高中政治 第1课 生活在人民当家作主的国家 第2框 政治权利与义务参与政治生活的基础课件 新人教版必修2 (1335)

1、3.3.3函数的最大(小)值与导数主题函数的最值主题函数的最值1.1.观察图中在观察图中在a,ba,b上函数上函数y=f(x)y=f(x)的图象的图象, ,找出它们的找出它们的极大值和极小值极大值和极小值. .提示提示: :f(c),f(e)f(c),f(e)是函数是函数y=f(x)y=f(x)的极小值的极小值,f(d),f(g),f(d),f(g)是是函数函数y=f(x)y=f(x)的极大值的极大值. .2.2.观察观察1 1中函数中函数y=f(x)y=f(x)的图象的图象, ,你能找出函数你能找出函数f(x)f(x)在区在区间间a,ba,b上的最大值、最小值吗上的最大值、最小值吗? ?若将

2、区间改为若将区间改为(a,b),f(x)(a,b),f(x)在在(a,b)(a,b)上还有最值吗上还有最值吗? ?提示提示: :函数函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间a,ba,b上的最大值是上的最大值是f(g),f(g),最小最小值是值是f(b).f(b).若区间改为若区间改为(a,b),(a,b),则则f(x)f(x)有最大值有最大值f(g),f(g),无无最小值最小值. .3.3.观察如图所示函数观察如图所示函数y=f(x)y=f(x)的图象的图象, ,该函数有最大值吗该函数有最大值吗? ?提示提示: :由图可见在最高点处图象是间断的由图可见在最高点处图象是间断的, ,因此该函数因此

3、该函数没有最大值没有最大值. .结论结论: :函数有最值的条件函数有最值的条件如果在闭区间如果在闭区间a,ba,b上函数上函数y=f(x)y=f(x)的图象是一条连续不的图象是一条连续不断的曲线断的曲线, ,那么它必有最大值和最小值那么它必有最大值和最小值. .【微思考】【微思考】1.1.函数在某一区间上的最大值一定是这个区间上所有函数在某一区间上的最大值一定是这个区间上所有函数值中的最大值吗函数值中的最大值吗? ?提示提示: :是是. .2.2.极值能在区间端点处取得吗极值能在区间端点处取得吗? ?最值呢最值呢? ?提示提示: :极值只能在区间内取得极值只能在区间内取得, ,但是最值可以在区

4、间端但是最值可以在区间端点处取得点处取得. .3.3.函数最值和函数最值和“恒成立恒成立”问题有什么联系问题有什么联系? ?提示提示: :解决解决“恒成立恒成立”问题问题, ,可将问题转化为函数的最可将问题转化为函数的最值问题值问题. .如如f(x)0f(x)0恒成立恒成立, ,只要只要f(x)f(x)的最小值大于的最小值大于0 0即可即可. .对含参不等式恒成立问题对含参不等式恒成立问题, ,求参数范围时求参数范围时, ,可先分离参可先分离参数数. .【预习自测】【预习自测】1.1.下列说法正确的是下列说法正确的是( () )A.A.函数在其定义域内若有最值与极值函数在其定义域内若有最值与极

5、值, ,则其极大值便是则其极大值便是最大值最大值, ,极小值便是最小值极小值便是最小值B.B.闭区间上的连续函数一定有最值闭区间上的连续函数一定有最值, ,也一定有极值也一定有极值C.C.若函数在其定义域上有最值若函数在其定义域上有最值, ,则一定有极值则一定有极值; ;反之反之, ,若若有极值有极值, ,则一定有最值则一定有最值D.D.若函数在给定区间上有最值若函数在给定区间上有最值, ,则有且仅有一个最大值则有且仅有一个最大值, ,一个最小值一个最小值, ,但若有极值但若有极值, ,则可有多个极值则可有多个极值【解析】【解析】选选D.D.由极值与最值的区别知选由极值与最值的区别知选D.D.

6、2.2.连续函数连续函数f(x)f(x)在在(a,b)(a,b)上有最大值是有极大值的上有最大值是有极大值的( () )A.A.充分不必要条件充分不必要条件B.B.必要不充分条件必要不充分条件C.C.充要条件充要条件D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【解析】【解析】选选A.A.因为区间因为区间(a,b)(a,b)为开区间为开区间, ,所以连续函数所以连续函数f(x)f(x)在在(a,b)(a,b)上有最大值能推出函数有极大值上有最大值能推出函数有极大值, ,但有极但有极大值函数不一定有最大值大值函数不一定有最大值. .3.3.函数函数f(x)=xf(x)=x2 2-4x+1-4x

7、+1在在1,51,5上的最小值和最大值为上的最小值和最大值为( () )A.-2,6A.-2,6B.-3,-2B.-3,-2C.2,6C.2,6D.-3,6D.-3,6【解析】【解析】选选D.f(x)=2x-4.D.f(x)=2x-4.当当x(1,2)x(1,2)时时,f(x)0,f(x)0,f(x)0,又因为又因为f(1)=1f(1)=12 2-4-41+1=-2,1+1=-2,f(5)=5f(5)=52 2-4-45+1=6.5+1=6.所以所以f(x)=xf(x)=x2 2-4x+1-4x+1在在1,51,5上的最小上的最小值为值为f(2)=2f(2)=22 2-4-42+1=-3,2+

8、1=-3,最大值为最大值为6.6.4.4.下列是函数下列是函数f(x)f(x)在在a,ba,b上的图象上的图象, ,则则f(x)f(x)在在(a,b)(a,b)上上无最大值的是无最大值的是( () )【解析】【解析】选选D.D.在开区间在开区间(a,b)(a,b)上上, ,只有只有D D选项所示函数选项所示函数f(x)f(x)无最大值无最大值. .5.5.已知函数已知函数y=-xy=-x2 2-2x+3-2x+3在区间在区间a,2a,2上的最大值为上的最大值为 , ,则则a a等于等于_._.154【解析】【解析】当当a-1a x 时时,y0,y0,所以所以y y在在 上为增函数上为增函数,

9、,因此因此, ,函数函数y y在在-2,+)-2,+)上只有最小值上只有最小值-28 ,-28 ,无最大值无最大值. .323( ,)234【方法总结】【方法总结】闭区间闭区间a,ba,b上连续的函数上连续的函数f(x)f(x)必有最值必有最值(1)(1)给定的区间必须是闭区间给定的区间必须是闭区间,f(x),f(x)在开区间上虽然连在开区间上虽然连续但不能保证有最大值或最小值续但不能保证有最大值或最小值. .如如f(x)= ,x(0,1),f(x)= ,x(0,1),f(x)f(x)在区间在区间(0,1)(0,1)连续连续, ,但没有最大值和最小值但没有最大值和最小值( (如图如图).).1

10、x(2)(2)在闭区间上的每一点必须连续在闭区间上的每一点必须连续, ,即在闭区间上有间即在闭区间上有间断点断点, ,也不能保证也不能保证f(x)f(x)有最大值和最小值有最大值和最小值, ,如函数如函数f(x)= f(x)= 在在-1,1-1,1上有间断点上有间断点, ,没有最小值没有最小值( (如图如图).).x1x1x0,.1x0，且， (3)(3)若连续函数在区间若连续函数在区间(a,b)(a,b)内只有一个极值内只有一个极值, ,那么极大那么极大值就是最大值值就是最大值, ,极小值就是最小值极小值就是最小值. .【巩固训练】【巩固训练】函数函数y= y= 在在0,20,2上的最大值是

11、上的最大值是( () )A.A.当当x=1x=1时时,y= ,y= B.B.当当x=2x=2时时,y= ,y= C.C.当当x=0 x=0时时,y=0,y=0D.D.当当x= x= 时时,y= ,y= xxe1e22e1212 e【解析】【解析】选选A.y= A.y= 令令y=0,y=0,得得x=1.x=1.因为因为x=0 x=0时时,y=0,x=1,y=0,x=1时时,y= ,x=2,y= ,x=2时时,y= ,y= ,所以最大值为所以最大值为 (x=1(x=1时取得时取得).).xx2xxex e1xee，1e22e1e类型二与参数有关的最值问题类型二与参数有关的最值问题【典例【典例2 2

12、】(1)(1)已知函数已知函数f(x)=2xf(x)=2x3 3-6x-6x2 2+a+a在在-2,2-2,2上有最上有最小值小值-37,-37,求求a a的值的值, ,并求并求f(x)f(x)在在-2,2-2,2上的最大值上的最大值. .(2)(2017(2)(2017秦皇岛高二检测秦皇岛高二检测) )设函数设函数f(x)=- xf(x)=- x3 3+2ax+2ax2 2- -3a3a2 2x+b,0a1.x+b,0af(2)f(-2),f(0)=a,f(2)=a-8,f(-2)=a-40.f(0)f(2)f(-2),所以当所以当x=-2x=-2时时,f(x),f(x)minmin=a-4

13、0=-37,=a-40=-37,得得a=3.a=3.所以当所以当x=0 x=0时时,f(x),f(x)maxmax=3.=3.(2)f(x)=-x(2)f(x)=-x2 2+4ax-3a+4ax-3a2 2. .令令f(x)=0,f(x)=0,解得解得x=ax=a或或x=3a,x0,3a,x=3a,x0,3a,列表如下列表如下: :x x0 0(0,a)(0,a)a a(a,3a)(a,3a)3a3af(x)f(x)- -0 0+ +0 0f(x)f(x)b b递减递减- a- a3 3+b+b递增递增b b43由表知由表知: :当当x(0,a)x(0,a)时时, ,函数函数f(x)f(x)为

14、减函数为减函数; ;当当x(a,3a)x(a,3a)时时, ,函数函数f(x)f(x)为增函数为增函数. .所以当所以当x=ax=a时时,f(x),f(x)的最小值为的最小值为- a- a3 3+b;+b;当当x=0 x=0或或x=3ax=3a时时,f(x),f(x)的最大值为的最大值为b.b.43【方法总结】【方法总结】已知函数最值求参数的步骤已知函数最值求参数的步骤(1)(1)求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值的函数值. .(2)(2)通过比较它们的大小通过比较它们的大小, ,判断出哪个是最大值判断出哪个是最大值, ,哪个是哪个

15、是最小值最小值. .(3)(3)结合已知求出参数结合已知求出参数, ,进而使问题得以解决进而使问题得以解决. .【巩固训练】【巩固训练】(2017(2017包头模拟包头模拟) )若函数若函数f(x)=(x-1)f(x)=(x-1)(x+2)(x(x+2)(x2 2+ax+b)+ax+b)的图象关于的图象关于x=0 x=0对称对称, ,则则f(x)f(x)的最小值的最小值为为( () )257941A. B. C. D.4444【解析】【解析】选选C.C.因为函数因为函数f(x)=(x-1)(x+2)(xf(x)=(x-1)(x+2)(x2 2+ax+b)+ax+b)的的图象关于图象关于x=0

16、x=0对称对称, ,所以所以f(-1)=f(1),f(-2)=f(2),f(-1)=f(1),f(-2)=f(2),即即-2(1-a+b)=0,0=4(4+2a+b),-2(1-a+b)=0,0=4(4+2a+b),求得求得b=-2,a=-1,b=-2,a=-1,所以所以f(x)=(x-1)(x+2)(xf(x)=(x-1)(x+2)(x2 2-x-2)=x-x-2)=x4 4-5x-5x2 2+4,+4,所以所以f(x)=4xf(x)=4x3 3-10 x=2x(2x-10 x=2x(2x2 2-5)= -5)= 显然显然, ,在在 上上,f(x)0,f(x),f(x)0,f(x),f(x)

17、0,f(x)为增函数为增函数, ,故当故当x=- x=- 时时,y=-,y=-当当x= x= 时时,y=- ,y=- 所以函数所以函数f(x)f(x)取最小值取最小值- .- . 2x2x52x51010(,),(0,)22 1010(,0),(,)2210294，10294，94类型三与最值有关的恒成立问题类型三与最值有关的恒成立问题【典例【典例3 3】(2017(2017潍坊高二检测潍坊高二检测) )已知函数已知函数f(x)=xf(x)=x3 3+ax+ax2 2+bx+c+bx+c在在x=- x=- 与与x=1x=1处都取得极值处都取得极值. .(1)(1)求求a,ba,b的值及函数的值

18、及函数f(x)f(x)的单调区间的单调区间. .(2)(2)若对若对x-1,2,x-1,2,不等式不等式f(x)cf(x)c2 2恒成立恒成立, ,求求c c的取值的取值范围范围. .23【解题指南】【解题指南】(1)(1)由已知条件求由已知条件求a,ba,b的值并确定函数的值并确定函数f(x)f(x)的单调区间的单调区间.(2).(2)对对x-1,2,x-1,2,不等式不等式f(x)cf(x)c2 2恒成立应恒成立应进行转化进行转化. .【解析】【解析】(1)f(x)=x(1)f(x)=x3 3+ax+ax2 2+bx+c,f(x)=3x+bx+c,f(x)=3x2 2+2ax+b,+2ax

19、+b,因为因为f(1)=3+2a+b=0, f(1)=3+2a+b=0, 解得解得a=- ,b=-2,a=- ,b=-2,所以所以f(x)=3xf(x)=3x2 2-x-2=(3x+2)(x-1),-x-2=(3x+2)(x-1),当当x x变化时变化时,f(x),f(x),f(x),f(x)的变化情况如表的变化情况如表: :244f ()ab0333 ，12x x - -1 1(1,+)(1,+)f(x)f(x)+ +0 0- -0 0+ +f(x)f(x)单调递增单调递增极大值极大值单调递单调递减减极小极小值值单调递增单调递增2()3 ,232(1)3 ，所以函数所以函数f(x)f(x)的

20、递增区间为的递增区间为 和和(1,+);(1,+);递减区间为递减区间为 . .2()3 ,2(1)3 ，(2)(2)由由(1)(1)知知,f(x)=x,f(x)=x3 3- x- x2 2-2x+c,x-1,2,-2x+c,x-1,2,当当x=- x=- 时时, , 为极大值为极大值, ,因为因为f(2)=2+c,f(2)=2+c,所以所以f(2)=2+cf(2)=2+c为最大值为最大值. .要使要使f(x)cf(x)f(2)=2+c,f(2)=2+c,解解得得c-1c2.c2.1223222fc327( )【延伸探究】【延伸探究】1.1.若典例若典例(1)(1)中条件不变中条件不变, ,问

21、法改为求函数问法改为求函数f(x)f(x)在区间在区间-1,2-1,2上的最值上的最值, ,结果如何结果如何. .x x-1-1- -1 1(1,2)(1,2)2 2f(x)f(x)+ +0 0- -0 0+ +f(x)f(x)+c+c单调单调递增递增+c+c单调单调递减递减 - - +c+c单调单调递增递增2+c2+c【解析】【解析】f(x)=(3x+2)(x-1),f(x)=(3x+2)(x-1),当当x x变化时变化时,f(x),f(x),f(x),f(x)变化情况如表变化情况如表: :2( 1,)3 232(,1)312222723由于由于 所以所以f(x)f(x)在区间在区间-1,2

22、-1,2上的最大值为上的最大值为2+c,2+c,最小值为最小值为- +c.- +c.22132cccc,2722 322.2.若典例若典例(2)(2)中条件不变中条件不变, ,问法问法“若对若对x-1,2,x-1,2,不等不等式式f(x)cf(x)c2 2恒成立恒成立”改为改为“若存在若存在x-1,2,x-1,2,不等式不等式f(x)cf(x)c- ,f(-1)= +cc- ,所以所以f(1)=c- f(1)=c- 为最小值为最小值. .因为存在因为存在x-1,2,x-1,2,不等式不等式f(x)cf(x)f(1)=c- ,f(1)=c- ,解得解得cR.cR.321232323212【方法总

23、结】【方法总结】1.1.证明不等式证明不等式, ,研究方程根的个数、两函数图象的交点研究方程根的个数、两函数图象的交点个数、图象的分布范围等问题个数、图象的分布范围等问题, ,导数和数形结合是一种导数和数形结合是一种很有效的工具很有效的工具, ,经常通过分析函数的变化情况经常通过分析函数的变化情况, ,结合图结合图形分析求解形分析求解. .2.2.恒成立问题向最值转化也是一种常见题型恒成立问题向最值转化也是一种常见题型(1)(1)要使不等式要使不等式f(x)hf(x)f(x)hf(x)maxmax, ,则则上面的不等式恒成立上面的不等式恒成立. .(2)(2)要使不等式要使不等式f(x)hf(x)h在区间在区间m,nm,n上恒成立上恒成立,