非线性系统中的混沌之美

1、非线性科学中的混沌XXX中南大学物理与电子学院，湖南 长沙，410083摘要：本文介绍了非线性科学中的混沌概念和混沌发展历史；论述了混沌在科学认识论中的重要地位；同时分析了混沌产生的基本原理及主要特征，指出混沌现象广泛存在于自然界中；最后综述了混沌在科学研究中的广泛应用，并展望了混沌理论未来的发展前景。关键词： 混沌； 蝴蝶效应； 非线性科学 The chaos theory in nonlinear scienceXXXSchool of physics and electronics,Central South University,Changsha 410083,ChinaAbstrac

2、t: The main conception and development of chaos are introduced in this paper; The important status of chaos in scientific epistemology is discussed.At the same time ,the basic principle of chaos and the main characteristics of chaos are analyzed.It is also pointed that the Chaos is a common phenomen

3、on in the nature. In the end, the extensive application of chaos in scientific research is summarized and the prospect of chaos theory is discussed. Key words: chaos; Butterfly Effect; nonlinear science前言人类在认识自然规律的进程中，最初试图用“确定论”的观点来认识客观世界。但是随着人类的认识深入，发现了现实世界中存在许多不能用“确定论”解释的随机事件。而概率与统计的思想在物理学的引入，迫使人们

4、从决定论的“经典科学缔造的神话”中走了出来，寻找新的观点来描述真实世界。混沌理论基本思想的出现，给人类的研究提供了巨大的帮助，使人们在认识世界方法上得到了突破性的进展，对探索描述及研究客观世界的复杂性发挥了巨大的作用，因此混沌理论被认为是继相对论，量子力学后，人类认识世界和改造世界的最富有创造性科学领域的第三次大革命。随着现代科学技术的迅猛发展，尤其是在计算机技术出现和普遍应用，混沌科学作为一门新兴交叉学科受到学术界的广泛重视。混沌是一种貌似无规则的运动，是在确定性线性系统中不需附加任何随机因素就可以出现的类似随机的行为。在现代的物质世界中,混沌现象无处不在,存在于大气中，海洋湍流中，野生动植

5、物种群的涨落中，风中飘拂的旗帜中，水流缭乱的旋窝中，心脏的跳动中，摆动的秋千中，气候的变化中等，大至宇宙,小至基本粒子,无不受混沌理论的支配。混沌的研究在数学、物理、化学、生物、哲学、经济学、社会学、音乐、体育中各个学科中均有涉及。因此,在现代科学中普遍存在的混沌现象打破了不同科学间的界限,混沌科学是涉及系统总体本质的一门科学。1 混沌的发展历史混沌通常用来描述混乱，乱七八糟，杂乱无章等状态。在我国古代“混沌”也称“浑沌”，表示“世界形成以前的状态”，认为宇宙最初是天地不分、混沌一片，在经过演化逐渐成为现在的样子。正所谓“混沌者，言万物相混而未分离”。同时也表示人类在认识上处于浑浑噩噩的朦脓状

6、态，“未有天地之时，混沌如鸡子，盘古生其中”或者“气似质具而未相离，谓之混沌”等都很好的表明了对混沌的认识。在古希腊中，混沌的英文为“Chaos”，来源于希腊文。是对传说中宇宙形成前模糊一团的景象描述，基本与中国古代对于混沌的认识比较相似。早在19-20世纪之交,法国数学家庞加莱在研究天体力学中发现：能够解决地球绕太阳公转的二体问题的Newton万有定律在处理三体问题时遇到了困难。他指出三体问题中，其解在一定范围内是随机的。实际上这是一种保守系统中的混沌。从而他成为世界上最先了解混沌存在可能性的第一人。1963年，美国数学家E.N.Lorenz在气象预报的研究中，用计算机模拟天气情况发现了天气

7、变化的非周期性和不可预言性之间的联系。同时Lorenz发现了天气演变对初值的敏感依赖性1。并提出了一个形象的比喻：“巴西的一只蝴蝶扇动几下翅膀，可能会改变三个月后美国德克萨斯州的气候。”这个比喻称为“蝴蝶效应”，它形象了表示了混动系统中长期行为对初值的敏感依赖性。1971年法国物理学家芦厄勒和荷兰数学家塔肯斯为耗散系统引入了“奇异吸引子”这一概念2,发现了混沌现象,并且提出了一个新的湍流发生机制,以揭示湍流的本质。1975年美籍华人学者李天岩和美国数学家约克在美国数学月刊发表了题为“周期意味着混沌”的著名文章3,深刻揭示了从有序到混沌的演化过程。从此“混沌”一词便在现代意义下正式出现在科学词汇

8、之中。1976年美国数学生物学家MayR在自然杂志上发表的题为“具有极其复杂的动力学的简单数学模型”文章中,给出了著名的虫口方程Logistic模型4。并指出,在生态学中一些非常简单的确定性的数学模型具有极为复杂的动力学行为,提出了有关实际问题,为该领域的深入探索发挥了巨大的作用。1978年，M.Feigenbaum 通过对 R.May 和 York 的Logistic模型的深入研究，发现倍周期分岔的参数值，呈几何级数收敛，从而提出了 Feigenbaum 收敛常数和标度常数5。M.Feigenbaum 的卓越贡献在于他看到并指出了普适性，真正地用标度变换进行计算，使混沌学的研究从此进入蓬勃发

9、展的阶段。1983年，美国人蔡少堂提出了“蔡氏电路”。该电路结构简单，有丰富的非线性特征，提出后就震动了学术界。此后，混沌科学得到了迅猛的发展,基于混沌运动是存在于自然界中的一种普遍运动形式,所以对混沌的研究不仅推动了其它科学的发展,而且其它科学的发展又促进了对混沌的深入研究，奠定混沌在现代科学技术中的重要地位。2 混沌定义混沌是由非线性确定系统产生的随机行为，混沌现象根源于非线性交叉耦合的耦合作用。1975年,李天岩和约克在“周期意味着混沌”的文章中第一次给出了混沌的一种数学定义3：连续映射或者点映射：称为混沌的，如果（1） 存在一切周期的周期点：（2） 存在不可数子集，不含周期点，使得 则

10、称在上是混沌的。 根据李约克定义，一个混沌系统应该有三种性质：（1）存在所有阶的周期轨道；（2） 存在一个不可数集合，此集合只含有混沌轨道，且任意两个轨道既不趋向远离也不趋向接近，而是两种状态交替出现，同时任一轨道不趋于任一周期轨道，即此集合不存在渐进周期轨道。（3） 混沌轨道具有高度的不稳定性。此外，对混沌的定理还有Sharkovskii定理，Smale马蹄，横截同宿点，拓扑混合及符号动力系统等定义6。混沌现象的发现以及对混沌的定义，不仅是人们认识客观事物运动从定常周期或者准周期的运动扩展到了无序的混沌形式。而且还发现了确定论与概率论这两套体系描述之间的由此及彼的桥梁。混沌概念的提出，丰富了

11、人类对远离平衡态现象的认识，使得人们能够将许多复杂现象看作是有目的有结构的行为，而非某种外来的偶然行为。3 混沌的特征混沌现象的出现首先得保证这个系统是非线性的，线性系统是不可能发生混沌现象，它主要有以下几个特征：3.1 混沌对初值条件具有高度敏感性最著名的理论是Lorenz蝴蝶效应，它是指事物发展的结果对初始条件具有极为敏感的依赖性。通常用Lyapunov指数来刻画这种对初值敏感的依赖性，可以说明系统的混沌性。3.2 有界性混沌的运动状态并不是没有边界的，其运动路线无论经过多少次迭代，都会固定在某个区域中，不会超出该区域，这个区域就是吸引域。对于混沌系统而言，有界性表现出系统的整体稳定性。3

12、.3 遍历性遍历性是指混沌运动轨迹吸引子会遍历系统吸引域的每一个状态点，但是又不会停留在具体的某一个状态点。3.4 内在的随机性内在随机性与外在随机性的不同在于，外在随机性是由于外部环境中的某些随机因素对系统造成的影响，而内在随机性是由于系统内部自发生成的，不需要存在随机因素，就会出现类似随机性的行为。3.5 自相似性混沌具有自相似性。所谓的自相似性，就是指把混纯吸引子相图的某一局部放大，放大后的相图与原混纯吸引子的相图是相似的。4 通往混沌的道路系统是通过怎样的方式或者途径从规则运动过渡到混沌运动，是混沌研究的重要问题。以下为三种走向混沌的主要途径。4.1 准周期道路这是由法国著名科学家D.

13、Rulle和F.Takens在70年代首次提出。混沌可以看作具有无穷多个频率耦合而成的振动现象，其特点是平衡态周期运动准周期运动混沌运动。4.2 倍周期分叉道路倍周期分叉道路是由分形理论创始人B.B.Mandelbrot和P.Myberg以及J.A.Yorke等一大批科学家共同努力而发现的。即从周期不断加倍而产生的混沌。其特点为不动点两周期点四周期点无限倍周期凝聚点奇怪吸引子。4.3 间歇道路间歇混沌模型也称为Pomeau-Manneville途径，它是由Pomeau和Man-neville与1980年所提出的一条途径。这条途径是一种规则的运动状态通过有时规则有时混乱的间歇状态转变为混沌运动状

14、态的。5 混沌在自然科学中的应用 5.1 生物医学随着混沌理论的普及，人们发现人体的心率，脑电波都是混沌的。真正周期的心率或是脑电波则是致病因素。因此，人们开始用混沌理论来研究心脏的动力学问题，试图用混沌控制来减少或者消除心脏的“致命混沌”，控制心律不齐的发生。例如利用混沌系统对初始扰动的敏感性，可以在心脏系统偏离正常状态的初期，只用微小的扰动去控制心脏的混沌状态，就能使偏离正常状态的心脏系统及时地从有害的无节奏状态回复到正常状态。不仅如此，在治疗神经疾病方面，运用混沌控制理论将其所表现的“周期态”变为“混沌态”，进行混沌反控制，从而治疗这种所谓的“动态病”。国内外学者在偏头痛、癫痫、老年性痴

15、呆、帕金森、狂郁症、精神分裂症等方面都有所涉及。随着混沌控制理论在癫痫治疗中不断应用，有人提出研发一种可穿戴式的预警装置，可在癫痫发作前发出预警信号，同时通过预警利用混沌反控制原理刺激中枢神经或外周神经，起到控制和治疗癫发作。而科学家们研究热门是研制一款可植入大脑的小型神经刺激器，在癫痫发作前提前预测，然后通过脉冲给药或者电刺激防止其发作。5.2气象学在混沌效应被发现之前，人们都持有这样的观点：天气预报的误差来源只是初始条件的不确定和预报模式的不完善。认为只要初始条件更加精确模式更完善，那么天气预报就会越准。但在理解了天气系统的混沌本质后，我们得以用新的眼光去看待天气预报。初始条件再精确总会有

16、误差，这是由非线性系统的初值敏感性可知，预报的结果在一段时间之后将与真实情况相差万里。美国气象科学家洛伦兹根据大气对流找到了吸引子(attractor)，即空间每一条轨道的运动最终必须结束在一个中心点。据此提出在混沌背景下，天有不测风云，长期天气预报注定要失败，世界上最好的长于两三天的天气预报仅仅是推测，超过六天或七天的预测则毫无价值。但是，我们可以根据混乱理论，对于天气系统有一个可预报上限，确定可预报范围及用何种预报方式更优。又如影响全球天气变化的南太平洋海温的非周期振荡，即所谓厄尔尼诺（ElMino）现象，最近几年都有人用“确定论模型”中的混沌加以解释。5.3 混沌保密通信随着互联网爆发式

17、的发展，在日常应用中，人们也逐渐倾向于使用图像、声音和视频等多媒体方式，尤其是进入大数据时代，多数情况下都需要通过网络实现数据共享，以便管理人员或者通信双方得到高效快捷的服务。同时宽带网络技术和5G业务的飞速发展，极大地满足用户了多方面的需求。互联网技术给全世界人民都带来极大便利的同时，关于互联网信息安全的问题也日益增多。美国“棱镜”计划曝光之后，网络信息安全已成为学术界、企业界和政府部门所共同关注的热点问题。混沌理论在安全领域的应用发展迅速。混沌信号对初始值非常敏感性以及混沌序列有良好的随机性这两点特性与密码学密钥的不确定性要求相吻合；混纯轨道的混合特性与加密体制中的扩散性相吻合，这些理论特

18、性上的关联性让二者的结合成为必然。因此，量子密码混沌密码已经生物密码在混沌混沌保密通信中成为了学者们探讨和研究的一个重要议题。5.4 经济学经济系统本身就是由多种因素相互作用的非线性系统,时间上的不可逆性和线路上的多重因果反馈环及不确定性使其具有非常复杂的非线性特征。资本市场作为经济系统的一个重要组成部分,其价格演化过程是由许许多多的经济个体和经济因素共同参与作用决定的。系统受外界影响,作用体相互作用,一个微小的变化经过由众多经济个体所形成的系统的自组织、自加强和自协调作用可能引起质变,价格的变化具有很大的不确定性、不可逆性、多样性和多变性等特征。所以我们可以说,资本市场是一个明显的具有复杂性

19、特征的非线性系统。现在,利用混沌理论研究经济学研究复杂经济系统的非线性预测已取得了重要的成就，许多预测技术得到了实际应用。这其中的非线性预测突破了传统的预测模式,为复杂经济系统的可预测性提供了有启发意义的判据。例如经济混沌预测方法有两种:一是经济系统预测的非线性模型方法,它是建立直接的非线性模型如逻辑斯蒂模型、洛伦兹模型、埃农映射等来刻画吸引子的演化行为；二是逆处理非线性预测的一般技术方法,如神经网络预测、小波网络预测、分式布朗运动预测等。它是从已有的混沌时间序列出发,通过相空间重构吸引子,用逆处理非线性预测方法对系统的未来行为进行预测。不仅如此，混沌科学在其他方面如交通领域，教育方面，艺术，旅游业，地理学等艺术等领域都得到了广泛的应用。6 总结 混沌理论揭示了自然界和人类社会中普遍存在的复杂性，自然地体现了确定性与随机性的统一，有序与无序的统一，以及它们之间的相互转变。混沌理论为人类认识客观世界提供了