平面向量的正交分解及坐标表示-课件

1、平面向量的正交分解及坐标表示-2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的正交分解及坐标表示把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解平面向量的正交分解及坐标表示-ABCDoxyij思考：思考：如图，在直角坐标系中，如图，在直角坐标系中，已知已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7).设设 ，填空：，填空：,OAi OBj （1）| |_,|_,|_;ijOC（2）若用）若用 来表示来表示 ，则：，则：, i j ,OC OD _,_.OCOD34ij 57ij 1153547（3）向量）向量 能否由能否由

2、 表示出来？可以的话，如何表示？表示出来？可以的话，如何表示？CD , i j 23CDij 平面向量的正交分解及坐标表示-ABCDoxyija平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示如图，如图， 是分别与是分别与x轴、轴、y轴方向相同轴方向相同的单位向量，若以的单位向量，若以 为基底，则为基底，则, i j , i j +aaijxyxy 对于该平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 、 ，可使 这里，我们把（这里，我们把（x,y）叫做向量）叫做向量 的（直角）坐标，记作的（直角）坐标，记作a( , )ax y其中，其中，x x叫做叫做 在在x x轴上的坐标，轴上的坐标，y y叫做叫做 在在y y

3、轴上的坐标，轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示。式叫做向量的坐标表示。aa平面向量的正交分解及坐标表示-OxyAijaxy +axiy j +OAxiy j 平面向量的正交分解及坐标表示-例例1.如图，分别用基底如图，分别用基底 ， 表示向量表示向量 、 、 、 ，并求出，并求出 它们的坐标。它们的坐标。ijabcd AA1A2解：如图可知解：如图可知1223aAAAAij (2,3)a同理同理23( 2,3);23( 2, 3);23(2, 3).bijcijdij 平面向量的正交分解及坐标表示-思考：思考：已知已知 ，你能得出，你能得出 的坐标吗？的坐标吗？1122(,),(,)ax ybx

4、y,ab aba 平面向量的坐标运算：平面向量的坐标运算： 两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）的和（差）12121212(,)(,)abxxyyabxxyy11(,)axy实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的坐标实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的坐标平面向量的正交分解及坐标表示-例例2.如图，已知如图，已知 ，求，求 的坐标。的坐标。1122( ,), (,)A x yB xyAB xyOBA解：解：ABOBOA 2211(,)( ,)xyx y2121(,)xx yy 一个向量的坐标等于表示此向量的

5、有向线段一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。的终点的坐标减去起点的坐标。平面向量的正交分解及坐标表示-例例3.已知已知 ，求，求 的坐标。的坐标。(2,1),( 3,4)ab ,34ab abab 平面向量的正交分解及坐标表示-例例,已知三个力已知三个力1F (3, 4), 2F(2, 5), 3F(x, y)的合力的合力1F+2F+3F=0求求3F的坐标。的坐标。解：由题设解：由题设1F+2F+3F=0 得：得：(3, 4)+ (2, 5)+(x, y)=(0, 0)即：即：054023yx 15yx 3F( 5,1)平面向量的正交分解及坐标表示- (2,3),

6、( 3,5),ABBA 例4、 1 已知求的坐标. (1, 2), (2,1),ABAB 2 已知求 的坐标. 解： BA 2,33,5 5, 2 .,解：设B x,y 1, 2,2,1 ,ABx y 1221xy 即31xy .即B 3,-1平面向量的正交分解及坐标表示-例例4.如图，已知如图，已知 的三个顶点的三个顶点A、B、C的坐标分别是的坐标分别是 （-2，1）、（）、（-1，3）、（）、（3，4），试求顶点），试求顶点D的坐标。的坐标。ABCDABCDxyO解法：设点解法：设点D的坐标为（的坐标为（x,y）( 1,3)( 2,1)(1,2)(3,4)( , )(3,4) ABDCx

7、yxyABDC 且 且(1,2)(3,4)xy1324 xy解得解得 x=2,y=2所以顶点所以顶点D的坐标为（的坐标为（2，2）平面向量的正交分解及坐标表示-例例4.如图，已知如图，已知 的三个顶点的三个顶点A、B、C的坐标分别是的坐标分别是 （-2，1）、（）、（-1，3）、（）、（3，4），试求顶点），试求顶点D的坐标。的坐标。ABCDABCDxyO解法解法2：由平行四边形法则可得：由平行四边形法则可得( 2( 1),1 3)(3( 1),43)(3, 1) BDBABC 而而( 1,3)(3, 1)(2,2) ODOBBD 所以顶点所以顶点D的坐标为（的坐标为（2，2）平面向量的正交分

8、解及坐标表示-课堂总结课堂总结: :1.1.向量的坐标的概念向量的坐标的概念: :2.2.对向量坐标表示的理解对向量坐标表示的理解: :3.3.平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算: :(1)(1)任一平面向量都有唯一的坐标任一平面向量都有唯一的坐标; ;(2)(2)向量的坐标与其起点、终点坐标的关系；向量的坐标与其起点、终点坐标的关系；(3)(3)相等的向量有相等的坐标相等的向量有相等的坐标. .1122( ,),(,),ax ybxy(1)若则1212(,),abxxyy1212(,),abxxyy11(,)axy1122( ,), (,),A x yB xy( 2) 若2121(,)AB

9、xx yy ( , )axiy jx y4.4.能初步运用向量解决平面几何问题能初步运用向量解决平面几何问题: :“向量向量”的思想的思想平面向量的正交分解及坐标表示-11221212112211221212112212120AaaeeBeeCaaeeDeee e .对平面内的任一向量 ，使 的实数、有无数对 .对实数、，不一定在平面内 .空间任一向量 可以表示为， 这里、是实数 .若实数、使则练习.如果 、 是平面内所有向量的一组基底， 下面命题正确的是（ ）,0D平面向量的正交分解及坐标表示-_,_3,2312100.3_,),(),2 , 5(.2_),2 , 3(,21)43, 3.1/222的坐标为向量的坐标为点的坐标为则点），且，（），（），（若点则且已知向量则），（其中相