高中数学公式完全总结归纳(均值不等式)

1、均值不等式归纳总结221. (1) 若 a, bR ，则 a2b22ab(2)若 a,babR ，则 ab2时取“=”）2. (1) 若 a,bR* ，则 abab(2)若 a,bR* ，则 a b2 ab2时取“=”）（当且仅当（当且仅当a ba b2*a b(3)若 a, b R，则 ab2(当且仅当 ab 时取“=”）3.若 x0 ，则 x12(当且仅当 x1 时取“”）x=若 x0 ，则 x12(当且仅当 x1 时取“=”）x若 x0，则 x12即 x12或 x1-2(当且仅当 ab 时取“=”）xxx4.若 ab0 ，则 ab2(当且仅当 ab 时取“=”）ba若ab 0，则 aba

2、b或 abb 时取“=”）ba2即a2b-2 (当且仅当 aba5.若 a, bR ，则 ( ab )2a 2b 2（当且仅当 a b 时取“=”）22 p s .(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用1/10应用一：求最值例 1：求下列函数的值域11（1）y3x 2（2）yx2x 2x2/10116 ，+）解：(1)y 3x 223x 2 · 6 值域为2x

3、 22x 211(2)当 x0 时，yx2x· 2；xx111当 x0 时， yx= （ x）2x· =2xxx值域为（，2 2，+）解题技巧技巧一：凑项例 已知 x5 ，求函数 y 4 x21的最大值。44 x5解：因 4x 50 ，所以首先要“调整”符号，又(4 x2)g 1不是常数，所以对4x54x 2 要进行拆、凑项，Q x5 , 54x 0， y 4x 215 4x1323144x554x当且仅当 54x1，即 x1 时，上式等号成立，故当 x1 时， ymax 1。5 4x评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数例 1. 当时，

4、求 yx(82 x) 的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x(82x)8 为定值，故只需将 yx(82x) 凑上一个系数即可。当，即 x2 时取等号当 x2 时， yx(82x) 的最大值为 8。3/10评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。变式：设 0x3 ，求函数 y4x(3 2x) 的最大值。232解：0x3 2 x0y4x(32x 3 2x922x) 2 2x(3 2x) 222当且仅当 2x3 2x, 即 x30, 3时等号成立。42技巧三：分离例

5、3. 求 yx27x 10 (x1) 的值域。x 1解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（ x1）的项，再将其分离。当,即时, y45 9 （当且仅当 x1 时取“”号）。2 （ x 1)x1技巧四：换元解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令 t=x1，化简原式在分离求最值。(t2）t25t441) 7(t1 +105yt=ttt当,即 t=时, y2 t49 （当 t=2 即 x1 时取“”号）。5t评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为y mg (x)A，g(x) 恒正或B(A 0,B 0)g(

6、 x)恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数af (x)x的单调性。2例：求函数 yx5 的值域。x244/10解：令 x24t(tx25x241t12)2) ，则 yx2(tx244t因 t0, t11 ，但 t1 解得 t 1不在区间 2,，故等号不成立，考虑单调性。tt因为 yt1 在区间 1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故5 。ty2所以，所求函数的值域为5 ,。2练习求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x的值.（1）yx23x 1 ,( x 0)（2）y 2x1 , x 3xx3(3) y 2sin x

7、1, x(0, )sin x2已知0x 1，求 函 数 yx(1x) 的 最 大 值 . ； 3 0x2，求函数3yx(2 3x) 的最大值 .条件求最值1.若实数满足 a b2 ，则 3a3b 的最小值是.ab定值，因此考虑利用均值定分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而3且 3理求最小值，解： 3a 和 3b 都是正数， 3a3b 2 3a 3b2 3a b6当 3a3b 时等号成立，由 ab 2 及 3a3b 得 ab 1即当 ab 1 时， 3a3b 的最小值是 6变式：若 log 4 x log 4 y2 ，求11 的最小值 .并求 x,y 的值xy技巧六：整体代换5/10多次连用

8、最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。2：已知 x0, y 0 ，且 191，求 xy 的最小值。xy错 解 ：Q x 0, y 0 ， 且19，199故1x yx y 22 xy 12 xxyyxyxy min12 。错因：解法中两次连用均值不等式，在x y 2xy 等号成立条件是 xy ，在1929等号成立条件是 19 即 y9x ,取等号的条件的不一致，产生错误。因xyxyxy此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解： Q x 0, y0, 191， x yx y19y9x1061016xyxyxy当

9、且 仅 当 y9 x 时 ， 上 式 等 号 成 立 ， 又 191 ， 可 得 x4, y 12 时 ，xyxyxy min16。变式： （1）若 x, yR 且 2 xy 1，求 11 的最小值xy(2)已知 a, b, x, yR 且 ab1 ，求 xy 的最小值xy技巧七y 2已知 x，y 为正实数，且 x 21，求 x1y 2 的最大值 .2a 2b 2分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式a b 。26/101y 2 中 y2 前面的系数为1x 1y 2 x1y 2同时还应化简，2·221y 2 2 x·221 y 2下面将 x，2分别看成两个因式：2x

10、 2(1y 2y 211y 22 )2x 2 23221y 2x ·22即 x2242 ·1y 232x224技巧八：1已知 a ，b为正实数， 2b a b a 30，求函数 y的最小值 .a b分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。302b302b2 b230b法一： a ，a b ·b b 1b 1b 1由 a

11、0 得， 0b 157/102t 234t311616令 b +1，1 16，a b 2（ ） 34 ttttttt162 t· 8 ta b 18 y1当且仅当 t4，即 b 3，a 6 时，等号成立。18法二：由已知得： 30a b a 2b a 2b 22 a b 30 a b2 2 a b令 u a b则 u 222 u 300， 5 2 u 3 21 a b 3 2 ，a b 18， y18点评：本题考查不等式ababa, bR的应用、不等式的解法及运算能2（）力；如何由已知不等式 ab a 2b 30a, bR出发求得 ab 的范围，关键是寻找（）到 a b与 ab 之间

12、的关系，由此想到不等式ababa, b R，这样将已知条件2（）转换为含 ab 的不等式，进而解得 ab 的范围 .变式： 1.已知 a >0，b >0，a b (a b )1，求 a b的最小值。2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。技巧九、取平方5、已知 x，y 为正实数， 3x2y10，求函数 W 3x 2y 的最值 .a ba 2b 2解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，2，本2题很简单3x 2y 2（ 3x ）2（ 2y ）2 23x2y 2 5解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数8/10式为积的形式，再向“和为定值”条

13、件靠拢。W 0 ， W2 3x 2y 23x· 2y 10 23x· 2y10 (3x )2·(2y )2 10(3 x2y)20W 20 25变式 :求函数 y2 x152 x( 1x5 ) 的最大值。22解析：注意到 2x1与 52x 的和为定值。y 2(2 x152 x )242(2 x1)(52 x)4(2 x1)(52 x)8又 y0，所以 0y22当且仅当 2 x1= 52x ，即 x3 时取等号。故 ymax22 。2评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等

14、”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。应用二：利用均值不等式证明不等式1已知 a, b,c 为两两不相等的实数，求证： a 2b2c 2abbcca1 ）正数 a ，b ， c满足 a bc 1 ，求证： (1 a)(1 b )(1 c )8a b c例 6：已知 a 、b 、cR ，且 a bc 1。求证： 111 1118abc分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又111a b c2bc ，可由此变形入手。aaaa解： Q a 、b 、cR ， abc 1。111 ab c2 bc 。同理 112 ac ，aaaabb1 1 2 ab 。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得cc9/101111112 bc g2ac g2ab8 。当且仅当 a b c1 时取等号。abcabc3应用三：均值不等式与恒成立问题例：已知 x0, y0 且 191 ，求使不等式 xy m 恒成立的实数 m 的取值范围。xy解：令 xyk , x0, y0