第3章 机电系统建模(机械系统)

1、机电传动系统建模方法2.1 2.1 机电传动系统概述机电传动系统概述 机电传动系统的一般结构和功能机电传动系统的一般结构和功能 机电传动系统建模中应着重反映传动类型、传机电传动系统建模中应着重反映传动类型、传动方式、传动精度、动态特性及传动可靠性等动方式、传动精度、动态特性及传动可靠性等对伺服系统的精度、稳定性和快速性的影响。对伺服系统的精度、稳定性和快速性的影响。机电传动系统建模方法2.2 机构的数学建模2.2.1 机构的运动学建模1.基于闭环矢量法的系统运动学模型：连杆机构 定义各个杆件矢量R1, R2, R3, . 闭环矢量方程 ，正交分解 被动杆件的速度方程 被动杆件的加速度方程第3章

2、 机电传动系统建模方法机构的数学建模 0Ri0Rzyxi,0Rzyxit,dddrivedrivepassive,passiveDCdrivedrivepassive,passiveddddDCttdrivepassive,1passiveBA举例：定义连杆矢量闭环矢量方程 R2+R3=R1+R4矢量投影方程 r2c2+r3c3=r1c1+r4c4， r2s2+r3s3=r1s1+r4s4速度方程 C=D第3章 机电传动系统建模方法机构的数学建模334432 22334442 22ssscccrrrrrr 加速度方程 A=B 仿真算法第3章 机电传动系统建模方法机构的数学建模334433344

3、42222 222 223 334 442222 222 223 334 44ssccsccccsssrrrrrrrrrrrr第3章 机电传动系统建模方法机构的数学建模2.D-H法建立运动学模型： 对多体系统的每一刚体建立固连坐对多体系统的每一刚体建立固连坐标系；标系； 应用坐标变换原理推导机构应用坐标变换原理推导机构“末端末端坐标系坐标系”相对于相对于“参考坐标系参考坐标系”的等价齐的等价齐次变换矩阵。次变换矩阵。第3章 机电传动系统建模方法机构的数学建模坐标变换 设Pxyz=px, py, pzT Puvw=pu, pv, pwT 矢量表示法： Puvw=puiu+pvjv+pwkw 当O

4、uvw绕任意轴旋转后， px=ixPuvw=puixiu+pvixjv+pwixkw py=jyPuvw=pujyiu+pvjyjv+pwjykw pz=kzPuvw=pukziu+pvkzjv+pwkzkw第3章 机电传动系统建模方法机构的数学建模方向余弦矩阵 R为正交矩阵RT= R1wvuwvuwzvzuzwyvyuywxvxuxzyxpppppppppRkkjkikkjjjijkijiiixyzuvwPRP1uvwxyzPR P刚体的连续转动及其合成刚体的连续转动及其合成特殊情形：特殊情形： 对对x轴的转动轴的转动 对对y轴的转动轴的转动 对对z轴的转动轴的转动1000cossin0si

5、ncoscos0sin010sin0coscossin0sincos0001第3章 机电传动系统建模方法机构的数学建模称为基本旋转矩阵。如果称为基本旋转矩阵。如果Ouvw坐标系绕坐标系绕Oxyz坐标系的一个坐标轴转动则可对旋转矩阵左乘坐标系的一个坐标轴转动则可对旋转矩阵左乘相应的基本旋转矩阵；如果相应的基本旋转矩阵；如果Ouvw坐标系绕自坐标系绕自己的坐标轴旋转，则可对旋转矩阵右乘相应的己的坐标轴旋转，则可对旋转矩阵右乘相应的基本旋转矩阵。基本旋转矩阵。,zyxRRRR当当Ouvw坐标系绕坐标系绕Oxyz坐标系顺序绕坐标系顺序绕Ox轴旋转轴旋转角，绕角，绕Oy轴旋转轴旋转角，绕角，绕Oz轴旋转

6、轴旋转角时，角时，旋转变换矩阵为旋转变换矩阵为当当Ouvw坐标系绕自己的坐标系顺序坐标系绕自己的坐标系顺序绕绕Ou轴旋转轴旋转角，角，绕绕Ov轴旋转轴旋转角，绕角，绕Ow轴旋转轴旋转角时，旋转变换矩角时，旋转变换矩阵为阵为,TTzyxuvwRRRRRRR以欧拉角表示的旋转矩阵以欧拉角表示的旋转矩阵 欧拉角方式I：绕Oz旋转角绕转动后的Ou轴转动角绕转动后的Ow轴转动角 第3章 机电传动系统建模方法机构的数学建模欧拉角方式欧拉角方式II：绕：绕Oz旋转旋转 角角绕转动后的绕转动后的Ov轴转动轴转动角角绕转动后的绕转动后的Ow轴转动轴转动角角 欧拉角方式欧拉角方式III：绕：绕Ox旋转旋转角（偏转

7、）角（偏转）绕绕Oy轴转动轴转动角（俯仰）角（俯仰）绕绕Oz轴转动轴转动 角角（侧倾）（侧倾）第3章 机电传动系统建模方法机构的数学建模1311333OPRT1000100010001zyxdddT齐次坐标和变换矩阵齐次坐标和变换矩阵 齐次坐标P=wpx, wpy, wpz, wT 齐次变换矩阵 齐次平移矩阵举例：两关节机器人，平面运动问题O0 x0y0z0绕O0z0轴旋转q1O1x1y1z1沿O1x1轴平移l1O1x1y1z1绕O1z1轴旋转q2 O2x2y2z2沿O2x2 轴平移l2O2x2y2z2 0T1=Rz, q1Tx, l1，1T2=Rz, q2Tx, l2，T=0T11T2末端齐

8、次坐标（在O2x2y2z2）P2=0 0 0 1变换至O0 x0y0z0P0=TP2第3章 机电传动系统建模方法机构的数学建模2.2.2 典型传动机构的动力学模型1.定轴传动机构的模型第3章 机电传动系统建模方法机构的数学建模 001212T tBttT sBsss& 0002T tJtT sJss& & 1212M tKttsKss正问题正问题逆问题逆问题2.齿轮传动机构的模型（1）：刚性传动轴情况1 11 112 22 2021221211 12 2iJBMMJBMMnMM & & & &1e 11e 10eiJBMM& &a

9、mp;21e1122JJn J21e1122BBn B0e120Mn M第3章 机电传动系统建模方法机构的数学建模齿轮传动机构的模型（2）：弹性传动轴情况1 11122212123 323434424323323223,iJMKJKMJKMJKMMzzn & & & & & &2232121Jn JK& &2422n Kn2244422n Jn Knn& &第3章 机电传动系统建模方法机构的数学建模 齿轮传动机构的模型小结：齿轮传动机构的模型小结： （1）从动轴上的转动惯量）从动轴上的转动惯量J等效到主动轴上等效到

10、主动轴上时，时，Je=n2J，n为由主动轴到从动轴的传动比。为由主动轴到从动轴的传动比。 （2）类似地，对于从动轴上的刚度）类似地，对于从动轴上的刚度K、阻尼、阻尼B，等效到主动轴上时，等效到主动轴上时， Ke=n2K， Be=n2B。 （3）从动轴上的力矩）从动轴上的力矩M等效到主动轴上为等效到主动轴上为nM。 （4）从动轴上的转角）从动轴上的转角 折算到主动轴上为折算到主动轴上为 /n。 （5）主动轴向从动轴的转换也成立。）主动轴向从动轴的转换也成立。第3章 机电传动系统建模方法机构的数学建模 备注：齿轮传动系统的模型结构简化的一些前提假设 （1）齿轮具有理想的齿廓几何形状。 （2）齿轮的

11、材质是均匀的，在啮合过程中啮合刚度为常数。 （3）齿轮啮合过程无功率消耗。 （4）齿轮传动过程是平稳的，无脱啮现象。第3章 机电传动系统建模方法机构的数学建模第3章 机电传动系统建模方法机构的数学建模3.丝杠螺母传动机构的模型 惯性负载的等效转换：转换前后系统所具有的动能不变。 Je=mL(L0/2)2 2iieie2ddddttJT tBtt iieeT sss J sB 备注：其它物理量的等效转换 力（矩）负载的等效转换：转换前后力（矩）负载对系统的作功（功率）不变。 等效刚度：转换前后弹簧的变形能相等。 等效阻尼：转换前后阻尼的耗能功率相等。第3章 机电传动系统建模方法机构的数学建模第3

12、章 机电传动系统建模方法机构的数学建模4.同步齿形带传动机构的模型主动轮半径：ri从动轮半径：rL齿形带弹性变形：l= riirLL 对主动轮和从动轮分别列写微分方程，并化简。2002( )()()iimidddJM tBKdtdtdt20002()()iLidddJBKdtdtdt 对输入轴列方程对输入轴列方程: 对输出轴列方程对输出轴列方程: 200( )()( )( )LiJ ssBsKss20( )( )()( )( )miiJ ssM sBsKss拉拉氏氏变变换换 022( )( )()()mLmLmLsBsKJ JM sJJssBsKJJ2.2.3 2.2.3 系统的动力学模型系统

13、的动力学模型1.拉格朗日法 拉格朗日方程T质点系动能，qj广义坐标，Qj广义力 或L拉格朗日函数，L=KP；K、P质点系动能和势能；广义力Fj中不含有势力第3章 机电传动系统建模方法机构的数学建模d1,2,.,djjjLLFjftqq&d1,2,.,djjjLLQjftqq&举例：二关节机械手举例：二关节机械手 选取广义坐标，建立坐标系选取广义坐标，建立坐标系 计算系统动能和势能计算系统动能和势能 求出拉格朗日函数及其偏导数求出拉格朗日函数及其偏导数 求广义力求广义力 代入拉格朗日方程代入拉格朗日方程第3章 机电传动系统建模方法机构的数学建模 二关节机械手如图所示，二关节机械手

14、如图所示，T1和和T2为关节驱动为关节驱动力矩，力矩，m1和和m2分别为连杆的质量，且以连杆分别为连杆的质量，且以连杆末端的点质量表示；末端的点质量表示；d1和和d2分别为两杆的长分别为两杆的长度，度，1和和2分别为两杆的广义坐标，分别为两杆的广义坐标，g为重力为重力加速度。用拉格朗日法建立该机械手的动力加速度。用拉格朗日法建立该机械手的动力学模型。学模型。计算连杆计算连杆1 1的动能的动能K K1 1和势能和势能P P1 122211 11111111111122cosKmvm dPm gym gd &计算连杆计算连杆2 2的动能的动能K K2 2和势能和势能P P2 2222222

15、2,21gymPvmK222222211212211212211 121212211 121212sinsin()coscos()coscos()()sinsin()()vxyxddyddxddydd &式中式中求得求得1222222212212212211211()cos()22Km dm dm d d & &)cos(cos21221122gdmgdmP以及以及yx1T2T21),(11yx1m1d2d2m),(22yxg二连杆机械手122222222121122122112(2)2cos()vddd d & & &2222221212112

16、12212211211()()cos()22KKKmm dm dm d d & &)cos(cos)(2122112121gdmgdmmPPP求得二连杆机械手系统的总动能和总势能分别为：求得二连杆机械手系统的总动能和总势能分别为：121122121221221122212222212112212222122 1212221222212222122 12()sinsin()sin()sin()()2coscoscosLmm gdm gdLm d dm gdLmm dm dm dm d dm d dLm dm dm d d & &拉格朗日函数拉格朗日函数L L对对L

17、 L求偏导和导数求偏导和导数22221211221211()()22LKPmm dm d&2212211212112212cos()()coscos()m d dmm gdm gd & &2212122212211222212222122 12122 122()2coscossindLmm dm dm d ddtdLm dm dm d dm d ddt & & & & & &2222212222122 1221222(cos)2sinsinm dm d dm d dm d d & & &111222

18、12122212212221222()2cos(cos)dLLTdtmm dm dm d dm dm d d & & &22122 1221222121122122sinsin()sinsin()m d dm d dmm gdm gd & &222222122122222(cos)dLLTm dm d dm ddt & & &22122 12212sinsin()m d dm gd &把相应的偏导和导数代入拉格朗日方程，可求得力矩把相应的偏导和导数代入拉格朗日方程，可求得力矩T T1 1和和T T2 2的动力学表达式的动力

19、学表达式22111 1122111 11222112 121212 1122221 1222211 12222212 122212 12TDDDDDDDTDDDDDDD & & & & & & & & &力矩力矩T T1 1和和T T2 2的动力学表达式的一般形式和矩阵表达式为：的动力学表达式的一般形式和矩阵表达式为：1111211112211212111112221222112222122212222 1TDDDDDDDTDDDDDDD & & & & &D Diiii关节关节i

20、i的有效惯量：关节的有效惯量：关节i i的加速度的加速度 将在关节将在关节i i上产生上产生 的惯性力；的惯性力；D Dijij关节关节i i和和j j的耦合惯量：关节的耦合惯量：关节i i和和j j的加速度的加速度 和和 将在关节将在关节j j和和i i上分别产上分别产 生一个等于生一个等于 和和 的惯性力；的惯性力； 关节关节j j的速度作用在关节的速度作用在关节i i上产生的向心力；上产生的向心力；ijjjD &i& &iiiD& &i& &j& &ijiD& &ijjD& &ijkj

21、kikjkjD D & & &关节关节j j和和k k的速度的速度 和和 引起的作用在关节引起的作用在关节i i的哥氏力；的哥氏力；j&k&D Di i关节关节i i处的重力。处的重力。本系统中各系数如下：本系统中各系数如下：有效惯量有效惯量221222212cosddmdmD)sin()sin(sin)(21222212211211gdmDgdmgdmmD222222212222212111cos2)(dmDddmdmdmmD耦合惯耦合惯量量向心加速度向心加速度系数系数0sinsin022222122112212122111DddmDddmDD哥氏加速

22、度哥氏加速度系数系数0sin2212122212121112DDddmDD重力项重力项3.联立约束法建立动力学模型联立约束法建立动力学模型 根据牛顿定律列出每个连接杆件（运动部件）的力（力矩）平衡方程，同时将系统约束方程一起联立，建立约束矩阵方程。通过求解约束矩阵方程不仅可求出各构件动力-运动关系，还可同时解出各构件间的约束反力。第3章 机电传动系统建模方法机构的数学建模应用举例 力平衡方程 约束方程 约束矩阵方程第3章 机电传动系统建模方法机构的数学建模2.3 面向实体的机构建模2.3.1 基于ADAMS的机械系统建模2.3.2 基于MATLAB的机构建模第3章 机电传动系统建模方法机构的数学建模3.4 试验建模3.4.1 辨识的基本概念 试验建模或系统辨识：根据系统的输入输出数据建立系统数学模型。确定数学模 型结构和估计数学模型参数。 离线辨识与在线辨识。 试验建模的方法：频率响 应法、脉冲试验法、随机 信号试验法第3章 机电传动系统建模方法机构的数学建模第3章 机电传动系统建模方法机构的数学建模3.4.3 频率响应法 线性系统的频率保持性及频响特性 频响函数的测量 依赖于幅值的非 线性问题 不能直接模拟 大多数系统的 工作状态第3章 机