生产系统建模与仿真课件第4章 随机变量与随机分布

1、2021-12-231第第4 4章章 随机变量和随机分布随机变量和随机分布 4.1 4.1 随机变量和随机分布概述随机变量和随机分布概述 4.1.1 4.1.1 离散型随机变量离散型随机变量 4.1.2 4.1.2 连续型随机变量连续型随机变量 4.1.3 4.1.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 4.1.4 4.1.4 常用随机分布类型及其特性常用随机分布类型及其特性 4.1.5 4.1.5 随机变量分布类型及其参数的确定随机变量分布类型及其参数的确定4.2 4.2 随机数的生成方法随机数的生成方法 4.2.1 4.2.1 随机数的特性随机数的特性 4.2.2 4.2.2 随机数发生

2、器的设计随机数发生器的设计4.3 4.3 随机数发生器的检验随机数发生器的检验4.4 4.4 随机变量的生成原理随机变量的生成原理4.5 4.5 典型随机变量的生成典型随机变量的生成 4.5.1 4.5.1 离散型随机变量的生成离散型随机变量的生成 4.5.2 4.5.2 连续型随机变量的生成连续型随机变量的生成 2021-12-2324.1 4.1 随机变量和随机分布概述随机变量和随机分布概述 活动的分类活动的分类（1 1）确定性活动（确定性活动（deterministic activitydeterministic activity） 活动的变化规律已知，活动结果可以准确预计，在一定条件

3、下活动可以准确地再现和重复，或由根据过去状态可以准确 预见活动的未来进展。 例如：重物的自由落体运动，炮弹的运行轨迹及落点等都可 以根据相关公式进行计算。2021-12-2334.1 4.1 随机变量和随机分布概述随机变量和随机分布概述（2）随机性活动（随机性活动（stochastic activitystochastic activity或或probabilistic activityprobabilistic activity） 活动的结果难以准确预见难以准确预见，即使在相同的条件下进行重复 试验，每次试验的结果未必相同结果未必相同，或者由过去状态不能确 定相同条件下活动的未来发展趋势。

4、例如：抛掷硬币时，每次硬币是正面向上还是正面向下； 红旗大道上每一时段汽车的通行量；百货商店内不同时 刻到达的顾客人数；从一批相同型号齿轮中任意抽取一个 齿轮，测量它在一定条件下的工作寿命；某型号发电机组 每次的大修时间等。 2021-12-2344.1 4.1 随机变量和随机分布概述随机变量和随机分布概述 对于随机性活动，我们可以定义一个变量，以变量的不同 取值表示活动的不同结果，并通过统计确定变量取不同数 值的概率，将这类变量称为随机变量随机变量。 根据取值是否连续，随机变量可分为离散型随机变量离散型随机变量和连连 续型随机变量续型随机变量。2021-12-2354.1 4.1 随机变量和

5、随机分布概述随机变量和随机分布概述4.1.1 4.1.1 离散型随机变量离散型随机变量 若随机变量的取值为有限个数值或为可以逐一列举的无穷 多个数值，则称此类随机变量为离散型随机变量离散型随机变量 （discrete random variablediscrete random variable）。 设离散随机变量X 所有可能的取值为x1、x2、xn、， 并且所有可能取值的概率分别为p1、p2、pn、，则 将xi，pi（i=1，2，n，）配对的集合称为随机随机 变量变量X X的概率分布（的概率分布（probability distributionprobability distribution

6、），并将 P=p1，p2，pn，称为随机变量随机变量X X 的概率质量函数的概率质量函数 （probability mass functionprobability mass function，PMFPMF）。 2021-12-2364.1 4.1 随机变量和随机分布概述随机变量和随机分布概述 概率质量函数满足以下条件： pi0（i=1，2，n，） 11iip图4-1 抛掷硬币的概率分布2021-12-2374.1 4.1 随机变量和随机分布概述随机变量和随机分布概述 设F（x）为离散型随机变量的累积分布函数（累积分布函数（cumulative cumulative distribution

7、function distribution function，CDFCDF），它表示X小于或等于某 个给定值xi（i=1，2，n，）的概率函数： )()(0iiixXpXF 累积分布函数具有以下特性： F（x）为单调递增函数，即当xy时，有F（x）F（y）。1)(0 xF2021-12-2384.1 4.1 随机变量和随机分布概述随机变量和随机分布概述4.1.2 4.1.2 连续型随机变量连续型随机变量 若随机变量X可以在某个数值区间内连续取任一数值，则称 之为连续型随机变量（连续型随机变量（continuous random variablecontinuous random variabl

8、e）。 由于X的取值为无穷多个点，我们无法定义X在某一个数值点 的概率，只能考察X落入某个子区间内的概率。badxxfbaP)(),(X X的概率密度函数（的概率密度函数（probability density functionprobability density function，PDFPDF） 2021-12-2394.1 4.1 随机变量和随机分布概述随机变量和随机分布概述 f（x）需满足以下条件： 1)(dxxf0)(xf F（x）为连续型随机变量的累积分布函数（连续型随机变量的累积分布函数（CDFCDF），它表示 随机变量小于或等于x的概率： xdxxfxXPxF)()()( 当当

9、x11.96，表示差，表示差 异显著，则应拒绝异显著，则应拒绝X为为(0，1)均匀分布的随机数。均匀分布的随机数。2021-12-23454.3 4.3 随机数发生器的检验随机数发生器的检验2 分布均匀性检验分布均匀性检验p 分布均匀性检验又称为频率检验，是对经验频率和理论频率之间的差异进行检验。p 方法：n 把0，1区间划分成k等分。则x i值落在任一小区间的概率P i均应等于这些小区间的长度1k，故N个x i值落在任何一个小区间的平均数为m i =Nk，称理论频率。n 设实际上x i中属于第i个小区间的数目为n in 计算统计量u显然，若显然，若n i=m i，则，则2=0，实际频率与理论

10、频率一致。，实际频率与理论频率一致。2的大的大小反映了随机数的均匀性程度。小反映了随机数的均匀性程度。2021-12-23464.3 4.3 随机数发生器的检验随机数发生器的检验3 独立性检验独立性检验p 用于检验随机数前后各项之间是否独立。p 以相关系数进行判断。两个随机变量的相关系数反映了它 们之间的线性相关程度。p 相关系数为0是随机数相互独立的必要条件。p 相关系数大小可以衡量随机数的相关程度。对于给定的随机数对于给定的随机数xixi，前后距离为，前后距离为K K的样本相关系数为：的样本相关系数为： 式中：式中：2021-12-23474.4 4.4 随机变量的生成原理随机变量的生成原

11、理 随机变量的实现原理随机变量的实现原理 如前所述，产生0，1区间上均匀分布的随机数是生成其它类 型随机变量的基础。 随机变量生成算法应具备的特点： 效率（效率（efficientefficient）： 占用内存小，执行时间短 精确性（精确性（exactnessexactness）：满足一定的精确度要求 鲁棒性（鲁棒性（robustnessrobustness）：健壮，适应2021-12-23484.4 4.4 随机变量的生成原理随机变量的生成原理 逆变法逆变法 随机变量的生成算法随机变量的生成算法：2021-12-23494.4 4.4 随机变量的生成原理随机变量的生成原理逆变法生成连续随机

12、变量原理图2021-12-23504.4 4.4 随机变量的生成原理随机变量的生成原理离散随机变量的生成原理 当X为离散随机变量时，由于离散随机变量的分布函数也是离散的，不能直接利用反函数获得抽样值。其解法如下： 设X为离散随机变量，取值及概率为p(x1),p(x2),p(xn),且有 0p(xi)1,p(xi)=1，则可求其累积分布F(X)：p(x1)p(x1)+p(x2)p(x1)+p(x2)+ p(x3)x1x2x3xn1u2021-12-23514.4 4.4 随机变量的生成原理随机变量的生成原理 表述为：n 首先将随机变量按从小到大排列：即x1x2xnn 确定分布函数子区间的分界点：

13、 （0，p(x1)，(p(x1)，p(x1)+p(x2)，n 生成01上均匀分布的随机数un 判断u所在区间，取x值2021-12-23524.4 4.4 随机变量的生成原理随机变量的生成原理例例1 1：求服从指数分布的随机数求服从指数分布的随机数所求的变量为：所求的变量为：上式可以简化为：上式可以简化为：2021-12-23534.4 4.4 随机变量的生成原理随机变量的生成原理 取舍法取舍法n 基本思想：从许多均匀分布的随机数中选择，使选出的那部分数据具有所需要的分布。n 适应问题：应用于产生任意有界的随机变量，包括概率分布函数无法用数学公式表达的情况。n 方法步骤：设随机变量X的概率密度f(x)中的X值的上、下限为a、b，f(x)