立体几何证明方法汇总

1、中位线定理例题：已知如图：平行四边形ABCD中，BC 6,正方形ADEF所在平面与平面 ABCD垂直，G, H分别是DF, BE的中点.(1 )求证：GH /平面CDE;(2)若CD 2, DB 4J2,求四棱锥F-ABCD的体积.练习：1、如下图所示：在直三棱柱 ABC-ABC中，AC=3BC=4 AB=5AA=4,点D是AB的中点。求证：AC/平面CDB;2.如图，ABCD A1B1cl D1是正四棱柱侧棱长为 1,底面边长为2, E是棱BC的中点。(1)求证：BD1 /平面C1DE ;(2)求三棱锥 D D1BC的体积.3、如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱 PD

2、底面ABCD , PD 4, DC 3, E是PC的中点。(1)证明：PA平面BDE;(2)求 PAD以PA为轴旋转所围成的几何体体积。例2、如图，在矩形ABCD中，AB 2BC , P,Q分别为线段 AB,CD的中点，EP，平面ABCD .求证：AQ / 平面CEP ;（利用平行四边形）练习：如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面,E、F分别是 AB、PD的中点。求证： AF /平面PCE ;如图，已知 P是矩形ABCD所在平面外一点，PD 平面ABCD , M, N分别是AB, PC中点。求证:MN /平面 PADC 如图，已知 AB 平面ACD , DE/AB , ACD是正三角形， A

3、D = DE = 2AB ,且F是CD的中点.求证：AF平 面 BCE ;AB、已知正方体ABCD- A1B1C1D1 , 0是底ABCD对角线的交点.求证：C1O 面AB1D1.比例关系例题3、P是平行四边形ABCD平面外一点,用比例关系)M、N分别是PB、BC上的点，且BM BN，求证:MN平面PCD(利PM NC练习：如图，四边形ABCD为正方形，EA 平面ABCD ,1 一 一 一. 上，且满足CM -CA ,求证：EM平面FBC ;4EF/AB , AB = 4,AE = 2, EF =1 . ( n )若点 M 在线段 AC面面平行一线面平行例题4、如图，矩形ABCD和梯形BEFC

4、所在平面互相垂直,证：平面ABE平面CDF(II)求证：AE平面DCF;(利用面面平行-线面平行)BE/CF , BCF= CEF= 90 ,AD= 4r3 ,EF=2。( I )求练习：1、如图所示，四棱锥 P ABCD中，底面ABCD为正方形,PD 平面 ABCD, PD AB 2, E, F ,G分别为PC、PD、BC的中点.(1)求证：；PA/ 面 EFG ；(2)求三棱锥P EFG的体积.2、如图，在直三棱柱ABC ABg 中，ACB900E,F,G分别是AA1, AC,BB1的中点，且CGC1G(I)求证：CG平面BEF;3、如图所示，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直

5、，AD CD,AB/CD,CD 2AB 2AD .在EC上找一点M，使得BM 平面ADEF，请确定M点的位置，并给出证明.4、(2012山东文)如图，几何体 E ABCD是四棱锥， ABD为正三角形， CB CD,EC BD .(I )求证：BE DE ；(n)若/ BCD 120 , M为线段AE的中点, 求证：DM /平面BEC.例题：如图，已知四棱锥P ABCD。若底面ABCD为平行四边形，E为PC的中点，在DE上取点F ,过AP和点F的平面与 平面BDE的交线为FG ,求证：AP/FG 。证明：连AC与BD,设交点为O,连OE练习：1、如图，在四锥P ABCD中，侧面PAD是正三角形，

6、且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形, BAD 60 , N是PB中点，过 A、N、D三点的平面交 PC于M ,求证： ADMN;2、（2012浙江高考）如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD-A iBiCiDi中，AD / BC , AD ±AB, AB= J2。AD=2 , BC=4,AA i=2, E是DDi的中点，F是平面 BiCiE与直线 AA i的交点。（1）证明：EF/ AiDi;3.如图，四边形 ABCD是矩形，平面 ABCD 平面BCE , BE EC.（1） 求证：平面 AEC 平面ABE;（面面垂直性质）BFi（2） 点F在BE上，若DE平面ACF

7、 ,求 的值。（线面平仃的性质一）BE2例、如图，在正方体 ABCD AB1clD1中，E、F、G分别是AB、AD、CR的中点.求证：平面DiEF /平面BDG .练习：如图所示，在正方体ABCD- ABiCiDi 中，E、F、G H 分别是 BC CC、CiDi、A1A 的中点.求证:(1) EG/平面 BBDD; (2)平面 BDF/平面 BDH例题：已知在正方体abcd- A1B1C1D1中，E,F分别是CD和D1Al上的点，点P在正方体外，平面PEF与正方体相交于AC,求证：EF/平面ABCDEF交AC于M , GC垂菱形的对角线互相垂直：例题。已知E, F分别是正方形 ABCD边AD

8、, AB的中点, 直于ABCD所在平面。 求证：EFL平面 GMC . BD AC1等腰三角形底边的中线垂直底边例1、 如图，在三棱锥P ABC中，AC BC 2,AP BP AB, PC AC.求证：PC AB;ACB练习：1、在三棱锥A-BCD中，AB=AC,BD=DC,求证:BC AD练习：如图ABCD- A1B1c1D1是底面为正方形的长方体，求证： （1） BD平面ACC1ABC圆的直径所对的圆周角为直角例题3、如图AB是圆O的直径，C是圆周上异于 A、B的任意一点， PA 平面ABC , （ 1）图中共有多少个直角三角形？ （2）若AH PC，且AH与PC交于AH,求证：AH 平面

9、PBC.利用勾股定理例4、在长方体 ABCD AiBiCiDi中，底面 ABCD是边长为1的正方形，侧棱 AAi 2, E是侧棱BBi的中点。求证：AE 平面A,DE ；证明： ABCD A1B1C1D1为长方体,练习：如图，四棱锥P-ABCD 的底面是边长为1PA CD, PA 1, PD J2,求证：（1） PA 平面 ABCD（2）求四棱锥P-ABCD的体积.间接法，用线面垂直的性质定理（l b,b lb）例题：如图，四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB 60 ,AB 2AD, PD 底面 ABCD,证明：PA BD ;练习1:如图，在直三棱柱 ABC ABG中，AC

10、=3, BC=4,AB=5,AA 4,点D是AB的中点。（I）求证：AC BG；练习2：如图，四边形 ABCD为矩形，BC 平面ABE, 点，且BF 平面ACE.求证：AE BE ；F为CE上的证明：因为BC平面ABE , AE 平面ABE ,EAiC的中点，点D在BiCi上，AiDBiC0C例1如图，AB是。的直径，PA垂直。O所在的平面，C是圆上不同于A,B的任意一点，求证：平面PACL平面PBC练习1：如图，棱柱 ABC AB1cl的侧面BCC1B1是菱形，BC A1B2、如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，E、F分别是AiB、 求证：（1） EF/平面 ABC （2）平面 A1F

11、D 平面 BB1C1C .3、如图， ABCD正方形，S平面ABCD BKSC于K,连结DR 求证（1）平面SBCL平面KBD例1:如图，在四棱锥 P-ABCD中，侧面 PAD,底面 ABCD ,侧棱PA=PD,。为AD中点.，求证：POL平面 ABCD ;例2：如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是 DAB 600且边长为a的菱形，侧面 PAD是等边三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD .(1)若G为AD的中点，求证：BG 平面PAD ;(2)求证：AD PB;练习：1、如图AB是圆。的直径，C是圆周上异于 A、B的任意一点， PA 平面ABC, (1)图中共有多少个直角三角形？

12、 ( 2)若AHPC，且AH与PC交于H ,求证：平面 PAC 平面PBC.(3) AH平面PBC2、在四棱锥P ABCD中，平面PAD，平面ABCD , AB=AD , / BAD=60 ° , E、F 分别是 AP、AD 的中点.求证：平面 BEF1平面 PAD3、如图，正方形 ABC所在平面与以 AB为直径的半圆 O所在平面 ABEE相垂直,点，求证：O 直线 AP1平面 PBG 平面 PBCL平面 APC24、如图，二角形 ABC中，AC=BC=AB , ABED是 2ABED，底面 ABC,且，若 G、F分别是EC、BD的中ABC ;边长为a的正方形，平面(I )求证：GF

13、/底面(H)求几何体ADEBC的体积V。5、如图，A B, C, D为空间四点.在 ABC中,AB 2, AC BC 板.等边三角形 ADB以AB为轴运动.(I)当平面 ADB 平面ABC时，求CD ;五、体积问题1.如图，ABCD A1B1C1D1是正四棱柱侧棱长为1,底面边长为2, E是棱BC的中点(1)求证：BDi / 平面 Ci DE ;(2)求三棱锥D D1BC的体积.练习1：三棱锥P ABC中，PAC和PBC都是边长为行的等边三角形，AB 2,0、D分别是AR PB的中点.(1)求证：0D/平面PAC (2)求证：平面 PAB，平面ABC;(3)求三棱锥A PBC的体积.2、如图，

14、长方体ABCD AiBiCiDi中，AB AA11, AD 2,E是BC的中点.（I）求证：平面AiAE 平面DiDE ; （II）求三棱锥A ADE的体积.AiDi.已知D是这个3、如图，在四棱锥P-ABCDt, PD垂直于底面ABCD ,底面ABCM直角卞$形，DC/AB, BAD 90o,且 AB 2AD 2DC 2PD 4 （单位：cm）, E为PA的中点。（1）如图，若主视方向与AD平行，请 作出该几何体的左视图并求出左视图面积;（2 ）证明：DE /平面PBC ;4、已知某几何体的直观图（图i）与它的三视图（图2）,其中俯视图为正三角形，其它两个视图是矩形几何体的棱AG上的中点。（

15、I）求出该几何体的体积；（3<3 ）（n ）求证：直线 BCi / /平面ABi D ；（出）求证：平面ABD 平面AAi D .5、已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据,（I）求这个组合体的体积；（n）若组合体的底部几何体记为ABCD A1 B1C1D1 ,其中A1B1BA为正方形.（i）求证：A1B 平面AB1cl D； （ii）求证：P为棱AB1上一点，求AP PC1的最小值.A*D六：等体积法求高（距离）：h如：三棱锥 V f bec = Vb efcF BEC iB EFC 11 u 1-S BEC 1 h = 3 S EFC1 BE例题（201

16、0广东文数）如图，弧 AEC是半径为a的半圆，AC为直径， 点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC 平面BED,FB=J5a（1）证明：EB FD（2）求点B到平面FED的距离.练习1:已知ABC-A1B1cl是正三棱柱，长均为 J5, E、F分别是AG A1G的中点,(1)求证：平面 AB1F/平面BEC(2)求点A到平面BEC1间的距离2、如图，在四棱锥 P ABCD中,PD 平面ABCD；四边形ABCD是菱形,作与PD平行的平面交 PB与点E, ABCD的两对角线交点为 F . (I)求证:点D到平面PBC的距离.3、如图4,在四棱锥 P ABCD

17、中，平面PAD 平面ABCD, AB/ DC , PAD是等边三角形，已知 BD 2AD 4 , AB 2DC 2J5 .(1)求证：BD 平面PAD ;(2)求三棱锥A PCD的体积.4.如图，己知 BCD中,BCD 900, BC CD 1,AB 平面 BCD ,边长为2, BCD 60 ,经过ACAC DE ; ( )若 EF V3 ,求BADB 600,E,F分别是AC,AD上的动点，且生二"二,(0< <1)AC AD(1)求证：不论为何值，总有EF 平面ABC;1(2)若 二，求三棱锥A-BEF的体积.25、(2012广东文数)如图5所示，在四棱锥 P ABCD中，AB 平面PAD , AB/CD,PD AD, E是PB中点,1F是DC上的点，且 DF AB, PH为 PAD中AD边上的高。2(1)证明：PH 平面ABCD;(2)若PH 1,AD 2,FC 1,求三棱锥E BCF的体积;(3)证明：EF 平面PAB.6、(2012佛山一模)如图，三棱锥BCA 90°, PB BC CAM为AB的中点，点F在PA上 (1)求证：BE 平面PAC ;(2)求证：CM /平面BEF ；(3)求三棱锥F ABE的体积.P ABC中，PB 底面 ABC,4, E为PC的中点，且 AF 2FP.7、