 : (1) 只需证 ABE CDA.(2) 如题图 (

15、2), 要使结论仍然成立 , 注意到 ABE =ADC 始终成立 , 因此仍然只需使ABECDA即可, 这样只要另一组对应角相等即可, 即只需BAE=ACD或E= CAD.(1) 证明 : 连结 AC, AE切 O于 A, EAB = ACB. AB =AD, ACD= ACB. EAB = ACD.又四边形ABCD内接于 O, ABE = CDAA.BE CDA. =. AB· DA =CD· BE.7 / 8(2) 解 : 当 BF =DA时, EAB = ACD, 又 ABE = ADC, ABE ACD, AB·DA =CD·BE, 此时仍然成立

16、 .12. 如图 2-4-19, 已知 C点在 O直径 BE的延长线上 , CA切 O于 A 点, BAC的平分线交 AE于F点, 的平分线交于D点 .BCAAB图 2-4-19(1) 求 ADF的度数 .(2) 若 ACB的度数为 y 度, B 的度数为 x 度 , 那么 y 与 x 之间有怎样的关系？试写出你的猜测并给出证明.(3) 若 AB =AC, 求 AC BC.思路分析 : （ 1）中由 AC为 O切线可得 B = EAC,由 CD平分 ACB可得 ACD = DCB,根据三角形外角定理 , 得到 ADF = AFD, 建立等腰三角形 , 再由顶角求底角 ; （ 2）中则利用三角形内角和定理得到方程 , 获得关系 ; （3）中求线段的比值 , 利用 ACE ABC可得 .解: （ 1） AC为 O的切线 , B = EAC. CD平分 ACB, ACD= DCB. B + DCB=EAC+ ACD,即 ADF = AFD. BE为 O的直径 , DAE =90°. ADF =(180 ° - DAE )=45 °.（ 2）