高中数学函数知识点总结(全)

1、高中数学函数知识点总结1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素 ，及元素的确定性、互异性、无序性2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。女口：集合A x|x2 2x 3 0 ， B x|ax 1若 B A ，则实数 a 的值构成的集合为 _3. 注意下列性质：(1) .集合 a1,a2,an 的所有子集的个数是2n;要知道它的来历：若B 为 A 的子集，则对于元素a1 来说，有 2 种选择 ( 在或者不在 )。同样，对于元素a2, a 3,an,都有 2 种选择，所以，总共有2n 种选择，即

2、集合A 有 2n 个子集。当然，我们也要注意到，这2n 种情况之中，包含了这n 个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为2n 1，非空真子集个数为2n(2) 若 ABA(3) 德摩根定律：Cu A BCuACuB ， C U AB Cu A CuB有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂4. 你会用补集思想解决问题吗 ？( 排除法、间接法 )女口：已知关于x 的不等式 粵 0 的解集为 M，若 3 M 且 5 M ，求实数 a x a的取值范围。专业 .专注7.对映射的概念了解吗？映射f:ATB, 是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应 能构成映射？（一对一，

3、多对一，允许B 中有元素无原象。）注意映射个数的求法。如集合A 中有 m 个元素，集合 B 中有 n 个元素，则从 A 到 B 的映射个数有女口：若nm 个。A 1,2,3,4 ， B a,b,c ; 问： A 到 B 的映射有_ 个， B 到 A 的映射有 _个；A到B的函数有 _ 个，若 A 1,2,3 ，则 A 到 B 的一一映射有_ 个。函数 y （x） 的图象与直线x a 交点的个数为_ 个。8.函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致（两点必须同时具备 ）9.求函数的定义域有哪些常见类型？例：函数 y V 罕

4、的定义域是lg x 3函数定义域求法分式中的分母不为零偶次方根下的数（或式）大于或等于零；10.如何求复合函数的定义域？专业 .专注如：函数 f(x) 的定义域是a,b ,b a 0 , 则函数 F(x) f(x) f( x) 的定义域是 _若函数 yf (x) 的定义域为1,2 ，则的定义域为11 、函数值域的求法1 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到1例求函数 y= 的值域x2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。2例、求函数y= x -2x+5 ，x -1 ，2 的值域。3、判别式法对二次函数或者分式函数( 分子或分母中有一个是二次) 都可通用，但这类题型有

5、时也可以用其他方法进行化简不必拘泥在判别式上面Ka. y二型：直接用不等式性质k+x 2b. ybx型,先化简，再用均值不等式xmx n例:x1 11+x 2丄 1 2x+2xc. yxmxn 型通常用判别式x2 mx n x 2d. ymx nx n法一：用判别式法二：用换元法，把分母替换掉例： yx2x 1(x+1 ) 2( x+1 )+112 11x 1(x+1 )x 1x 1专业 .专注5、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。6、函数单调性法通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容7、换元

6、法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例 求函数 y=x+ x 1 的值域。8 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。求函数 y= (x+(X 8) 2 的值域。专业 .专注倒数法有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况例求函数 y= 仝2 的值域x 312. 求一个函数的解析式时，注明函数的定义域了吗？切记：做题，特别是做大题时，一定要注意附加条

7、件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯我当年的错误，与到手的满分失之交臂女口：f v'x 1ex x ，求 f（x）.15 . 如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）判断函数单调性的方法有三种：专业 .专注(1) 定义法：根据定义，设任意得X 1,X 2, 找出 f(X l),f(X 2) 之间的大小关系f (X | )f (x2 )f (x- i )可以变形为求1- 的正负号或者-与 1 的关系X1X2f ( X2 )(2) 参照图象：若函数 f(X) 的图象关于点 (a ，b) 对称，函数f(X) 在关于点 (a ，0) 的对称区间具有相同的单调性；( 特例：奇函数

8、)若函数 f(X) 的图象关于直线X =a 对称，贝V 函数 f(X) 在关于点 (a,0) 的对称区间里具有相反的单调性。 ( 特例：偶函数 )利用单调函数的性质： 函数 f(x) 与 f(x) + c(c 是常数 ) 是同向变化的 函数 f(x) 与 cf(x)(c 是常数 ), 当 C>0 时，它们是同向变化的；当C V 0 时，它们是反向变化的。 如果函数f1(x) ,f2(x) 同向变化，贝恼数f1(x) + f2(x) 和它们同向变化；( 函数相加 ) 如果正值函数f1(x) ,f2(x) 同向变化，贝V 函数 f1(x)f2(x) 和它们同向变化；如果负值函数f1(2) 与

9、 f2(x) 同向变化，则函数 f1(x)f2(x) 和它们反向变化； ( 函数相乘 ) 函数 f(x) 与在 f(x) 的同号区间里反向变化。若函数U=0(x) , Xa,3与函数 y = F(U) , u ? 0( a,0 B)或 u?0a) 同向变化，则在a,3上复合函数( (0=0(x),xa,3与函数0,0 300 a在a,3y = F (X) 是递增的；若函数 Uy = F(U) , U ? (a)( )或 u ? (?,( )反向变化，则上复合函数y= F 0(x) 是递减的。 ( 同增异减 ) 若函数 y = f(x) 是严格单调的，则其反函数x =广 1 (y) 也是严格单调

10、的，而且，它们的增减性相同。f(g)g(x)fg(x)f(x)+g(x)f(x)*g(x)都是正数专业 .专注增增增增增增减减/减增减/减减增减减17. 函数 f(x) 具有奇偶性的条件是什么？( f(x) 定义域关于原点对称)若 f( x) f(x) 总成立f(x) 为奇函数函数图象关于原点对称若 f( x) f(x) 总成立 f(x) 为偶函数函数图象关于 y 轴对称注意如下结论：(1)在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。(2)若 f(x) 是奇函数且定义域中有原点，则f(0) 0。(3)f ( x) 是定义域在 ( -6,

11、0 ) ,(0 ,6) 上的奇函数，若x> 0 时 f ( x) =求 xv 0 时 f ( x)判断函数奇偶性的方法一、定义域法一个函数是奇 ( 偶) 函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇 ( 偶) 函数的必要条件 ?若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数?专业 .专注偶偶奇g(x)f(-x)复合函数奇偶性奇函数f(-x) f(x)偶函数f(x)f(x)-f(-x)=0f(x)+f(-x) =0这种方法可以做如下变形奇函数偶函数奇偶函数定义法在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算 f( X ) , 然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性f(g)fg(x)f(x)

12、+g(x)f(x)*g(x)奇奇奇偶奇偶非奇非奇偶偶奇偶非奇非奇偶偶偶偶偶18. ( 若存在实数T( T 0 ) ，在定义域内总有f x T f(x) ，则 f(x) 为周期 函数女口：若f x a f (x) ，贝 U _我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况告诉你 f(x)+f(x+t)=0, 我们要马上反应过来f (x) f (x t) 0推导： f(x t) f (x 2t)0f (x) f (x 2t)， T 是一个周期。 )这时说这个函数周期2t.同时可能也会遇到这种样子f(x)=f(2a-x), 或者说 f(a-x)=f(a+x). 其实这都是说同样一个意思函数 f(x) 关于直

13、线对专业 .专注称，对称轴可以由括号内的2 个数字相加再除以2 得到。比如， f(x)=f(2a-x), 或者说 f(a-x)=f(a+x) 就都表示函数关于直线 x=a 对称。又如：若 f (x) 图象有两条对称轴x a, x b 即 f (a x) f (a x) ，f (b x) f (b x)f (x) f (2a x)f (2a x) f (2b x)f (x) f (2b x)令 t 2a x, 则 2b x t 2b 2a, f (t) f (t 2b 2a)即 f (x) f (x 2b 2a)所以 ，函数 f(x) 以 2|b a| 为周期 ( 因不知道 a, b 的大小关系

14、 , 为保守起见 ，我加了一个绝对值19?你掌握常用的图象变换了吗？f (x)与 f ( x) 的图象关于 y 轴 对称 联想点 ( x,y ) ,(-x,y)f (x)与 f (x)的图象关于 X 轴 对称 联想点 ( x,y) ,(x,-y)f (x)与 f( x)的图象关于原点 对称 联想点 ( x,y) ,(-x,-y)专业 .专注f(x) 与 f 1 (x)的图象关于直线 y x 对称 联想点 ( x,y ) ,(y,x)f(x) 与 f(2a x) 的图象关于直线 x a 对称 联想点 (x,y),(2a-x,y)f (x)与 f(2a x) 的图象关于点(a,0)对称 联想点 (

15、 x,y ) ,(2a-x,0)将 y f(x) 图象上移 b(b 0) 个单位下移 b(b 0) 个单位注意如下翻折”变换：左移 a(a 0) 个单位y f(xa)右移 a(a 0) 个单位y f(xa)y f (x a) by f (x a) bf(x) | f (x) | 把 x 轴下方的图像翻到上面f(x) f (| x|) 把 y 轴右方的图像翻到上面19.x(1)一次函数： ykx b k0 (k 为斜率， b 为直线与 y 轴的交点 )(2) 反比例函数 :0 推广为 yk 0 是中心 O'(a ,b)的双曲线。2b警图象为抛物线(3) 二次函数 yaxbx c a 0

16、a2a4ac b 2b顶点坐标为 ，对称轴 x2a 4a2a开口方向： a 0 , 向上，函数4acb2y min4a专业 .专注4ac b 2a 0 ，向下， ymax4ab V根的关系： x2aVbc .x1 x2,x ix2,|x iX 2Iaa|a|二次函数的几种表达形式:f (x)ax 2 bx c （一般式 ）f (x)a（ x m ）2 n（顶点式，（ m,n）为顶点f (X)a（ x xj （ x x2）（ x.|, x 2 是方程的2 个根）f (x) a(x xj(x x 2) h( 函数经过点 ( xh)(x 2,h)应用：三个二次”二次函数、二次方程、二次不等式）的关系

17、一一二次方程ax 2 bx c 0 ，0 时，两根 x1> x2 为二次函数y ax 2 bx c 的图象与 x 轴的两个交点，也是二次不等式ax 2 bx c 0 （ 0 ）解集的端点值求闭区间 m ,n上的最值 。区间在对称轴左边（ nf maxf (m), f minf (n)2a区间在对称轴右边（ mf maxf (n), f minf (m)区间在对称轴2 边（ nbm )2a4ac b 2 rmax( f (m), f (n)f min, f max4a也可以比较m, n 和对称轴的关系，距离越远，值越大（只讨论 a 0 的情况）求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。一元

18、二次方程根的分布问题如：二次方程ax 2 bx c 0 的两根都大于kb2af(k)专业 .专注一根大于 k，一根小于 kf(k) 00在区间 ( m，n) 内有 2 根mb n 2a(4) 指数函数 :ax a 0 ，a 1f(m)0f(n)0在区间 ( m，n) 内有 1 根f(m)f(n) 0k( 6) “对勾函数”y x k k 0x利用它的单调性求最值专业 .专注21. 如何解抽象函数问题？( 赋值法、结构变换法)女如 :(1) x R ,f(x) 满足 f(x y) f(x) f(y) ，证明f(x)为奇函数 ( 先令 x y 0 f (0)0 再令 yx，)( 2) x R ，f

19、(x) 满足 f (xy) f (x) f(y) ，证明 f (x) 是偶函数。( 先令x y t f ( t)( t) f (t? t)? f( t) f( t) f(t) f(t)?-f( t)f(t) )( 3) 证明单调性： f(x2) f x 2 X! x2.( 对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了1、代 y=x ，2、令 x=0 或 1 来求出 f(0) 或 f(1)3、求奇偶性，令y= x; 求单调性：令x+y=x 1专业 .专注几类常见的抽象函数1. 正比例函数型的抽象函数f ( x) =kx ( k 丸) - -f ( x ±y)= f ( x) &

20、#177; f ( y)2.幕函数型的抽象函数f ( x )= xa -f ( xy )= f ( x) f ( y);f ( - )=y f(y)例 1 已知函数 f ( x) 对任意实数x、y 均有 f( x+ y)=f ( x) +f ( y), 且当 x>0 时， f(x)>0 ,f( 1) = 2 求f(x)在区间 2,1 上的值域 .例 2 已知函数 f ( x) 对任意实数x、y 均有 f ( x + y)+2= f ( x) +f(y), 且当 x>0 时， f(x)>2 ,f(3) =5, 求不等式 f ( a2 2a 2)<3 的解 .例 3已

21、知函数 f ( x) 对任意实数x、y 都有 f ( xy)= f( x) f ( y), 且 f ( 1) =1 , f ( 27) = 9, 当 0<x<1时， f ( x)?0, 1.(1)判断 f ( x) 的奇偶性；(2)判断 f ( x) 在 0,+ 上的单调性，并给出证明 ;(3)若 a>0 且 f ( a+ 1 )< 3 9, 求 a 的取值范围 .)( 8,+),满足条件：存在 x1x2,使得 f ( X1) z(X2);,f ( x+ y) =f ( x) f ( y) 成立 .求：例 4 设函数 f ( x 的定义域是f对任何 x 和 y(1)f

22、( 0) ；(2)对任意值 x, 判断 f ( x) 值的符号 .例 5 是否存在函数f ( x), 使下列三个条件：f ( x) >0, x?N : f ( a+ b )= f ( a)f ( b) ,a、b ?N : f专业 .专注(2) = 4?同时成立？若存在，求出 f ( x) 的解析式，若不存在，说明理由 .例 6 设 f ( x) 是定义在 ( 0 ,+) 上的单调增函数，满足f ( xy)= f ( x) +f ( y),f ( 3 )= 1 , 求:(1)f ( 1) ；(2)若 f ( x) +f ( x 8)< 2, 求 x 的取值范围 ?例 7 设函数y=

23、f ( x) 的反函数是y = g ( x) .如果 f ( ab) =f ( a) +f ( b), 那么 g ( a+ b)= g ( a) g ( b) 是否正确，试说明理由例 9 已知函数 f ( x)(x 丸) 满足 f ( xy )= f ( x) +f ( y),(1)求证 : f ( 1) =f ( 1) =0;(2)求证： f ( x) 为偶函数；(3)1若 f (x)在( 0,+s)上是增函数 ， 解不等式 f ( x) + f (x)W0.2例 10 已知函数 f ( x) 对一切实数x、 y 满足 f ( 0) 工 0, f ( x+ y)= f ( x) f ( y)

24、, 且当 xv 0 时， f ( x)> 1,求证 :(1)当 x> 0 时， 0 v f ( x)v 1；(2)f ( x) 在 x ? R 上是减函数 ?练习题：1.已知： f ( x+ y) =f ( x)+ f ( y) 对任意实数 x、y 都成立，则()( A )f ( 0)= 0(B)f ( 0 )= 1( C)f ( 0 )= 0 或 1(D) 以上都不对专业 .专注2. 若对任意实数x、y 总有 f( xy)=f ( x)+ f( y), 贝 U 下列各式中错误的是()1( A ) f ( 1)= 0(B) f ()=f ( x)xx( C) f ()= f ( x

25、)-f ( y)(D) f ( xn)=nf ( x)(n ?N)y3. 已知函数 f ( x) 对一切实数x、y 满足： f ( 0) 工 0 ,f ( x + y)= f ( x) f ( y), 且当 xv 0 时， f ( x)> 1, 则当 x>0 时， f ( x) 的取值范围是 ( )( A)(1 , + m)( B) (- m, 1)( C)(0, 1)( D)(- 1,+)4.函数 f ( x) 定义域关于原点对称，且对定义域内不同的X1、X 2 都有f(xjf(x2)f (X1 x2)=-，则f ( x) 为 ()1 f(Xjf(X 2)( A ) 奇函数非偶函

26、数( B) 偶函数非奇函数( C) 既是奇函数又是偶函数( D) 非奇非偶函数5. 已知不恒为零的函数f ( x) 对任意实数x、y 满足 f( x+ y) +f( x y)=2f( x) +f ( y) , 贝 U 函数 f( x) 是()( A ) 奇函数非偶函数( B) 偶函数非奇函数( C) 既是奇函数又是偶函数( D) 非奇非偶函数函数1. 函数的奇偶性(1) 若 f(x) 是偶函数，那么 f(x)=f( x)=J ；(2)若 f(x) 是奇函数， 0 在其定义域内，则°( 可用于求参数 ) ；(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x) ±)=0 或厕( f

27、(x) 丰;0)(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性；专业 .专注(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；2. 复合函数的有关问题(1)复合函数定义域求法：若已知八 ) 的定义域为 a,b，其复合函数 fg(x) 的定义域由不等式a< g(x) 嚥 b 出即可；若已知 fg(x) 的定义域为 a,b ,求 f(x) 的定义域，相当于x? a,b 时，求 g(x) 的值域 ( 即 f(x) 的定义域 ) ；研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。(2)复合函数的单调性由同增异减”判定；3?函数图像 ( 或方程曲线的对称性

28、)(1) 证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心( 对称轴 ) 的对称点仍在图像上；(2)证明图像 C1 与 C2 的对称性，即证明C1 上任意点关于对称中心( 对称轴 ) 的对称点仍在C 2 上，反之亦然 ；(3)曲线C1:f(x,y)=0, 关于 y=x+a(y=-x+a) 的对称曲线C2 的方程为f(y a,x+a)=0( 或 f( y+a, x+a)=0);(4)曲线 C1：f(x,y)=0 关于点 ( a,b ) 的对称曲线C2 方程为： f(2a x,2b y)=0;(5)若函数 y=f(x) 对 x?R 时， f(a+x)=f(a x)恒成立，则y=f(x) 图像关于直线x=a 对称；04-6(6)函数 y=f(x a)与 y=f(b x)的图像关于直线x=上 对称；4?函数的周期性(1)y=f(x) 对 x?R 时 , f(x +a)=f(x a)或 f(x 2a )=f(x) (a>0) 恒成立 ，则 y=f(x) 是周期为2a 的周期函数；( 2) 若 y=f(x) 是偶函数，其图像又关于直线x=a 对称，则 f(x) 是周期为 2 |a 丨的周期函数；(3)若 y=f(x) 奇函数，其图像又关于直线x=a 对称，则 f(x) 是周期为 4 丨 a 丨的周期函数 ;(4)