第3章行列式及其应用

1、China University of Mining and Technology第三章第三章 行列式及其应用行列式及其应用3.1 3.1 行列式的定义行列式的定义 3.2 3.2 行列式的性质行列式的性质 3.3 3.3 行列式的应用行列式的应用 China University of Mining and Technology 学习要点学习要点： 1. 了解行列式的定义及其性质。了解行列式的定义及其性质。 2. 会运用行列式的性质求行列式的值。会运用行列式的性质求行列式的值。 3. 重点掌握行列式在理论推导中的应用，主要有以下三重点掌握行列式在理论推导中的应用，主要有以下三个定理：个定理：

2、 （1）行列式展式定理；）行列式展式定理； （2）克莱姆法则；）克莱姆法则； （3）行列式乘法定理。）行列式乘法定理。China University of Mining and Technology3.1 3.1 行列式的定义行列式的定义引例引例3.1 用消元法解二元线性方程组用消元法解二元线性方程组.22221211212111bxaxabxaxa 解解 第一个方程乘以第一个方程乘以a22，第二个方程乘以，第二个方程乘以a12，然后两方程，然后两方程相减得相减得 .212221121122211baabxaaaa类似可得类似可得.211211221122211abbaxaaaaChina

3、University of Mining and Technology当当 021122211aaaa时时, 得方程组的解得方程组的解.,211222112112112211222112122211aaaaabbaxaaaabaabx212221121122211baabxaaaa.211211221122211abbaxaaaa我们引进我们引进二阶行列式二阶行列式的概念的概念, 即定义即定义,2112221122211211aaaaaaaa那么那么, 方程组的解可整齐地表示为方程组的解可整齐地表示为.,222112112212112222112112221211aaaababaxaaaaab

4、abxChina University of Mining and Technology二阶行列式二阶行列式22211211aaaa又称为二阶方阵又称为二阶方阵22211211aaaaA的行列式的行列式类似地，如果定义类似地，如果定义三阶行列式三阶行列式333231232221131211aaaaaaaaa322113312312332211aaaaaaaaa312213332112322311aaaaaaaaa11122122aaAaa记作记作11221221a aa aChina University of Mining and Technology含有三个未知量的线性方程组含有三个未知量

5、的线性方程组,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa0333231232221131211aaaaaaaaaD当系数矩阵的行列式当系数矩阵的行列式 时，通过计算可知其解可整齐地表示为时，通过计算可知其解可整齐地表示为 China University of Mining and Technology112131111311121222232122321222332333133331323123111213111213111213212223212223212223313233313233313233,baaabaaabbaaaba

6、aabbaaabaaabxxxaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaChina University of Mining and Technology问题问题nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111111212122212nnnnnnaaaaaaaaa使得方程组的解可整齐地表示为使得方程组的解可整齐地表示为设设nn的线性方程组的线性方程组如何定义如何定义 n 阶行列式阶行列式China University of Mining and Technology1121111212222212222121111211112

7、121222212221212,nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnbaaaabbaaaabbaaaabxxaaaaaaaaaaaaaaaaaa（这里假设分母不为零）（这里假设分母不为零）China University of Mining and Technology在在 D 中划掉第中划掉第 i 行和第行和第 j 列元素而剩下的元素按原来列元素而剩下的元素按原来相对位置不变所构成的低一阶的行列式，称为相对位置不变所构成的低一阶的行列式，称为 (i,j) 元元素的素的，记为，记为Mij ,称称Aij = (-1)i+j Mij为为 (i,j) 元素的元素的。nnnnnnaaaaaaa

8、aaD212222111211 nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211用式子用式子D表示方阵表示方阵A的元素按某种规则运算得到的一的元素按某种规则运算得到的一个数，称为个数，称为A的行列式。的行列式。China University of Mining and Technology132333322232211 nnnnnnnaaaaaaaaaM131333312232112 nnnnnnnaaaaaaaaaM111111)1(MA 122112)1(MA 例如：例如：nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 China University of Minin

9、g and Technologyn 阶行列式阶行列式的值定义如下：的值定义如下：njjjjMaA1111(-1)当当n=1时，时， =a11;当当n2时，假设对时，假设对n-1阶行列式已有定义，则阶行列式已有定义，则（上式又称（上式又称按第一行展开按第一行展开）111212122212.nnnnnnaaaaaaAaaannnjjjAaAaAaAa1112121111111（3.1）AChina University of Mining and Technology由定义，可得二阶行列式与三阶行列式的计算由定义，可得二阶行列式与三阶行列式的计算22211211aaaa21122211121211

10、11aaaaAaAa131312121111333231232221131211AaAaAaaaaaaaaaa323122211333133221123332232211aaaaaaaaaaaaaaa312213332112322311322113133212332211-aaaaaaaaaaaaaaaaaaChina University of Mining and Technology计算下三角行列式计算下三角行列式11212212nnnnnaaaAaaa按第按第1行展开行展开)1(3233322211nnnnnaaaaaaa按第按第1行展开行展开334344112234(2)nnnnna

11、aaa aaaa nnaaa2211解解 根据行列式的定义根据行列式的定义nnnnnaaaaaaA21222111例例3.1China University of Mining and Technology特别地，特别地，niindddd121nddd21China University of Mining and Technology作业作业P55 1（1）（）（3）China University of Mining and Technology对于方阵对于方阵 ，设，设Aij表示元素表示元素aij的代数余子式，称矩阵的代数余子式，称矩阵nnijaA)( nnnnnnTijAAAAAAAA

12、AAA212221212111为为 A 的的伴随矩阵伴随矩阵。3.2 3.2 行列式的性质行列式的性质China University of Mining and TechnologyijijAAankjkik, 0,1ijijAAankkjki, 0,1), 2 , 1,(njiEAAAAA p即行列式等于其任一行（列）元素与其对应的代数余子式乘即行列式等于其任一行（列）元素与其对应的代数余子式乘积之和（亦即行列式可按任一行或任一列展开）；积之和（亦即行列式可按任一行或任一列展开）；p任一行（列）元素与另一行（列）元素所对应的代数余子式任一行（列）元素与另一行（列）元素所对应的代数余子式乘积

13、之和为零。乘积之和为零。即即China University of Mining and Technology3121-4)015-1-(-10352320205153按第按第1行展开行展开例例3.2验证行列式的展开定理验证行列式的展开定理031521413D031521413解解按第按第3行展开行展开031521413)5-1-43(-35-2411201133-1按第按第3列展开列展开031521413)3113(-(-5)3121-420(-8)(-5)-20China University of Mining and Technology再验证一下错列或错行展开是否为零再验证一下错列或

14、错行展开是否为零?333223221312AaAaAa21133211650231322122111AaAaAa)0341(301431)3113(4324123031211)3113(2031521413DChina University of Mining and Technology1224222223214521D设设 ，求，求D的第的第3列元素的代数余子列元素的代数余子 式之和。式之和。 根据行列式的展开定理可得根据行列式的展开定理可得，03442333232221321AaAaAaAa从而，从而，0)2(34333213AAAA即，即，0.34333213AAAA，43216302

15、11118751D.44434241AAAA练习练习 已知已知 计算计算例例3.3解解China University of Mining and Technologyu利用展开定理得到计算行列式的基本方法利用展开定理得到计算行列式的基本方法 “降阶法降阶法”，即，即利用行列式展开定理利用行列式展开定理, 可将可将n阶行列式的计算转化为阶行列式的计算转化为n-1阶行列阶行列式的计算。式的计算。 根据行列式的展开定理，按第一列展开得根据行列式的展开定理，按第一列展开得.2211nnnaaaAnnnnnaaaaaaA22211211计算上三角行列式计算上三角行列式例例3.4解解China Univ

16、ersity of Mining and Technology00000000例如例如),2 , 1( ,2211niAaAaAaDininiiii性质性质3.1如果行列式如果行列式 有一行（列）的有一行（列）的 元素为零，则该行元素为零，则该行列式的值等于零。列式的值等于零。AChina University of Mining and Technology性质性质3.2 若行列式若行列式 的某一行（列）的所有元素均为两个数的某一行（列）的所有元素均为两个数之和，则该行列式等于相应的两个行列式的和。之和，则该行列式等于相应的两个行列式的和。例如例如6003003013952001992041

17、00103600300130039520012002041003100600300300395200200204100100600300139520012041003AChina University of Mining and Technology性质性质3.3 设设A是一个方阵，是一个方阵， 相应于方阵的三种初等行（列）变换，行列式也有相应的相应于方阵的三种初等行（列）变换，行列式也有相应的三种行（列）变换。一次变换后，其值会发生怎样的变化呢？三种行（列）变换。一次变换后，其值会发生怎样的变化呢？(1) 设设 BAjirrji)(，则，则;AB(2) 设设 BAijkrr ，则，则;AB

18、(3) 设设 BAkkri )0(-，则，则.AkB 推论推论3.1 如果行列式如果行列式 中有两行（列）的元素相同，则该行中有两行（列）的元素相同，则该行列式的值为零。列式的值为零。A例如例如0cbacba0ccbbaaChina University of Mining and Technology性质性质3.4 如果行列式如果行列式 中的某行元素（列）有公因子，则该中的某行元素（列）有公因子，则该公因子可提到行列式的外面。公因子可提到行列式的外面。A例如例如123331182122411311821322126364284112633218412China University of M

19、ining and Technology推论推论3.2 对于对于n阶方阵阶方阵A，则，则 是一个数。是一个数。,AAn推论推论3.3 如果行列式如果行列式 中有两行（列）元素对应成比例，则中有两行（列）元素对应成比例，则其行列式的值为零。其行列式的值为零。A09633210420021例如例如China University of Mining and Technologyu利用行列式的性质得到计算行列式的基本方法利用行列式的性质得到计算行列式的基本方法 “化三角化三角形法形法”。 其基本思路是：通过行列式的行（列）变换将行列其基本思路是：通过行列式的行（列）变换将行列式化简为阶梯形行列式，再

20、利用三角形行列式的值等于其对角式化简为阶梯形行列式，再利用三角形行列式的值等于其对角线上元素的积计算其结果。线上元素的积计算其结果。12rr 13rr 142rr 8350211042004121解解只用只用ri+krj这种变换，这种变换，例例3.5把行列式化为三角形，然把行列式化为三角形，然后计算行列式后计算行列式D的值。的值。0112201101214121D0112201101214121DChina University of Mining and Technology835021104200412132rr 835021102110412123rr 245rr/p>

21、104121344rr 20004200211041214China University of Mining and Technology说明说明1 行列式的性质凡是对行成立的，对列也成立，反之亦然。行列式的性质凡是对行成立的，对列也成立，反之亦然。说明说明2 计算行列式的方法很多，技巧也很强，重点掌握降阶法计算行列式的方法很多，技巧也很强，重点掌握降阶法和化三角形法。和化三角形法。矩阵矩阵A的行列式与其转置矩阵的行列式与其转置矩阵AT 的行列式的值相等，的行列式的值相等，即即.TAA China University of Mining and Technology计算行列式计算行列式 3

22、214214314324321D将行列式第将行列式第2、3、4列加到第一列列加到第一列, 得得321121411431432110321102141014310432104 , 3 , 21jccDj11102220311043214 , 3 , 21irri40004400311043211022324rrrr1601610例例3.6解解China University of Mining and Technologyu特征特征1：对于所有行（列）元素相加后相等的行列式，可把：对于所有行（列）元素相加后相等的行列式，可把第第2行至行至n行加到第一行（列），提取公因子后在简化计算。行加到第一行

23、（列），提取公因子后在简化计算。 将行列式第将行列式第2,3,n列加到第一列列加到第一列, 得得abbbnababbnabbabnabbbbnaD1111abbbabbbabbbbna1111) 1( 计算计算 n 阶行列式阶行列式abbbbabbbbabbbbaD例例3.7解解China University of Mining and Technologybabababbbbna1) 1(1)() 1(nbabna1rri ni,2 China University of Mining and TechnologynnnnayayxxaD2221)0(32naaannnkkkkaaxxay

24、xa002221)(2132nkkkknayxaaaa计算计算 n 阶行列式阶行列式 利用初等列变换可将该行列式化为三角形行列式利用初等列变换可将该行列式化为三角形行列式kkkcayc 1nk, 2 nDu特征特征2：第一行，第一列及对角线元素除外，：第一行，第一列及对角线元素除外，其余元素全为零的行列式称为爪型行列式。其余元素全为零的行列式称为爪型行列式。例例3.8解解China University of Mining and Technology1111211221222122122211211111nnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaD计算范德蒙德计算范德

25、蒙德(Vandermonde)行列式行列式na na na 从最后一行开始，每行减去上一行的从最后一行开始，每行减去上一行的an倍。倍。u特征特征3：范德蒙德：范德蒙德(Vandermonde)行列式的计算过程及结论。行列式的计算过程及结论。例例3.9解解China University of Mining and Technology0)()()(0)()()(0)()()(01111121222121131232131112211121nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD111121122122212212

26、2211211111nnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaDna na na China University of Mining and Technology)1(212222212122222112211111nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaa)()() 1(1211nnnnnnaaaaaaD按最后一列展开按最后一列展开1 -nD0)()()(0)()()(0)()()(01111121222121131232131112211121nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

27、DChina University of Mining and Technology1121)()(nnnnnnDaaaaaaD22121111)()(nnnnnnDaaaaaaD223133)(DaaaaD121122)(aaDaaDnijjiaa1)(1111211221222122122211211111nnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaDChina University of Mining and Technology.27931842111111)(,0)(32xxxxfxf 的根的根求求解：解：)23)(13)(12)(3)(2)(1()( xxxx

28、f所以根为所以根为x =1,2,3.练习练习232311 1111 231 111( )1 491 2481 39271 827xxxxf xxxChina University of Mining and TechnologydcdcbabaDn2ddcdcbabaaDn000) 1(112)1(2)12()12() 1(nnnDad计算行列式计算行列式D2n的值的值按第一行展开按第一行展开00) 1(21cdcdcbababn)1(21)12() 1(nnDbc备用题备用题2解解China University of Mining and Technology)1(21)12()1(2)1

29、2()12() 1() 1(nnnnnDbcDadnnbcadDbcad)()()1(2dcdcbabaDn2China University of Mining and Technology计算计算n阶行列式的值阶行列式的值2112112112112nn nD 按第一行展开按第一行展开2(1) (1)211212 ( 1)12112nnnD 3(1) (1)110211 ( 1)12112nn 122nnDD112nnnnDDDD备用题备用题3解解China University of Mining and Technology2321nnDDDD212112得递推公式得递推公式11(2,3

30、,)nnDDn . 1, 21 nDDn所以所以112nnnnDDDDu特征特征4：所求行列式某一行（列）至多有两个非零元素，按：所求行列式某一行（列）至多有两个非零元素，按这一行展开，并能够得到较低阶的具有相同结构的行列式，如这一行展开，并能够得到较低阶的具有相同结构的行列式，如备用题备用题2、3。China University of Mining and Technology 只用第三种初等行变换可把只用第三种初等行变换可把A化为上三角矩阵化为上三角矩阵 证明证明设设A，B是是 n 阶方阵，则阶方阵，则.ABA B注注 当当A，B都是都是n阶方阵时，一定有阶方阵时，一定有.BAAB ij

31、sS 只用第三种初等列变换可把只用第三种初等列变换可把B化为上三角矩阵化为上三角矩阵 ijtT 即存在第三种初等矩阵即存在第三种初等矩阵(1,2,),(1,2, )ijimjkPQ 使得使得11,mkPPAS BQQT11 2211 22,nnnns sst ttASBT 并有并有 因此因此1111 11 22 22mknn nns t s ts tABPPABQQSTA BChina University of Mining and TechnologyAEAAAAAETT)(EAEAAEATTT)()(AEAEAEn) 1()(设设A是奇数阶方阵，且是奇数阶方阵，且 证明证明, 1,AEA

32、AT. 0 AE例例3.10证明证明China University of Mining and Technology解解例例3.11sin2sin()sin()sin()sin2sin()sin()sin()sin2A ，计算，计算Asincos0coscoscossincos0sinsinsinsincos0000Asincos0 coscoscossincos0sinsinsin0sincos0000AChina University of Mining and Technology作业作业 P64 2（2） （3） P65 5（1）China University of Mining

33、and Technology3.3 3.3 行列式的应用行列式的应用行列式的应用主要体现在理论推导行列式的应用主要体现在理论推导 。方阵方阵A可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是 ，0A时，其逆矩阵时，其逆矩阵 ，其中，其中A*为为A的伴随矩阵。的伴随矩阵。AAA11且当且当A可逆可逆说明说明1 该定理不仅可以用来判别方阵可逆，同时也提供了求该定理不仅可以用来判别方阵可逆，同时也提供了求逆矩阵的计算公式。逆矩阵的计算公式。说明说明2 当当 时，时，A称为称为奇异矩阵奇异矩阵，否则称为，否则称为非奇异矩阵非奇异矩阵。0 AChina University of Mining and Tech

34、nology证明证明 必要性必要性设方阵设方阵A可逆，则存在可逆，则存在A-1，使，使对上式两边取行列式，并利用行列式乘法定理得对上式两边取行列式，并利用行列式乘法定理得 11AA所以所以 . 0AEAA1EAAAAAA)1()1(.11AAA充分性充分性所以所以A可逆，且可逆，且设设 ，0A由行列式展开定理由行列式展开定理EAAAAA China University of Mining and Technology acbdbcadAAAAAA11221221111dcbaA讨论矩阵讨论矩阵何时可逆，且求其逆矩阵。何时可逆，且求其逆矩阵。. 0-bcadAA可逆的充分必要条件为可逆的充分必

35、要条件为例例3.12解解China University of Mining and Technology求求A的逆矩阵的逆矩阵.343122321A02343122321A.1存在存在 A, 2341211A, 3331212A, 2, 6, 6, 223222113AAAA, 2, 5, 4333231AAA222563462211A例例3.13解解China University of Mining and Technology，naaaA21112111naaaA设设. ),1,2,(00niaAi例例3.14证明证明证明证明A可逆的充要条件是可逆的充要条件是，),1,2,(0niai

36、并求其逆。并求其逆。China University of Mining and Technology设设A，B均为均为n阶方阵，证明阶方阵，证明AB可逆的充分必要条件可逆的充分必要条件是是A，B均可逆。均可逆。若若A，B均可逆，则均可逆，则 从而从而，00BA0,BAAB因此因此AB可逆。可逆。 反之，若反之，若AB可逆，则可逆，则 从而从而0,BAAB，00BA因此因此A、B可逆。可逆。 例例3.15证明证明China University of Mining and Technology0DA1*1xA bA bA有唯一解有唯一解., 2 , 1,njDDxjj解的分量为解的分量为注注

37、通常把解的分量表达式叫做克莱姆法则。通常把解的分量表达式叫做克莱姆法则。设设，则线性方程组，则线性方程组Axb其中其中Dj (j=1,2,n)是把系数行列式是把系数行列式 D中第中第 j列换成向量列换成向量b而得到而得到的行列式。的行列式。China University of Mining and Technology0212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD可知可知A可逆，且方程组有惟一解，其解为可逆，且方程组有惟一解，其解为由系数矩阵的行列式由系数矩阵的行列式bAAbAx11nnnnnnnnbbbAAAAAAAAADxxx21212221212111211即即证明证明Ch

38、ina University of Mining and Technology比较左右两边矩阵的比较左右两边矩阵的j 行行, 得得DDAbAbAbDxjnjnjjj)(12211China University of Mining and Technology推论推论3.4 设齐次线性方程组设齐次线性方程组Ax = 0，如果系数矩阵行列式如果系数矩阵行列式0212222111211nnnnnnaaaaaaaaaAD则方程组则方程组Ax = 0只有零解。只有零解。China University of Mining and Technology已知抛物线已知抛物线 经过三点经过三点(1,0)，(

39、2,3) cbxaxy 2(-3,28)，求该抛物线的方程。，求该抛物线的方程。 将三点的坐标代入抛物线方程，得将三点的坐标代入抛物线方程，得a,b,c应满足的非线性应满足的非线性 .28393240cbacbacba经计算得经计算得 ，020139124111D，4013281231101D例例3.16解解方程组方程组China University of Mining and Technology故由克莱姆法则，上述方程组的惟一解为故由克莱姆法则，上述方程组的惟一解为 ，6012891341012D.2028393240113D，21DDa，32DDb. 13DDc于是所求抛物线方程为于是

40、所求抛物线方程为 1.3-22xxyChina University of Mining and Technology0)4(20)6(2022)5(zxyxzyx 系数行列式系数行列式402062225D按第按第3行展开行展开062226225)4(，)8)(2)(5(当当 时，齐次方程组有非零解。时，齐次方程组有非零解。825，当当 为何值时，齐次方程组有非零解？为何值时，齐次方程组有非零解？ 例例3.17解解China University of Mining and Technology1232) 3(122043214324324321axxxxbxxaxxxxxxxx问问a,b为何

41、值时，方程组有唯一解，无解，无穷多解。有无穷多为何值时，方程组有唯一解，无解，无穷多解。有无穷多解时，求出其通解。解时，求出其通解。aaA1232310221011113210231022101111aa已知方程组已知方程组 系数矩阵是方阵首选行列式法系数矩阵是方阵首选行列式法例例3.18解解China University of Mining and Technology2) 1(100010221321231221aaaaa当当a1时，方程组有唯一解；时，方程组有唯一解；0, 1Aa0, 1Aaa=11101123221022101111bA01100000000022101111br当当

42、 时，方程组无解。时，方程组无解。1 b当当 时，方程组有无穷多解。时，方程组有无穷多解。1 b当当a=1 时，方程组可能无解也可能有无穷多解，需讨论。时，方程组可能无解也可能有无穷多解，需讨论。China University of Mining and Technology0011000000002210110100100000000022101111rrA通解为通解为24132122111221kxkxkkxkkxChina University of Mining and TechnologynnnniiiiiiiiinnnnnnaaaaaaaaaaaaD2211212,1),(212

43、222111211(-1).其中，其中，niii,21是自然数是自然数1，2，n 的一个排列；的一个排列；niii,21是对所有这样的排列求和，共有是对所有这样的排列求和，共有 项；项；! n),(21niii是排列是排列 的逆序数，其定义为：的逆序数，其定义为： niii,21nstiiii,1在一个排列在一个排列 中，如果中，如果 ，则称出现一个，则称出现一个stii 逆序，一个排列中出现逆序的总数称为这个排列的逆序数。逆序，一个排列中出现逆序的总数称为这个排列的逆序数。China University of Mining and Technology例如例如(1,2,3)=0, (2,3

44、,1)=2, (3,1,2)=2,(3,2,1)=3, (1,3,2)=1, (2,1,3)=1,333231232221131211aaaaaaaaa322113312312332211aaaaaaaaa132231112332122133a a aa a aa a a因此因此China University of Mining and Technology解解 根据行列式的逆序数定义，能够出现根据行列式的逆序数定义，能够出现x4，x3的项只有的项只有设设，3213213212-321)(xxxxxxf例例3.19问问f(x)中中x4，x3系数分别系数分别是多少？是多少？41322314aaaa和和34321214-aaaa故故4332211441322314-)(aaaaaaaaxf2)-(2-2)-(23xxxx344- xx所以，所以，x4，x3的系数分别为的系数分别为1，-4。China University of Mining and Technology计算计算n 阶行列式阶行列式nnxxxxD321Dn拆分为如下两个行列式，且第一个行列式按最后一列展开，拆分为如下两个行列式，且第一个行列式按最后一列展开，321321000 xxxxx