第二章-有限差分法初步-1

1、一、差商与微商一、差商与微商 第二章：有限差分法初步第二章：有限差分法初步1 有限差分法基本概念有限差分法基本概念（i）、有限差分的数学基础是用）、有限差分的数学基础是用差商差商代替代替微商微商。 有如下两种数学形式：有如下两种数学形式： （i）微商微商（导数）的定义（导数）的定义)(xT是连续函数，则它的导数为：是连续函数，则它的导数为：若若xTxxTxxTdxdTxx00lim)()(lim（2.1）式（式（2.1）右边）右边xT是有限的是有限的差商差商。 x与与T都不为零，都不为零， 而式（而式（2.1）左边）左边 dxdT是是 xT当当 x趋于零时极限情形下的差商，称之趋于零时极限情形

2、下的差商，称之微商微商。 在在x没有到达零之前，没有到达零之前， xT只是只是 dxdT的近似。的近似。 xT趋于趋于dxdT的过程认为是的过程认为是近似近似向向精确精确过渡，过渡， 用用xT代替代替dxdT就是就是精确精确向向近似近似过渡过渡。 两者的差值两者的差值dxdTxT表示表示差商差商代替代替微商微商的的偏差偏差。 （ii）偏差偏差-Taylor级数展开级数展开222! 2)()()(dxTdxdxdTxxTxxTnnndxTdnx!)(（2.2） 稍加整理后可写成：稍加整理后可写成：22! 2)()(dxTdxdxdTxxTxxTxTnnndxTdnx!)(1（2.3） xT可见可

3、见 与与 只能是近似相等。只能是近似相等。 dxdT偏差偏差为：为：()x（iii）微商与差商的几何意义）微商与差商的几何意义 xx+xx-xT(x+x)T(x-x)T(x)T(x+x)-T(x-x)2xT(x+x)-T(x)xT(x)-T(x-x)xdT(x)dx图图2-1 差商与微商的比较差商与微商的比较图图2.1表示了差商与微商之间的关系。应当指出，表示了差商与微商之间的关系。应当指出，用不同方法得到的差商去代替微商，它们带来用不同方法得到的差商去代替微商，它们带来的偏差是不同的。的偏差是不同的。向向右右（前）差商：（前）差商：（iV）差商的几种表示）差商的几种表示 xxTxxTdxdT

4、)()(（2.4） 向向左左（后）差商：（后）差商：xxxTxTdxdT)()(（2.5） 中心差商中心差商，取向右差商与向左差商的平均值：，取向右差商与向左差商的平均值：xxxTxTxxTxxTdxdT)()()()(21xxxTxxT2)()(（2.6） 偏差分析：偏差分析： 将将Taylor级数写成：级数写成：)(2)()()()(2xTxxTxxTxxT （2.7） Taylor级数还可写成：级数还可写成：43)()(! 3)(xOxTx （2.8） 43)()(! 3)(xOxTx )(! 2)()()()(2xTxxTxxTxxT 由式（由式（2.7）可得）可得)(! 2)()()

5、(xTxxTxxTxxT )( xO 由式（由式（2.8）可得）可得)(! 2)()()(xTxxTxxxTxT （2.9） )( xO （2.10） （2.9）+（2.10），得到），得到)(! 3)()(2)()(2xTxxTxxxTxxT 2)( xO （2.11） 比较式（比较式（2.9）、（）、（2.10）、（）、（2.11）可看到，用不同）可看到，用不同的差商形式去代替微商，所带来的偏差是不同的。这的差商形式去代替微商，所带来的偏差是不同的。这些些偏差偏差都是截去了都是截去了Taylor级数展开式中的高阶项而引级数展开式中的高阶项而引起的，常称起的，常称“截断误差截断误差”。 用向

6、右差商与向左差商代替微商，其截断误差为与用向右差商与向左差商代替微商，其截断误差为与 x同量级的小量同量级的小量 ；)( xO 2)( x同量级的小量；同量级的小量； 中心差商的截断误差小于向右差商或向左差商。中心差商的截断误差小于向右差商或向左差商。 而用中心差商代替微商，其截断误差是与而用中心差商代替微商，其截断误差是与 讨论：讨论：上述一阶差商一般仍是上述一阶差商一般仍是x的函数，对它们还可以的函数，对它们还可以求差商。这种求差商。这种一阶差商的差商一阶差商的差商称为称为二阶差商二阶差商，它是二阶微商的近似，常用向右差商的向左差它是二阶微商的近似，常用向右差商的向左差商来近似二阶微商，即

7、：商来近似二阶微商，即：xxxxTxTxxTxxTdxTd)()()()(222)()()(2)(xxxTxTxxT（V）二阶差商二阶差商根据式（根据式（2.7）+（2.8），可得），可得)()()()(2)(2xTxxxTxTxxT 2)( xO （2.12） 由式（由式（2.12）知，二阶差商的截断误差也为与）知，二阶差商的截断误差也为与 同阶的小量。同阶的小量。 2)( xn结论：结论： 由于用差商代替微商必然带来截断误差，由于用差商代替微商必然带来截断误差，相应地用差分方程代替微分方程也必然带相应地用差分方程代替微分方程也必然带来截断误差。这是有限差分法固有的。因来截断误差。这是有限差

8、分法固有的。因此，在应用有限差分法进行数值解时，必此，在应用有限差分法进行数值解时，必须对差分的构成及其对方程造成的误差引须对差分的构成及其对方程造成的误差引起注意。起注意。 2 从微分形式出发的差分格式从微分形式出发的差分格式n图图2. 2给出了一个简单边界值问题。给出了一个简单边界值问题。 (i, j)(i+1, j)(i-1, j)(i, j-1)(i, j+1).qTwThxyL1L2图图2.2 矩形区域离散化矩形区域离散化问题是求图问题是求图2.2所示的边值问题的解，其数学表达所示的边值问题的解，其数学表达如下，方程：如下，方程：02222 kqyTxT（2.13） n边界条件：边界

9、条件：0 x20Ly )(TThxTk0y10Lx qyTk 1Lx 20Ly 0 xT2Ly 10Lx wTT （2.14） （2.15） （2.16） （2.17） 式（式（2.13）（2.17）构成）构成定解问题定解问题。 在问题的提法已经明白之后，差分格在问题的提法已经明白之后，差分格式的构成：式的构成：下面分别予以说明下面分别予以说明: （vi） 构成差分格式构成差分格式（ii） 建立区域内差分方程建立区域内差分方程（iii） 边界条件的差分形式边界条件的差分形式（i） 区域离散法区域离散法 1区域离散化区域离散化 所谓离散化，就是把几何上连续的区域用一系列网所谓离散化，就是把几何上

10、连续的区域用一系列网格线把它划分开。一般说来，网格形式应视几何区格线把它划分开。一般说来，网格形式应视几何区域的不同而不同，对于矩形区域而言，用矩形的网域的不同而不同，对于矩形区域而言，用矩形的网格，如图格，如图2.2，用五条水平网线与五条垂直网线把，用五条水平网线与五条垂直网线把矩形区域离散掉。网线与网线的交点称之为矩形区域离散掉。网线与网线的交点称之为“节节点点”，节点与节点的距离称之为，节点与节点的距离称之为步长步长，x方向的步方向的步长表示为长表示为 ，y方向的步长表示为方向的步长表示为 。xy 节点编号：节点编号：为便于计算，需对节点逐个编号。为便于计算，需对节点逐个编号。常用（常用

11、（i，j） 表示节点位置，其中，表示节点位置，其中，i、j是是与网线相对应的正整数。与网线相对应的正整数。i，j 的排列：的排列：可有不同的方式。可有不同的方式。习惯上，与习惯上，与x、y 轴相一致，轴相一致，i 由左而右逐个增长，由左而右逐个增长，j 由下而上逐个增长。由下而上逐个增长。但也有，考虑到与矩阵的格式相一致，但也有，考虑到与矩阵的格式相一致， i 表示行数，表示行数，由上而下逐个增长，由上而下逐个增长，j 表示列数，由左而右逐个增长。表示列数，由左而右逐个增长。这种从上到下，从左到右的编排与一般书写这种从上到下，从左到右的编排与一般书写习惯也是一致的，因此，在计算机上算题也常被采

12、用。习惯也是一致的，因此，在计算机上算题也常被采用。在本课程中，大都采用与坐标相一致的编排方法。在本课程中，大都采用与坐标相一致的编排方法。n在区域内的节点称在区域内的节点称“内节点内节点”，在边界上的节点称，在边界上的节点称“边界节点边界节点”。图。图2.2所示边界是规则的所示边界是规则的,则节点或则节点或在区域内，或正好落在边界上。在区域内，或正好落在边界上。xy 步长步长 或或 可以是不变的常量，即可以是不变的常量，即等步长等步长，也可以，也可以 在区域内的不同处是不同的，即在区域内的不同处是不同的，即变步长变步长。如果区域。如果区域 内各处的温度梯度变化很大，则在温度变化剧烈处，内各处

13、的温度梯度变化很大，则在温度变化剧烈处， 网格布得密些；在温度变化不剧烈处，网格布得疏网格布得密些；在温度变化不剧烈处，网格布得疏 些。至于网格布置多少，步长取多大为宜，要根据些。至于网格布置多少，步长取多大为宜，要根据 具体问题，兼顾到计算的精确度与计算的工作量等具体问题，兼顾到计算的精确度与计算的工作量等 因素而定。因素而定。步长步长:n从物理方面对区域离散化可作这样的理解，即从物理方面对区域离散化可作这样的理解，即认为区域内离散的每个节点，都集中着它周围认为区域内离散的每个节点，都集中着它周围区域（尺度为步长）的热容，或者说，区域内区域（尺度为步长）的热容，或者说，区域内连续分布的热容都

14、被分别地集中到离散的节点连续分布的热容都被分别地集中到离散的节点上去了。这样，节点的温度代表着它周围区域上去了。这样，节点的温度代表着它周围区域的某种平均温度。一系列离散的节点温度值代的某种平均温度。一系列离散的节点温度值代表着连续区域内的温度分布。表着连续区域内的温度分布。 jiT,区域离散化物理理解区域离散化物理理解:节点（节点（i，j）处的温度表示成）处的温度表示成 。 2差分方程代替微分方程差分方程代替微分方程 在上节我们已对有限差分法的数学基础作了简要在上节我们已对有限差分法的数学基础作了简要 的介绍，说明了如何用差商代替微商，以及由此的介绍，说明了如何用差商代替微商，以及由此带来的

15、误差。这里介绍用差商代替微商的办法来带来的误差。这里介绍用差商代替微商的办法来处理导热方程（处理导热方程（2.13），得到相应的），得到相应的差分方程差分方程。 方程（方程（2.13） 02222 kqyTxT对区域内各个点都成立的，当然对任意一个内节对区域内各个点都成立的，当然对任意一个内节点（点（i，j）也成立。）也成立。 （2.13）在（在（i，j）处存在二阶偏微商）处存在二阶偏微商 与与 这些二阶偏微商所对应的差商可表示成：这些二阶偏微商所对应的差商可表示成：jixT,22jiyT,222,1,122)(2xTT,TxTjijiji,ji)(2xO （i=2，3，4；j=2，3，4）（

16、2.18） 21,122)(2yTT,TyTjijiji,ji)(2yO （2.19） （i=2，3，4；j=2，3，4）其中，其中， 与与 表示相应的表示相应的二阶差商二阶差商与与二阶偏微商二阶偏微商的差别为的差别为 与与 的数量级。的数量级。)(2xO )(2yO 2)( x2)( y将式（将式（2.18）与（）与（2.19）代入方程（）代入方程（2.13），得），得21,1,2, 1, 1)(2)(2yTTTxTTTjijijijijiji0)()(22 yxOkq（2.20） 式（式（2.20）中去掉）中去掉 项，得到项，得到)()(22yxO21,1,2, 1, 1)(2)(2yTT

17、TxTTTjijijijijiji0 kq（2.21） （i=2，3，4；j=2，3，4）式（式（2.21）被称为对应于方程（）被称为对应于方程（2.13）的的差分方程差分方程。方程（。方程（2.21）被改写成：）被改写成：1,2, 12,22)(1)(1)(2)(2jijijiTxTxTyxkqTyTyjiji 1,21,2)(1)(1（2.22） 若若 ， ，则式（，则式（2.22）又被）又被改写成：改写成： yx0q 041,1, 1, 1,jijijijijiTTTTT或或)(411,1, 1, 1,jijijijijiTTTTT （2.23） 物理意义：物理意义：一点（一点（i, j

18、）处的温度是它周围）处的温度是它周围4点温度的平均值。点温度的平均值。)()(22yxO)()(22yxO由于差分方程（由于差分方程（2.21）是从式（）是从式（2.20）中去掉项中去掉项 得来的，称去得来的，称去掉的项掉的项 为差分方程（为差分方程（2.21）的截断误差。当的截断误差。当 与与 趋于零时，差分方趋于零时，差分方程的截断误差也趋于零，即差分方程逼近程的截断误差也趋于零，即差分方程逼近微分方程。我们称这种逼近的差分方程与微分方程。我们称这种逼近的差分方程与相应的微分方程为相应的微分方程为“相容相容”。 xy相容性问题相容性问题3边界条件的差分形式边界条件的差分形式对流换热边界条件

19、：对流换热边界条件：20, 0)(LyxTThxTk（2.14） -用用T 对对 x 的向前差商代替式（的向前差商代替式（2.14）中的）中的 T 对对 x 的一阶偏微商，使式（的一阶偏微商，使式（2.14）变）变 成为如下成为如下差分差分形式形式 ：这里介绍用这里介绍用差商代替微商差商代替微商的办法把定解问题中的办法把定解问题中的各种的各种边界条件边界条件表示成表示成差分差分的形式的形式.)(, 1TThxTTkjijijiTkxhTTkxhjiji, 1,1或或 （2.24） （i=1；j=2，3，4）热流边界条件：热流边界条件：10, 0LxyqyTk （2.15） 用用T 对对 y 的

20、的向前差商向前差商代替式（代替式（2.15）中）中T 对对 y的一阶偏微商，使式（的一阶偏微商，使式（2.15）变成为如下）变成为如下差分差分形式形式: qyTTkjiji ,1,kyqTTjiji 1,（i=1，2，3，4，5；j=1） （2.25） 或或绝热边界条件：绝热边界条件： 2100LyLxxT，变成为：变成为：0TTj1iji ,（i=5；j=2，3，4） （2.26） （2.16） 给定温度边界条件：给定温度边界条件：wjiTT ,（i=1，2，3，4，5；j=5 （2.27） 至此，我们对至此，我们对全部节点全部节点，包括，包括内节点内节点与与边界节点边界节点，都用差分形式代

21、替了原来的函数形式。对于内节都用差分形式代替了原来的函数形式。对于内节点上差分形式，我们通称差分方程，因为内节点点上差分形式，我们通称差分方程，因为内节点上温度都是未知的。对于边界节点的差分形式，上温度都是未知的。对于边界节点的差分形式，在边界节点的温度为未知量时，它是差分方程。在边界节点的温度为未知量时，它是差分方程。而对于边界节点为给定的温度时，得到的就不是而对于边界节点为给定的温度时，得到的就不是差分方程了。但在实际应用中，人们往往习惯地差分方程了。但在实际应用中，人们往往习惯地把由内节点与边界节点建立起来的差分形式，都把由内节点与边界节点建立起来的差分形式，都统称为统称为差分方程差分方

22、程。笼统地讲，。笼统地讲，一个节点对应一个一个节点对应一个差分方程。差分方程。在边界节点的处理方面还有几点需要在边界节点的处理方面还有几点需要强调强调： （i） 每一边界节点只应属于一种边界条件。如图每一边界节点只应属于一种边界条件。如图2.2 中，中，i=1，j=5的节点只属于边界条件式（的节点只属于边界条件式（2.16）。）。 （iii）若边界节点不正好落在区域的边界）若边界节点不正好落在区域的边界 上，则需对它们进行特殊处理。上，则需对它们进行特殊处理。 （ii）对应不同边界的差分方程式（）对应不同边界的差分方程式（2.24）、）、2.25）、）、 （2.26）都是用一阶向前差商代替一阶

23、微商得到的，）都是用一阶向前差商代替一阶微商得到的， 也即它们的截断误差为也即它们的截断误差为)( xO 或或)( yO 量级，与内节点差分方程的截断误差相比，量级，与内节点差分方程的截断误差相比，低了一个量级。这一点也是从微分形式出发低了一个量级。这一点也是从微分形式出发建立差分格式的建立差分格式的弱点弱点。 4差分格式的构成差分格式的构成由于式（由于式（2.13）（2.17）所表示的方程式与边界条）所表示的方程式与边界条件都是线性的，由此而得到的内节点与边界节点的件都是线性的，由此而得到的内节点与边界节点的差分方程也都是差分方程也都是线性代数方程线性代数方程。由全部节点的差分。由全部节点的

24、差分方程构成一个方程构成一个线性代数方程组线性代数方程组。在这个方程组里，。在这个方程组里，方程式的个数等于节点的个数方程式的个数等于节点的个数。针对前面讨论的例。针对前面讨论的例子，我们可以看到，这个有子，我们可以看到，这个有25个节点所构成的方程个节点所构成的方程组，只需要组，只需要5个式子，即式（个式子，即式（2.21）、（）、（2.24）（2.27）就可表示，这里每个式子都表示几个节点）就可表示，这里每个式子都表示几个节点方程。方程。 n也就是说，在组成方程组时，不必把每个节点也就是说，在组成方程组时，不必把每个节点方程都写出来，而只要写出几个规格化了的方方程都写出来，而只要写出几个规

25、格化了的方程就可以了。因此，人们把规格化了的，由内程就可以了。因此，人们把规格化了的，由内节点与边界节点全部差分方程所构成的线性代节点与边界节点全部差分方程所构成的线性代数方程组，称之为数方程组，称之为“差分格式差分格式”。 一般地说，差分格式被写成如下的形式：一般地说，差分格式被写成如下的形式： nnnnnnnnnnbTTTbTTTbTTT22112222212111212111（2.28） 其中，其中，n是节点数，也即方程个数，每个方是节点数，也即方程个数，每个方程对应一个节点。程对应一个节点。 和和bi（i=1，2，n；j=1，2，n）都是常数）都是常数 ，ija方程组（方程组（2.28

26、）可被进一步写成矩阵的形式）可被进一步写成矩阵的形式 : , I JIATB（2.29） 111211212222,12nnI JnnnnnTTATT nIbbbB21其中其中n如果在方程组中去掉其中已知温度节点的那如果在方程组中去掉其中已知温度节点的那些方程，由此构成的线性代数方程组中，方些方程，由此构成的线性代数方程组中，方程的个数等于温度未知的节点个数，也即方程的个数等于温度未知的节点个数，也即方程组的未知数。这样的方程组也是差分格式。程组的未知数。这样的方程组也是差分格式。也可写成式（也可写成式（2.29）。）。n综上所述，用有限差分法对式（综上所述，用有限差分法对式（2.13）（2.

27、17）所组成的边值问题的数值处理，所组成的边值问题的数值处理，最终归结成求解最终归结成求解线性代数方程组（线性代数方程组（2.29），方程组的解即各节点，方程组的解即各节点的温度。如果整个区域的节点足够多，那么，离的温度。如果整个区域的节点足够多，那么，离散节点的温度分布就近似代替了区域内的连续温散节点的温度分布就近似代替了区域内的连续温度分布。度分布。n为便于讨论各种差分格式的优缺点，最好为便于讨论各种差分格式的优缺点，最好把方程组（把方程组（2.29）中系数矩阵具体地写出）中系数矩阵具体地写出来。但当我们着手书写由式（来。但当我们着手书写由式（2.21）、）、（2.24）（2.27）组成的

28、代数方程组时，）组成的代数方程组时，发现它所占的版面太大，造成印刷的困难。发现它所占的版面太大，造成印刷的困难。n所以，为便于书写，采用图所以，为便于书写，采用图2.3所示的网格所示的网格 (2, 3).qTwThxyL1L2(1, 3)(3, 3)(2, 2)(3, 2)(1, 2)(2, 1)(3, 1)(1, 1)并假定并假定 ckyqbkxhakxqyx ,)(, 12n得到由全部节点组成的线性代数方程组为：得到由全部节点组成的线性代数方程组为：cTTcTTcTTTTaTTTTTbTTTbTTTTTTwww1 , 32, 31 , 22, 21 , 12, 12, 32, 21 , 2

29、2, 32, 22, 13 , 22, 22, 13 , 33 , 23 , 104)1 (（2.30）n表示成矩阵形式：表示成矩阵形式：1 , 31 , 21 , 12, 32, 22, 13 , 33 , 231111111111141111111TTTTTTTTTbIcccabTTTTwww0（2.31） n式（式（2.30）或（）或（2.31）构成差分格式。若在方程）构成差分格式。若在方程组中去掉已知温度节点所对应的方程，即第组中去掉已知温度节点所对应的方程，即第1至第至第3个方程，则式（个方程，则式（2.31）被改写成：）被改写成： cccTabTTTTTTTbw0111111111

30、141111 , 31 , 21 , 12, 32, 22, 1（2.32） n将式（将式（2.32）与式（）与式（2.31）进行对照，即）进行对照，即可得到矩阵可得到矩阵 、 、 的各个元素。的各个元素。 这里特别提醒读者注意，在式（这里特别提醒读者注意，在式（2.32）与）与（2.29）中温度）中温度T 下角码的对应关系，在下角码的对应关系，在讨论二维稳定导热问题时，人们习惯用二讨论二维稳定导热问题时，人们习惯用二个角码（个角码（i，j）来表示节点位置及对应的曾）来表示节点位置及对应的曾度度 。IA TIBjiT,3 二维扩散方程的差分解法二维扩散方程的差分解法 考虑平面上粒子扩散的情况，

31、如图考虑平面上粒子扩散的情况，如图3-1所示。所示。图图3-1 平面扩散平面扩散MM2M1NNij 扩散是物质的输运过程。扩散是物质的输运过程。例如气体扩散、例如气体扩散、半导体扩散，半导体中掺杂，热处理中的渗碳等等，半导体扩散，半导体中掺杂，热处理中的渗碳等等，在实际问题中常常遇到。在实际问题中常常遇到。硅片硅片砷砷000 x0 x0 x0 . 1 在窗口有一些粒子向内扩散，例如砷在硅单晶中的在窗口有一些粒子向内扩散，例如砷在硅单晶中的扩散。某一扩散。某一t 时刻，考虑平面内任意一个闭合回路，根据时刻，考虑平面内任意一个闭合回路，根据粒子数守恒，回路内粒子数变化有粒子数守恒，回路内粒子数变化

32、有 其中是杂质（砷）的面密度积分是对回路内面积进行，其中是杂质（砷）的面密度积分是对回路内面积进行，J 是是粒子流粒子流。将线积分变成面积分。将线积分变成面积分dt JdlsdJdt因此因此t J(2.33)简化假定简化假定D J(2.34)其中其中D是是扩散系数扩散系数。简化假定表示引起粒子流的原因是。简化假定表示引起粒子流的原因是扩散结果，忽略了温度和压力的不均匀引起的粒子流。扩散结果，忽略了温度和压力的不均匀引起的粒子流。同时把同时把D看成常数，与面密度看成常数，与面密度无关，是线性扩散问题。无关，是线性扩散问题。 因此，因此，(2.33)式变为式变为2222DDtxy(2.35) 这是

33、这是D为常数时的二维扩散方程，它是一个二阶抛物为常数时的二维扩散方程，它是一个二阶抛物 型偏微分方程，根据初值条件可以对它进行求解。型偏微分方程，根据初值条件可以对它进行求解。 现在现在 我们用差分法对方程我们用差分法对方程(2.35)式进行数值计算式进行数值计算 设时间步长为设时间步长为 和和y 步长都是步长都是h，将平面分成个网络，将平面分成个网络，网格线的交点称为结点。于是网格线的交点称为结点。于是, x,.2, 1 ,0,kkt x=ih, i=0,1,2,3,.,N y=jh, j=0,1,2,3,.,M对结点（对结点（i, j）, k 时刻有时刻有:kjikjikjit,1,(2.

34、36-1)2, 1, 12,22hxkjikjikjikji(2.36-2) 2, 1, 1,2,22hykjikjikjikji (2.36-3)其中第一式用了其中第一式用了t 的向前差商，第二和第三式是关于的向前差商，第二和第三式是关于x 和和y 的二阶中心差商，即的二阶中心差商，即(2.36)式代入式代入(2.35)式，得到方程式，得到方程 i,j,k 1i,j,ki 1,j,ki,j,ki 1,j,ki,j 1,ki,j,ki,j 1,k2i,j,ki 1,j,ki,j 1,ki 1,j,ki,j 1,k22D22h4 DD1hh (2.37) 这是一组线性代数方程组。我们已经将偏微分

35、方程化这是一组线性代数方程组。我们已经将偏微分方程化为线性代数方程组，如在为线性代数方程组，如在k时刻的值时刻的值 分布已算得，可根分布已算得，可根据方程据方程(2.37)式求得式求得 时刻的面密度值。时刻的面密度值。 k1 因此当因此当 时的时的 值给定后，可依次求得以后各时值给定后，可依次求得以后各时 刻的刻的 值。这种差分格式有时也称显式差分法。值。这种差分格式有时也称显式差分法。k0 差分法的收敛条件是差分法的收敛条件是:2D1h4(2.38)我们给出此方法的误差是：对我们给出此方法的误差是：对 和和 而言为而言为22x22y2( 4 )i, j,kh12对对 而言为而言为t(1)i, j,k2 两者合起来误差可写为两者合起来误差可写为 ，其中，其中O代表误代表误 差，这是与泰勒级数展开比较得到的截断误差。差，这是与泰勒级数展开比较得到的截断误差。2O(h ) 下面考虑计算流图和程序。二维平面如图下面考虑计算流图和程序。二维平面如图3-1所示，所示，M1M2是窗口，在扩散过程中，窗口处的浓度始终保持是窗口，在扩散过程中，窗口处的浓度始终保持一恒定值，我们取一恒定值，我们取 的约化值为的约化值为1。 在在OM1和和M1M上覆有掩膜使流量为零，在上覆有掩膜使流量为零，在 边界边界处处 ，即流量为零。上下边界