指数函数及其性质课件

1、2.1.2 指数函数及其性质指数函数及其性质 问题一：问题一：据国务院发展研究中心据国务院发展研究中心20002000年发表的年发表的未来未来2020年我国年我国前景分析前景分析判断，未来判断，未来2020年，我国年，我国GDP(GDP(国内生产总值）年平均增国内生产总值）年平均增长率可望达到长率可望达到7.3%7.3%，那么，在，那么，在2001-20202001-2020年，各年的年，各年的GDPGDP可望为可望为20002000年的多少倍？年的多少倍？ 问题二：问题二：当生物死亡后，它机体内原有的碳当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的会按确定的规律衰减，大约每经过规律衰减，大约每

2、经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称年衰减为原来的一半，这个时间称为为“半衰期半衰期”。根据此规律，人们获得了。根据此规律，人们获得了碳碳14含量含量P和死亡年和死亡年数数t的之间对应关系的之间对应关系.问题问题2问题问题1定义域定义域对应关系对应关系问题问题xy073.120,xNx且573021tp0t（一）（一） 创设情境、导入新课创设情境、导入新课 指数函数及其性质 我们知道数学上一个概念是现实生产生活实际我们知道数学上一个概念是现实生产生活实际中许多事物的模型。这两个模型还是比较具体是中许多事物的模型。这两个模型还是比较具体是数字形式的。我们把它抽象为字母形式。大家看数字形式的

3、。我们把它抽象为字母形式。大家看看字母形式会是什么？看字母形式会是什么？指数函数及其性质1 1：上述两种上述两种对应关系能否构成函数关系？对应关系能否构成函数关系？ （1）幂的形式都一样；）幂的形式都一样； （2）幂的底数都是一个正常数；）幂的底数都是一个正常数； （3）幂的指数都是一个变量。）幂的指数都是一个变量。2 2：上述两个函数有什么样的共同特征？上述两个函数有什么样的共同特征？能构成函数关系能构成函数关系想一想一想？想？问题问题2问题问题1定义域定义域对应关系对应关系问题问题xy073.120,xNx且573021tp0t（二）（二） 师生互动、探究新知师生互动、探究新知 指数函数及

4、其性质底为常数底为常数指数为自变量指数为自变量 一般地、函数一般地、函数 叫做指数函数叫做指数函数, ,其中其中x x为自变量，为自变量，a a是常数，是常数，定义域定义域为为 。xay ,a(0 )a1 且且1. 指数函数的概念：指数函数的概念：R R指数函数及其性质下列函数中，哪些是指数函数？下列函数中，哪些是指数函数？ 2(2)yx(3)2xy (4)2xy (5)xy2(6)2xy (7)xyx(8)24xy (9)(21)xya1(1)2aa且(1)2xy 底数：大于零且不等于底数：大于零且不等于1 1的常数；的常数；指数：自变量指数：自变量x；系数：系数：1. 1. 只有一项只有一

5、项ax指数函数及其性质练习：练习： 1.下列函数是指数函数的是下列函数是指数函数的是 （ ）A. y=(-3)x B. y=3x+1 C. y=-3x+1 D. y=3-x2.函数函数 y = ( a2 - 3a + 3) ax 是指数函数，求是指数函数，求 a的值的值. 解：由指数函数解：由指数函数 的定义有的定义有a2 - 3a + 3=1a0 a 1 a = 2a =1或或a = 2a0a1解得解得指数函数及其性质探究探究2:2:函数函数 是指数函数吗？是指数函数吗？xy32 有些函数貌似指数函数，实际上却不是有些函数貌似指数函数，实际上却不是.指数函数的解析式指数函数的解析式 中，中，

6、 的系数是的系数是1.xay xa有些函数看起来不像指数函数，实际上却是有些函数看起来不像指数函数，实际上却是.), 10(Zkaakayx且如：) 10(aaayx且如：) 1101()1(aaayx且因为它可以转化为： 问问底数底数a有什么范围或限制？需要记忆吗？有什么范围或限制？需要记忆吗？01aa且探讨探讨: 若不满足上述条件若不满足上述条件 会怎么样呢会怎么样呢?xay （1 1）若）若a=0,a=0,则则 当当x x0 0时，时， . .0 xa当当x0 x0时时, , 无意义无意义. xa（2 2）若）若a a0,则对于则对于x的某些数值，可使的某些数值，可使 无意义无意义。 如

7、如 ，这时对于这时对于 ，在实数范围内函数值不存在在实数范围内函数值不存在. ( 2)x1124,xxxa以上三种情况都不利于我们研究指数函数，所以规定以上三种情况都不利于我们研究指数函数，所以规定： a0 a0 且且a1.a1.（3 3）若）若a=1,a=1,则对于任何则对于任何 是是一个一个 常量，没有研究的必要性常量，没有研究的必要性.xR1xa指数函数及其性质 答：因为指数答：因为指数x取全体实数，所以我们只取全体实数，所以我们只要熟练具体的数字的指数幂就可以了。要熟练具体的数字的指数幂就可以了。 比如比如a0且且a1为什么可以为什么可以。指数函数及其性质二、我们已经抽象出一个指数函数

8、的概念，接下去我们要研究二、我们已经抽象出一个指数函数的概念，接下去我们要研究指数函数这个事物的什么？指数函数这个事物的什么？答：图像和性质，比如奇偶性、单调性。答：图像和性质，比如奇偶性、单调性。怎么研究？怎么研究？我们只所以能抽象出字母形式是因为我们对具体数字形式非常我们只所以能抽象出字母形式是因为我们对具体数字形式非常熟练，所以我们要研究字母形式的指数函数图像与性质我们可熟练，所以我们要研究字母形式的指数函数图像与性质我们可以研究具体数字形式的指数函数的图像与性质。你觉得数字形以研究具体数字形式的指数函数的图像与性质。你觉得数字形式的指数函数哪个最简单？式的指数函数哪个最简单？答：答：a

9、=2和和a=1/2我们让我们让x取整数，看看函数值大小变化趋势。当取整数，看看函数值大小变化趋势。当x变的越来越大变的越来越大时比如时比如x=1、2、3、4、10000。当。当x变的越来越负无穷大变的越来越负无穷大时比如时比如x=-1、-2、-3、-10000。三、三、先估计先估计2 ,xyxR指数函数及其性质动动手：动动手： 请同学们画一画下面两个函数的图像。请同学们画一画下面两个函数的图像。 1 2xy 1(2)2xy84211812143210-1-2-3x2xy指数函数及其性质-3 -2 -1 0 1 2 3 xyy = 2 x(3,8)(2,4)(1,2)( 0,1)21(-1, )

10、41(-2, )81(-3, )指数函数及其性质-3 -2 -1 0 1 2 3 xyy = ( ) x213210-1-2-3x12xy1248121418指数函数及其性质-3 -2 -1 0 1 2 3 xyy = 2 xy = ( ) x21(3,8)(2,4)(1,2)( 0,1)21(-1, )41(-2, )81(-3, )思考：思考：函数函数 的图像与的图像与 的图像有什么关系的图像有什么关系 ？可否？可否利用利用 的图像画出的图像画出 的图像的图像 ？xy2 xy21xy2 xy21(-3,8)(-2,4)(-1,2)( 0,1)41(2, )21(1, )81(3, )函数函

11、数y=2y=2x x的图像与的图像与 的图像关于的图像关于y y轴对称轴对称. .y = ( ) x21你能用用文字语言、图像语言、符号语言各自表述或证明吗？。你能用用文字语言、图像语言、符号语言各自表述或证明吗？。指数函数及其性质指数函数及其性质xy0y = ( ) xy = ( ) x2131y = 2 xy = 3 x思考思考2 2: :如图四个如图四个指数函数图像，当底数大于指数函数图像，当底数大于0 0小于小于1 1和大于和大于1 1时，图像在画法上有什么特点？时，图像在画法上有什么特点？ 思考思考3： 通过图像，你能发现通过图像，你能发现指数函数的哪些共同特征？指数函数的哪些共同特

12、征？ 当底数大于当底数大于0小于小于1时，时，图像自左向右是下降的；图像自左向右是下降的； 当底数大于当底数大于1时，图像时，图像自左向右是上升的。自左向右是上升的。 1.1.图像向左、向右是无限延伸的。图像向左、向右是无限延伸的。2.2.图像都在图像都在x x轴的上方。轴的上方。3.3.都过定点（都过定点（0 0，1 1）。）。 (0,1)指数函数及其性质2.指数函数指数函数 的图像及性质的图像及性质xay 0a1图像图像定义域定义域值域值域性性定点定点质质 单调性单调性yx0y=1(0,1)yx0y=1(0,1)(0,+)RR(0,+)(0,1) 即即 x = 0 时时, y = 1 。在

13、在R上是单调上是单调增函数增函数在在R上是单调上是单调减函数减函数指数函数及其性质问、指数函数的图像与性质需要死记硬背吗？问、指数函数的图像与性质需要死记硬背吗？答：只需记得图像就可以，性质可以根据图像自然而然的答：只需记得图像就可以，性质可以根据图像自然而然的得出。得出。指数函数及其性质 例题例题1 1、已知指数函数、已知指数函数 的图像经过的图像经过点（点（3 3，）求）求 (0), (1), (-3)(0), (1), (-3)的值。的值。 ）且10()(aaaxfxfff（一）典例分析典例分析xaxf)(), 3(,)3(f解：因为解：因为的图像过点的图像过点 所以所以 即即,3a解得

14、解得,31a于是于是.)(3xxf所以，所以，.1)3(,) 1 (, 1)0(13310fff三、三、 典例分析、巩固训练典例分析、巩固训练指数函数及其性质3、指数函数中有几个未知数，确定一个指数函数需要几个条件？、指数函数中有几个未知数，确定一个指数函数需要几个条件？答：只需一个答：只需一个。那确定一元一次函数、一元二次函数、反比例函数需要几个条件？那确定一元一次函数、一元二次函数、反比例函数需要几个条件？为什么？请从图像与代数两角度解释。为什么？请从图像与代数两角度解释。教训教训：学习要八方联系，浑然一体。学习要八方联系，浑然一体。指数函数及其性质2021/12/222.1.2指数函数及

15、其性质例7、比较下列各题中两个值的大小：(1) 1.72.5 , 1.73（2）0.8-0.1， 0.8-0.20.93.1(3) 1.70.3 ,构造函数法：要点是利用函数的单调性，数的特征是同底不同指(包括可以化为同底的)，若底数是参变量要注意分类讨论。搭桥比较法：用别的数如0或1做桥。数的特征是不同底不同指。指数函数及其性质2021/12/22指数函数及其性质2021/12/224、例、例7（1）用）用初中知识可以解答吗？用指数函数图像是不是初中知识可以解答吗？用指数函数图像是不是有点小题大做？杀鸡焉用宰牛刀。有点小题大做？杀鸡焉用宰牛刀。（2）有）有几种办法几种办法？（3）技巧）技巧模

16、型在现实生活中能找到吗？模型在现实生活中能找到吗？ 答：（答：（1）根据经验当）根据经验当a1时自己与自己相乘越乘越大。时自己与自己相乘越乘越大。 （2)三种方法。三种方法。 (3)房屋房屋介绍介绍所或媒婆即一个想娶一个想嫁。所或媒婆即一个想娶一个想嫁。比较指数形式的特殊具体数字型的大小要插入的一个生活经验比较指数形式的特殊具体数字型的大小要插入的一个生活经验当当a1时，自己与自己相乘越乘越大以至于无穷大。时，自己与自己相乘越乘越大以至于无穷大。当当0a1时，开方是越开越小以至于到接近于时，开方是越开越小以至于到接近于1当当0a1时，开方是越开越大以至于接近于时，开方是越开越大以至于接近于1.

17、 同学们在计算器上可以模拟实验，任选满足条件的数，在计同学们在计算器上可以模拟实验，任选满足条件的数，在计算器上不停的按键就可以验证。算器上不停的按键就可以验证。指数函数及其性质2021/12/222.1.2指数函数及其性质7 . 201. 15 . 301. 13 . 399. 05 . 49 . 9练习： 1. 用“”或“”填空：2. 已知下列不等式，比较 的大小nm, 1)4() 10()3(;2 . 02 . 0)2(;221aaaaaanmnmnmnmnm nm nm nm 指数函数及其性质2021/12/22人为什么不能造谣诽谤？人为什么不能造谣诽谤？ 这道题目很有意思，即可以锻炼

18、同学们的基础知识又可以教同这道题目很有意思，即可以锻炼同学们的基础知识又可以教同学们如何做人。乔布斯名言：你不要欺骗任何人，因为你骗到的都学们如何做人。乔布斯名言：你不要欺骗任何人，因为你骗到的都是曾经信任你的人。也就是人为什么不能造谣诽谤？这能不能从数是曾经信任你的人。也就是人为什么不能造谣诽谤？这能不能从数学上解释？学上解释？ 例子：某人听到一则谣言后一小时内传给两人，以后他再没有例子：某人听到一则谣言后一小时内传给两人，以后他再没有传给别人，而那两人同样在一小时内每人又分别传给另外两个人。传给别人，而那两人同样在一小时内每人又分别传给另外两个人。如此下去，一昼夜能不能传遍一个一千万人口的城市？如此下去，一昼夜能不能传遍一个一千万人口的城市？答：是可以的，答：是可以的，这就是谣言的魅力，人言可畏。这就是谣言的魅力，人言可畏。指数函数及其性质2021/12/222.1.2指数函数及其性质变式1：(1)已知0.3x0.37,求实数x的取值集合. (2)已知 5x0且a1),若f(x)g(x)，试确定x的取值范围。3124(3)(0,1)xxaaaa对af(x)ag(x)(a0且a1)当a1时，f(x)g(x)，当0a1时，f(x)1)_2值的和为3,则B3.函数f(x)=(a-1)x在R上是减函数，则a的取值范围（ ）A、0a1 B、1a2 指数函