三角形的中位线知识讲解

1、感谢您选择明昊教育，明昊内部教学资料助力您成绩突飞猛进！三角形中位线定理责编：杜少波【学习目标】1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理2. 掌握中点四边形的形成规律.【要点梳理】要点一、三角形的中位线1连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.要点诠释：（ 1） 三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系（ 2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4 个小三角形. 因而每个1小三角形的周长为原三角形周长的1 ， 每个小三角形的面积为原三角形21面积的 1 .4（ 3）三角形的中位线不同于三角形的

2、中线要点二、顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形【典型例题】类型一、三角形的中位线D无法确定E、F 分别是PA、 PR的）C线段EF的长不变C；连 AR，由E、 F 分别为PA，PR的中点知EF为PAR的中位线,则 EF1AR ，而 2楊老师联系电话（微信）无AR长不变，故EF大小不变.进行联想，必要时添加【总结升华】当条件中含有中点的时候，要将它与中位线联系起来，辅助线，构造中位线图形举一反三：【变式】 （ 2015 秋?青岛校级月考）在ABC 中，中线BE、CF交于点O，M、N分别是BO、CO中点，则四边形MNEF是什么特殊四边形？

3、并说明理由【答案】5；解：四边形MNEF是平行四边形理由如下：BE、 CF是中线， E、 F 分别是AC、 AB 的中点， EF 是ABC的中位线， EF BC且 EF= BC， M、 N 分别是BO、 CO中点， MN是OBC的中位线， MN BC且 MN= BC，EF MN且 EF=MN，MNEF是平行四边形2、如图，ABC中，D、 E 分别是BC、 AC的中点，BF 平分ABC，交DE于点F，若BCD 4DE AB，根据平行线的性质，可得EDCABC，再利用角平分线的性质和三角形内角外角的关系，得到【答案解析】解：在 ABC中，D、 E分别是BC、 AC的中点DF DB，进而求出DF的长

4、DE ABEDCABC BF平分ABCEDC 2 FBD在BDF中，EDCFBDBFDDBFDFBFD BD 1 BC 1 × 6 3【总结升华】三角形的中位线平行于第三边，当出现角平分线，平行线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题3、如图所示，在ABC中，M为BC的中点，AD为BAC的平分线，BDAD于D，AB 12 ， AC 18，求MD的长【思路点拨】本题中所求线段MD与已知线段AB、 AC之间没有什么联系，但由M为 BC的中点联想到中位线，另有AD为角平分线和垂线，根据等腰三角形“三线合一”构造等腰三角形 ABN， D为 BN的中点，DM即为中位线，不难求出

5、MD的长度【答案与解析】解：延长BD交 AC于点N AD 为 BAC的角平分线，且 AD BN， BAD NAD，ADBADN 90°，在ABD和AND中，BAD NADAD =ADADB ADN ABDAND（ASA） AN AB 12， BD DNAC 18，NC ACAN 18 126， D 、 M分别为BN、 BC的中点，DM1 CN1 6 322【总结升华】当条件中含有中点的时候，可以将它与等腰三角形的“三线合一”、三角形的中线、中位线等联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线等图形举一反三：【变式】 （ 2015 春?泗洪县校级期中）如图，BE，CF是ABC的角平

6、分线，ANBE于N，AMCF于 M，求证：MN BC【答案】证明：延长AN、 AM分别交BC于点D、 GBE为ABC的角平分线，BE AG，BAG= BGA，ABG为等腰三角形，BN也为等腰三角形的中线，即AN=GNAM=D，MMN为ADG的中位线，MN BC4、 （ 2014?鞍山一模）（ 1 ）如图1，在四边形ABCD中，E、 F 分别是BC、 AD的中点，连接 EF并延长，分别与BA、 CD的延长线交于点M、 N，则BME= CNE，求证：AB=CD （提示取 BD的中点H，连接FH， HE作辅助线）（2）如图2，在ABC中，且O是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线OE

7、交 BA的延长线于点G，若AB=DC=5，OEC=6°，求0OE的长度【思路点拨】（1 ）连结BD，取DB的中点H，连结EH、FH，证明出EH AB，EH= AB，FH CD，FH= CD，证出HE=HF，进而证出AB=CD；（2）连结BD，取DB的中点H，连结EH、OH，证明出EH=OH，可证明证出 OEH是等边三角形，进而求出OE= 【答案与解析】（ 1 ）证明：连结BD，取DB的中点H，连结 EH、 FH E、 F 分别是BC、 AD的中点， EH AB， EH= AB， FH CD， FH= CD，BME= CNE， HE=H，F AB=CD；2）解：连结BD，取DB的中点H

8、，连结EH、 OH， AB=CD， HO=H，EHOE= HEO，OEC=6°，0HEO= AGO=6°，0OEH是等边三角形， AB=DC=， 5 OE= 【总结升华】本题考查了三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是参考题目给出的思路，作出辅助线，有一定难度举一反三：AB CD， E， F 分别为AC， BD的中点，若AB=5， CD=3，则EF的长是（A 4 B 3 C 2 D 1【答案】D；解：连接DE并延长交AB于 H， CD AB，C= A，CDE= AHE，E是 AC中点， AE=CE，DCEHAE， DE=H，E DC=AH，F 是 BD中点， EF是DHB的中位线，1 EF= BH， 2 BH=AB-AH=AB-DC=2， EF=1类型二、中点四边形5、如图，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点判断四边形EFGH的形状，并说明你的理由.【答案与解析】解：四边形EFGH是平行四边形理由：连接AC， E、