导数中两种零点问题解决方法

1、导数中的零点问题解决方法解决零点问题，需要采用数形结合思想，根据函数的图像或者趋势图像找出符合 题意的条件即可，因此用导数判断出单调性作出函数图像或趋势图像至关重要。一、能直接分离参数的零点题目此类问题较为简单，分离之后函数无参数，贝可作出函数的准确图像，然后上下 移动参数的值，看直线与函数交点个数即可。ag ( x)例1.已知函数f (x)二x x，g(x) = ln X，若关于x的方x 2= f(X)- 2e只有一个实数根，求a的值。g (x)In x 2In x 2解析： _x"2= f (x) -2e 二x 一 x2 +2ex，令 h(x x - x2 +2ex ,1- In

2、 xh' (x)2x 2e，令 h (x) = 0，则 x2=e x当 0 : x e 时，h' (x) 0 , h(x)单调递增；当 x e 时，h' (x) : 0 , h(x)单调 递减，h(x)max 二 h(/e e2注意这里h(x)的单调性不是硬解出来的，因为你会发现 h (x)的式子很复杂，但是如In x2果把h(x)当成两个函数的和，即m(x) x ，n(x) = -x - 2ex，此时m(x), n(x)的单调性和极值点均相同，因此可以整体判断出h(x)的单调性和极值点。Xe e2(注意：有一个根转化为图像只有一个交点即可)、不能直接分离参数的零点问题

3、(包括零点个数问题)这里需要注意几个转化，以三次函数为例，若三次函数有三个不同的零点，则函 数必定有两个极值点，且极大值和极小值之积为负数，例如f (x)在区间(0,1)上有零点，此时并不能确定零点的个数，只能说明至少有一个零点，若函数在区间上单调， 只需要用零点存在性定理即可，但是若函数在区间上不单调，则意味着f (x)在区间(0,1)上存在极值点。在解决此类问题时常用的知识是零点存在定理和极限的相关知识，但必不可少的是 求出函数的趋势图像，然后根据趋势图像找符合零点问题的条件即可，这里需要说明一 下，参数影响零点的个数问题主要有两个方向，一是参数影响单调性和单调区间 的个数，二是参数影响函

4、数的极值或最值，而通过这两个方向就可以影响函数的趋势 图像，进而影响零点的个数，因此分类讨论思想在此类问题中必不可少。例2.已知函数f (x)二aX3 - 3X2 1，若f (x)存在唯一的零点x0，且x0 - 0 ,则a 的取值范围是解析：当a =0时，f (x) - -3x2 1有两个零点，不符合题意' 2 ' 2当 a 0 时，f (x)二 3ax -6x 二 3x(ax2)，若 f (x)0，则 x a 或 x ： 02若f (x) : 0，则0 ： X，此时函数在(：，0)上单增，f (-1) = -2 - a：0此时在(-匚片0)上存在零点，不符合题意。2 2当 a

5、 0 时，若 f (x) 0，则一a : x ： 0 ,若 f (x) ： 0，则 x： a 或 x 0此时要保证函数存在唯一的正零点，贝Vf (吞)0，解得a (：，-2)注意：如果不是的大题没必要分类讨论，做出符合题意的图像反推即可2 1例3.已知函数f (x) x ln x x - 2 - b在区间e，e上有两个不同零点，求实数b的取值范围。2解析：f '(x)=x + X _2 = (x + 2)(x -1，可知函数 f (x)在(0,1)上递减，在(1,母)2 .21递增，要保证函数f (x)在1 , e上有两个不同的零点，根据函数的趋势图像可e 一 1例4.已知函数f (x

6、 x3ax2b(1)讨论f (x)的单调性;(2)若b = c - a，当函数f(X)有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是33(_：, _3)(1,一2)- ( 2，:)，求 c的值。解析：(1 )当a=0时，f (x)在R上单调递增2 a2 a当a 0时，f(x)在(-3)，(°，；)上单调递增，在一(-3，0)上单调递减；2 a2 a当a <0时，f(x)在(-巳°), (3，；)上单调递增，在(L 3)上单调递减；(2)只有当a = 0时才有可能满足f (x)有三个零点因为f (x)有两个极值点f (0) = b, f (-,空)=_£. a - b

7、，要满足有三个零327点必须满足f (0) - f (一号厂:0,结合b二c-a可得a >0fa <0I(43或4 3，因为f (x)恰有三个零点时，a的a -a + c >0a - a + c <0272733取值范围是(=,-3) - (1, I ) (孑,：) 所以题目可以转化为 a3 - a + c >0在a (1,3)心(3 ,亦)上恒成立，且272243一a - a c ： 0在a (-3)上恒成立4 333设h(a)=2 a - a c，对其求导可得 h(a)在(-二，-2), ( 2，=)递增，在33(- 2 , 2)递减，因此h(a)图像必须满足

8、以下趋势：'f » c -1 乞 0所以 3= c = 1I f ( -) > 0c -1-13 2 2验证：当 c = 1 时，f (x) = x ax 1 - a = (x 1)x (a -1)x 1 - a函数有三个不等的实数根，所以h(x) = x2 (a -1)x 1 - a =0有两个不相等且不等于-1的实数根，所以必须满足、 0:a (-：, -3) 一(1,3) (2 ：)h(-1) - 02 2综上，c = 1第一问很简单，但是是解决第二问必要的前提，第二问题目中函数有三个不同的零点， 但是题目中有两个参数，类似于双参数问题解决方法，最后将两个参数中已

9、知的那个作 为自变量，然后转化为恒成立问题即可，三个零点意味着两个极值的积为负值，然后再 根据不同的a的取值转化为函数恒成立问题，通过函数的趋势图像即可解出符合题意的 条件。但是很多同学缺省最后检验的步骤，同时也不理解为什么需要验证，如果不验 证，则即便满足有三个零点，此时的a的取值范围也可以不是题目中给出的范围，注意这个恰字就说明了必须要进行最后的验证。例 6.已知函数 f (x) = £ - ax2 - bx -1(1 )设g(x)是函数f (x)的导函数，求函数 g(x)在区间0,1上的最小值；(2)若f(1) =0，函数f(x)在区间(0,1)内有零点，求a的取值范围。解析：

10、( 1) g(x) =ex - 2ax - b, g' (x) =ex _ 2a当 a 乞 0 时，g(x) 0，g(x)在0,1递增，g(x)min = g(0) = 1- b当a 0时，令g (x) = 0， x = In 2a，此时0,1, In 2a位置不确定因此需要讨论eCase1:当 ln 2a - 1 时，a 二 2 ，此时 g(x)在0,1递减，g(x)min = g(1) = e - 2a - b1Case1:当 In 2a - 0 时，a 2，此时 g(x)在0,1上递增，g(x)min = g(0) = 1 - b1 eCase3:当 0 : In 2a ： 1

11、时，即:a_：，此时11 - b(a <2 )1 e综上所述 g(x)min 二 2a - 2a In 2ab( : a )2 2e-2a - b(a >_)、 2(2)本题目隐藏一个条件即f (0) =0，又知f二0，所以如果f (x)在区间(0,1)内有零点，则f (x)在(0,1)内至少有两个极值点或者至少有三个单调区间或者说g(x)在(0,1)内不可以恒正也不可以恒负。(要好好理解这句话)1e题目中有两个参数，根据 f (1)=0可得b = e-a T，若当a二2或a -2 时，函1 e数g(x)为单调函数，不符合题意，故a只能在(一2，2一)内取值，此时g(x)min =3a -2a In 2a - e 1，且要满足 3a - 2a In 2a - e 1 ： 0 才可令 h(x) = 3x - 2x In 2x - e 1, h (x) = V 2 In 2x，根据单调性可知h(x)min- e 1 ： 0，此时 g(x)min : 0 成立，因此要保证 f (x)在(0,1)上至少有三个单调区间，则需要满足条件1 e2 a 2，g(0) a0 二 e - 2 < a