2020年中考复习《二次函数》综合测试题及答案(三)

1、精品资料中考复习二次函数综合测试题及答案一、与线段、周长有关的问题1 .如图，抛物线y=x2+bx+c过点A (3, 0), B (1, 0),交y轴于点C,点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动(点P不与点A重合)，过点P作PD / y轴交直线AC于点D.(1)求抛物线的解析式；(2)求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；(3)在抛物线对称轴上是否存在点M,使|MA-MC|的值最大？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.第1题图备用图2 . (2015珠海)如图，折叠矩形 OABC的一边BC,使点C落在OA边的点D处，已知折痕BE=505,且ODJ.以。为原点，O

2、A所在的OE 3直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线l：y= -X2+1X+C 162经过点E,且与AB边相交于点F.(1)求证： ABDsA ODE；(2)若M是BE的中点，连接 MF,求证：MFXBD;(3) P是线段BC上一动点，点Q在抛物线l上，且始终满足PD ±DQ,在点P运动过程中，能否使得PD=DQ?若能，求出所有符合 条件的Q点坐标；若不能，请说明理由.第2题图3. （2015孝感改编）在平面直角坐标系中，抛物线y= -：x2+bx+c 与x轴交于点A, B,与y轴交于点C,直线y=x+4经过A, C两点.（1）求抛物线的解析式；（2）在AC上方的抛物线上有

3、一动点 P.如图，过点P作y轴的平行线交AC于点D,当线段PD 取得最大值时，求出点P的坐标；如图，过点 O, P的直线 y=kx交AC于点E,若PE : OE=3 : 8,求 k 的值.图图第3题图4. （2015天水）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c（b、 2c为常数）的顶点为P,等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0,-1）,点C的坐标为（4, 3）,直角顶点B在第四象限.（1）如图，若抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式；（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在AC上并沿AC方向滑动距离为22时，试证明：平移后的抛物线与直线 AC交于x轴上的同一 ; ;、;(3)在(

4、2)的情况下，若沿AC方向任意滑动时，设抛物线与直线AC的另一交点为Q,取BC的中点N,试探究NP+BQ是否存在最 小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由 .第4题图5 .如图，抛物线y= -；x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于 点 C,且 OA=2,OC=3.(1)求抛物线的解析式；(2)作RtAOBC的高OD,延长OD与抛物线在第一象限内交于点E,求点E的坐标；(3)在抛物线的对称轴上，是否存在一点 Q,使得4BEQ的周 长最小？若存在，求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由.第5题图6 .如图，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC的边OA在y轴的正半轴上，O

5、C在x轴的正半轴上，AB / OC,OA=AB=2,OC=3,过点B作BDLBC,交OA于点D,将/ DBC绕点B顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E、F.(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；(2)当BE经过(1)中抛物线的顶点时，求 CF的长；(3)在抛物线的对称轴上取两点 P、Q (点Q在点P的上方)，且PQ=1,要使四边形BCPQ的周长最小，求出P、Q两点的坐标.第6题图【答案】1.解:(1) .抛物线 y=x2+bx+c过点 A (3, 0), B (1, 0),.9 3b c 0 1 b c 0 '解得-43抛物线的解析式为y=x2-4x+3

6、. 令x=0，则y=3, 二点 C (0, 3),又点 A(3,0), 直线AC的解析式为y= -x+3,设点 P (x,x2-4x+3),.PD/y轴,且点D在AC上,.点 D(x,-x+3),PD=(-x+3)-(x2-4x+3)=-x2+3x=-(x2)2+9,< a=-1<0,当x=3时，线段PD的长度有最大值，最大值为9. 24(3)存在.由抛物线的对称性可知，对称轴垂直平分AB,可得：MA=MB,由三角形的三边关系，I MA-MC | <BC,可得：当M、B、C三点共线时,( MA-MC |最大，即为BC的长度, 设直线BC的解析式为y=kx+b(k? 0)由B、

7、C两点的坐标分别为(1, 0)、(0,3),则，b 3解得k 3, b 3直线BC的解析式为y= -3x+3,:抛物线y=x2-4x+3的对称轴为直线x=2,当 x=2 时，y=-3>2+3= 3,.点 M (2, 3),即抛物线对称轴上存在点 M (2, 3),使| MA-MC |最大.2. (1)证明：由折叠知/ ADB=90°-/ODE=/OED, ./ EOD = / DAB=90 ,/. RtA ABDRtAODE.(2)证明：设 OE= 3k,则 OD = 4k, CE=DE = 5k, AB = OC=8k,由 RtAABD RtAODE 可得 AD = 6k,则

8、 OA= BC= BD= 10k,于是 BE= J(5k)2 (10k)2 =5 套，解得 k= 1,:抛物线y=-x2+1x+c经过点E (0, 3), 162c= 3,将点A的横坐标x= 10代入y=-2x2+1x+3 162得到点F的坐标为(10, 7),4DF = y' AD2 AF 2 = 662 (2 2 = 44725vBF = AB-FA=8-7=25, 44 .DF = BF,又/ BDE=90 , M是BE的中点， 2题解图 .MB=MD,MF是线段BD的中垂线,/. MFXBD.(3)解:能.如解图，令y=0,求得抛物线与x轴交点坐标为H (-4,0),G (12

9、, 0),当PDx轴时，由于PD=8,DG=DH = 8,故点Q的坐标为(-4, 0)或(12, 0)时，zPDQ是以D为直角顶点的等腰直角三角形；当PD不垂直x轴时，分别过P, Q作x轴的垂线，垂足分别为N, I,则Q不与G重合，从而I不与G重合，即DI丰8,VPDXDQ, ./ QDI=90 -/PDN = / DPN,/. RtA PDNRtADQI,PN=8, PN 创 RtA PDN 与 RtADQI 不全等, .PD也Q,另一侧同理可得PD七Q.综上，所有满足题设的点 Q的坐标为(-4, 0)和(12, 0)-8-4b c 0c 43.解:(1)对于直线 y=x+4，令 x=0,得

10、 y=4,令 y=0,得 x=-4,则A(-4,0),C(0,4),代入抛物线解析式得 解得；I, 抛物线的解析式为y= -1x2-x+4.2 抛物线的解析式为y= -x2-x+4,.点 P(x, -1x2-x+4),2.PD/y轴，直线AC的解析式为y=x+4, D (x,x+4), .P点在AC的上方， PD= -1x2-x+4-(x+4)= -1 (x+2) 2+2, 22-2>-4,当x=-2时，线段PD取得最大值，将 x=-2 代入 y= -1 x2-x+4 中得 y=4,线段PD取得最大值时，点P的坐标为(-2,4)过点P作PF / OC交AC于点F,如解图. PF / OC

11、, PEFA OEC,.PE PF.OE OC又fI = 3,QC=4,. PF=-. OE 82.,由 得 PF= (-1x2-x+4) -(x+4)= 3化简得：x2+4x+3=0，解得 xi= -1,X2= -3.当 x= -1 时，y=9;当 x= -3 时，y=-. 22即满足条件的P点坐标是(-1, 9)或(-3,22).又二点P在直线y=kx上, . k= -9或 k= -5.26题解图4.(1)解:设AC与x轴的交点为M, 等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0,-1),C的坐标为(4,3), 直线AC的解析式为y=x-1 , 直线AC与x轴的交点M(1, 0).OM=OA,

12、 /CAO=45 . CAB是等腰直角三角形，. / ACB=45 ,.BC/7 y 轴, 又/ OMA=45 ./ OAB = 90 , .AB/x 轴， 点B的坐标为(4, -1).;抛物线过A(0, -1), B(4, -1)两点，将两点代入抛物线的解析式中，c -1得1，解得b ,-16 4b c -1 c -12抛物线的解析式为y=x2+2x-1.2(2)证明：抛物线 y= -2x2+2x-1= -2(x2-4x)-1 = 2 (x 2)2+1,顶点P的坐标为(2, 1),:抛物线y= -1(x-2)2+1顶点P平移到直线AC上并沿AC方向移动 2的距离为V2 ,其实是先向右平移1个

13、单位长度，再向上平移1个单位长度， 平移后的二次函数的解析式为 y= -；(x-3)2+2,.当 y=0 时，有 0= -1(x-3)2+2,解得 X1 = 1, X2=5, . y = -1 (x-3)2+2 过点(1, 0)和(5,0), 直线AC的解析式为y=x-1 , 直线AC与x轴的交点坐标为(1, 0), 平移后的抛物线与直线 AC交于x轴上的同一点.(3)解：如解图，NP+BQ存在最小值，最小值为2V5 .理由：取AB的 中点F,连接FN, FQ,作B点关于直线AC的对称点B；设平移后 的抛物线的顶点为P' .连接 BB； BQ,BQ,则 BQ=B'Q,1:抛物线

14、 y= -1(x-2)2+1 的顶点 P(2, 1), A(0,-1), = PA= (2-0)L(1-1)2 =2 2, 抛物线沿AC方向任意滑动时，PQ=2V2 , . A(0, -1), B(4, -1), .AB 中点 F(2, -1), . B(4, -1), C(4, 3), .N(4, 1),FN=,BF2 bn2 =2 2, .FN = P'Q, 在AABC中，F、N分别为 AB、BC的中点,题解图 .FN/ p'q, 四边形pnfq是平行四边形， .NP' FQ, .NP' BQ=FQ+BQ本B'，2 42 =2寸. .当B'、

15、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为2瓜5 .解：(1) v OA=2, 点A的坐标为(-2, 0).; OC=3, 点C的坐标为(0, 3).把 A (-2, 0), C (0, 3)分别代入抛物线 y= -1x2+bx+c,-2-2b cc解得b ；2,.抛物线的解析式为y=-1x2+1x+3. 22(2)把 y=0 代入 y= -1x2+1x+3,解得 Xi=3,X2=-2, 点B的坐标为(3, 0),OB=OC=3,VODXBC, OE所在的直线为y=x.y2X 3,解方程组y解得 x12x2 -3y1 2, y2 = -3 点E在第一象限内,5题解图.点E的坐标为(2, 2)(

16、3)存在，QA、QB、QE、BE如解图，设Q是抛物线对称轴上的一点，连接; QA=QB, .BEQ 的周长=BE+QA+QE,. BE为定值，且 QA+QE决E, 当A、Q、E三点在同一直线上时，zBEQ的周长最小,由A(-2,0)、E(2, 2)可得直线AE的解析式为y=gx+1,由(2)易得抛物线的对称轴为x=1,2 点Q的坐标为(2,：), 在抛物线的对称轴上，存在点Q (1, 5),使得4BEQ的周长最24小.6 .解：(1)由题意得 A(0, 2)、B(2, 2)、C(3, 0).设经过A,B,C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+2(a#0),将点B、C分别代入得4a9a2b

17、2 23b 2 02-343a解得b抛物线的解析式为y= - -x2+ 4x+2. 332 2 42j 8(2) . y= -x2+ -x+2= - x 1 +, 3333设抛物线的顶点为G,则顶点G的坐标为(1, 8 ), 3过G作GHLAB,垂足为H,如解图,贝U AH = BH=1,GH=8-2=-, 33v EA±AB,GH±AB,.EA/ GH,.GH是ABEA的中位线，.EA=2GH = 4.3过B作BMOC,垂足为M,如解图，则MB=OA=AB.第6题解图第6题解图/ EBF=/ABM=90 ,. / EBA=/ FBM=90 -/ ABF./. RtA EB

18、ARtAFBM. .FM = EA=4. 3 .CM=OC-OM=3-2=1, .CF=FM+CM = 7.3（3）如解图，要使四边形BCPQ的周长最小，将B点向下平移一个单 位至点K,取C点关于对称轴对称的点 M,连接KM交对称轴于P,将P向上平移1个单位至Q,此时M、P、K三点共线可使KP+PM最短，则QPKB为平行四边形，QB=PK,连 接CP,根据轴对称求出 CP=MP,则CP+BQ最小，CB, QP为定 值，.四边形BCPQ周长最短. 将点C向上平移一个单位，坐标为（3, 1）,再作其关于对称轴对 称的对称点Ci, 得点Ci的坐标为（-1,1）.可求出直线BC1的解析式为y=-x+4

19、.33直线y= lx+4与对称轴x=1的交点即为点Q,坐标为（1, 5）.333.点P的坐标为(1, 2).3综上所述，满足条件的P、Q两点的坐标分别为(1, 2)、(1,刍). 33二、与面积有关的问题1. (2015桂林)如图，已知抛物线y=x (2015海南)如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A (-3, 0)、B(1,0),与y轴相交于点C,点G是二次函数图象的+bx+c与坐标轴分别交于2点A(0, 8)、B(8, 0)和点E,动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1 个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长 度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原

20、点O时，点C、D 停止运动.(1)求抛物线的解析式；(2)求4CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式：当t为何值 时，ACED的面积最大？最大面积是多少？(3)当4CED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P(点E除外)，使 PCD的面积等于4CED的最大面积，若存在，求出 P点的坐标； 若不存在，请说明理由.第1题图顶点，直线GC交x轴于点H(3,0), AD平行GC交y轴于点D.(1)求该二次函数的表达式；(2)求证：四边形 ACHD是正方形；(3)如图，点M(t,p)是该二次函数图象上的动点，并且点 M在第 二象限内，过点M的直线y=kx交二次函数的图象于另一点 N.若四边形ADCM的

21、面积为S,请求出S关于t的函数表达式，并写 出t的取值范围；若4CMN的面积等于21 ,请求出此时中S的值.4第2题图图3. (2015深圳)如图，关于x的二次函数y= -x2+bx+c经过点A(-3,0), 点C(0, 3),点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在 x轴上.(1)求抛物线的解析式；(2)DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在，求出点P；若不存在,请说明理由；(3)如图，DE的左侧抛物线上是否存在点F,使2Safbc=3Saebc?若存在，求出点F的坐标;若不存在，请说明理由.|-2-；-2图图第3题图4. (2015武威)如图，在平面直角坐标系中

22、，抛物线经过点A (0,4), B (1, 0), C (5, 0),其对称轴与x轴相交于点M.(1)求此抛物线的解析式和对称轴；(2)在此抛物线的对称轴上是否存在一点 巳使 PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)连接AC,在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点N,使4NAC 的面积最大？若存在，请求出点 N的坐标；若不存在，请说明理由.第4题图【答案】1.解：(1)将点 A(0, 8)、B(8, 0)代入抛物线 y= -，x2+bx+c,c8b3得i，解得b3,-64 8b c0c82抛物线的解析式为y= - lx2+3x+8.2点 A(0,8)、B(8,

23、0), .OA=8,OB=8,令 y=0,得-1x2+3x+8=0,解得:Xi=8,X2=-2, 点E在x轴的负半轴上, .点 E(-2, 0), /.OE=2,根据题意得：当D点运动t秒时，BD=t,OC=t,OD=8-t,、1 9(10-t) t= -”+5t,.DE=OE+OD=10-t,. ScedDE OC=1即 S=t2+5t=-l (t-5)2+丝,22、,2二当 t=5 时，S>ACED 最大=-2(3)存在.由(2)知：当t=5时, S>A CED 最大=g当 t=5 时,OC=5,OD=3, . C(0,5),D(3,0),由勾股定理得CD= 34,设直线CD的

24、解析式为：y=kx+b (k#Q ,将C(0,5),D(3,0),代入上式得：b 5 .一 k _5b 5 解得k 3,直线CD的解析式为3k b °, b 55 广 =- 3x+5,过E点作EF/CD,交抛物线于点Pi4USaced=s,S CpiD1题解图如解图，设直线EF的解析式为y= -5x+m,3将 E(-2, 0)代入得：m= -10,直线EF的解析式为y= -5x-”，33将y= - %-"与y= -1 x2+3x+8联立成方程组得:332510y = - x-33y = -1x2+3x + 82解得X1 -2（与E点重合，舍去）X2y2343200-9Pi(

25、34 -竺0)；I 3 ,9 h过点E作EGXCD,垂足为G,当 t=5 时, Sa ecd =1CD EG=25,CD = V34,22.Eg=25乌34过点D作DNLCD,垂足为N,且使DN=25三34,过点N作NMx轴,34垂足为M,可得EGDsDMN,25 口篙嗤，即工，3425一一解得:DM/.OM啜由勾股定理得：MN= . DN2-DM2（25 鲁）2-（詈）2J,.N严马 34 34过点N作NP2 / CD,与抛物线交于点P2, P3（与B点重合），则S'CED= SCP2D，S'CED=SCP3D，设直线 NP2 的解析式为 y= -|x+n.将N(227 75

26、34 34.代入上式得n=40,，直线NP2的解析式为y= -|x+40,将y=-5x+40与丫= -贤泊奸8联立成方程组得:5-x31 2 x24033x，解得x18y1X2y243100 ,9下心啜或P3（8,0）,34 200综上所述，当4CED的面积最大时，在抛物线上存在点P（点E除外）, 使APCD的面积等于ACED的最大面积，点P的坐标为：（丝,- 或（4，等）或（8,。）.2.(1)解：二次函数 y=ax2+bx+3 过点 A(-3, 0)、B(1, 0),"3300” 解得 b ； 二次函数的表达式为y=-x2-2x+3.（2）证明：由（1）知二次函数的表达式为y=-

27、x2-2x+3,令 x=0,则 y=3, 点C的坐标为(0, 3), .OC=3,又点A、H的坐标分别为(-3,0)、(3,0), . OA=OH=OC=3, . /OCH=/OHC,. AD/GC,公卜,./OCH = /ODA,/OHC=/OAD, ./ OAD = / ODA, . OA=OD=OC=OH=3,又 AH LCD,四边形ACHD为正方形.(3)解：S四边形adcm=S四边形aocm+Saod,第2题解图由(2)知 OA=OD=3,. SA AOD =1刈刈=9, 22二点M(t,p)是直线y=kx与抛物线y= -x2-2x+3在第二象限内的交点， 点 M 的坐标为(t,-t

28、2-2t+3),如解图，作MKx轴于点K,ME，y轴于点E,则MK=-t2-2t+3,ME=t =-t, 二 S 四边形 aocm =Saaom+Samoc 1 c1=1 刈(-t2-2t+3)+ 2 M(-t),即 SSAOCM= 3-9t+9, 222S四边形ADCM =S 四边形 aocm+Saod=- 31即 t=-(2 k)(2 k)2-4 1 (-3) ti-t= . (2 k)? 12 = ,.7是(2+k)2+12的算术平方根， .(2+k)2+12=49，解得 k1=-3,k2=-, 22 又(k+2)2+12恒大于0,且k< 0, .k1=-3,k2=-5都符合条件.

29、-1+ 9 + 9 = -12-91+9,222 222 . S= - t2- -1+9,-3< t< 0. 22设点N的坐标为(ip),过点N作NFy轴于点F,NF= t1，又由知ME二 |t | ,则 S>A CMN = S>A COM +Sa CON=2 OC ( 11又点 M(t,p)、N(t1,p1)分别在第二、3 一 一 t< 0, L > 0, . Sacmn= (tt),即 3 (t1-t)=©，. .t1-t=7 *.242由直线y=kx交二次函数的图象于点ti),四象限内,M、N 得:y kxy -x2 -2x，则 x2+(2+

30、k)x-3=0, 3t1=-(2 k) (2 k)2-4 1 (-3)-(2 k) .(2 k)2-4 1 (-3) 解得Xi=-2,X2=2 (不符合题意，舍去)； (ii)若 k= -2,有 x2+(2-2)x-3=0,解得X3=-2 ,X4=2(不符合题意，舍去)，.t= -2 或-3,2当 t= -2 时,S=12;当 t=-3时,S=99, 28飞的值是12或33.解:(1)将 A(-3, 0), C(0, 3)代入 y=-x2+bx+c,c 3-9-3bc 0,解得c-23抛物线的解析式为y= -x2-2x+3.(2存在，由(1)知抛物线的解析式可化为顶点式y=-(x+1)2+4,

31、则 D(-1, 4),当P在/ DAB的平分线上时，如解图，作 PMXAD,设 P(-1, y。)，vsinZADE=E = 2 =_5, PE=y0, AD 2 55贝U PM=PD sin/ADE= (4-y。)， .PM=PE,第3题解图(4-yo)=yo,解得 yo= 5-1.当P在/ DAB的外角平分线上时，如解图，作PNLAD,设P(-1, y。),PE=-yo,则 PN=PD sin/ADE=e (4-y0),PN=PE,5 (4-yo)=-yo,角牛彳可 yo=- v 5 -1.53题解图.存在满足条件的点P,且点P的坐标为(-1,75-1)或(-1,-痣-1).存在.- S&

32、gt;a ebc=3,2S>a fbc =3SJaEBC,一 S>A FBC= _ S EBC =刈=一, 222过点F作FHx轴，交BC的延长线于点Q,如解图, 连接BF,设BF交y轴于点M,易得BMCszBFQ,OB _ CMOB OH QFOB QF即 CM = ,OB OH Sfbc= -CM OB+-CM OH=-OB QF. 222一 1 一一 1 一 9 S>A FBC= 2FQ OB=1FQ=9,FQ=9.BC的解析式为y=-3x+3,设 F'-Wo-Zxo+R，则 Q 点的坐标为(xo,-3xo+3), QF=-3xo+3+X02+2xct3=9,解

33、得刈=上亘或37 (舍去)，22.满足条件的点F的坐标是(上亘，公75).第322题解图4.解:(1) ;抛物线过点A (0, 4)、B (1, 0)、C (5, 0),设过A、B、C三点的抛物线的解析式为 尸a(x-1) (x-5)(a#0)将点 A (0, 4)代入 y=a(x-1)(x-5),得 a=4, 5此抛物线的解析式为y=4x2-24x+4,55.抛物线过点 B (1, 0)、C (5, 0),抛物线的对称轴为直线x=3=3. 2(2)存在，如解图，连接AC交对称轴于点接 BP、BA, 点B与点C关于对称轴对称，. PB=PC,AB+AP+PB=AB+AP+PC=AB+AC,.

34、AB 为定值，且 AP+PC>AC, 当A、P、C三点共线时zFAB的周长最小， . A (0, 4)、C (5, 0),设直线 AC 的解析式为y=ax+b(a#0),第4题解图将A、C两点坐标代入解析式得b 45a b 04解得a -5, b 4.二直线AC的解析式为y= -4x+4. 5;在 y= -4x+4 中,当 x=3 时，y=8, 55.P点的坐标为（3, 8）,5即当对称轴上的点P的坐标为（3, 8）时，zABP的周长最小 5（3）在直线AC下方的抛物线上存在点N,使4NAC面积最大如解图，设N点的横坐标为t,此时点 N （t, 4t2-空t+4） （0<t<

35、5）,55过点N作y轴的平行线，分别交x轴、AC于点F、G,过点ADXNG,垂足为点D,由（2）可知直线AC的解析式为y= -4x+4,把 x=t 代入 y= -4x+4 得 y=-4t+4, 55此时，NG=-4t+4- (5.AD + CF = OC=5, S>A NAC = S>A ANG +则G点的坐标为（t, -9+4 ）1-NG CF =2-NG OC=- x (-4225-2 (t-5) 2+空.22-2<0,即在对称轴处取得最大值.当t=5时，ANAC面积有最大值为 空，第422题解图由 t=5,得 y=4t2空t+4 = -3, 255，.N (5,-3).

36、2存在满足条件的点N,使4NAC的面积最大，N点的坐标为(：,-3).三、与特殊三角形有关的问题1 .(2015岳阳)如图，抛物线 y=ax2+bx+c经过 A(1,0)、B(4,0)、C(0,3)八、.(1)求抛物线的解析式; 如图，在抛物线的对称轴上是否存在点 P,使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形 PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由;(3)如图，点Q是线段OB上一动点，连接BC,在线段BC上是否存在这样的点M,使4CQM为等腰三角形且4BQM为直角三角形?若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由图图第1题图12 .如图，直线y=-1x+2与x轴交于点B,与y轴交于

37、点C,已知二次函数的图象经过点B、C和点A (-1, 0)(1)求B、C两点坐标；(2)求该二次函数的关系式；(3)若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D,则在抛物线的对称轴 上是否存在点P,使4PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在， 直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；(4)点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线 相交于点F,当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？ 求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标.第2题图【答案】 针对演练1.解:(1)二点 A (1, 0), B (4,0)在抛物线上，设抛物线解析式为y=a(x-1)(x-4),将点 C (

38、0,3)代入得 a(0-1)(0-4)=3,解得a= 3 ,4抛物线解析式为y=3(x-1)(x-4),4即 y=3x2-15x+3.44存在.连接BC交对称轴于点P,连接PA,如解图,点A与点B关于对称轴x=5对称，2.BC 中B+PC=PA+PC,即当点P在直线BC上时，四边形PAOC的周长最小，在 RtzBOC 中，OB=4, OC=3, / BOC=90 ,.BC=Job2 OC2 =5,四边形PAOC的周长的最小值为OA+OC+BC=1+3+5=9.(3)存在.设直线 BC 的解析式为 y=kx+t , 第1题解图3将点B(4,0),点C (0,3)代入得4kt 0,解得k 7, t

39、 3t 3直线BC的解析式为y= - 3x+3.4点M在BC上，设点M的坐标为(m,- -m+3) (0<m<4), 4要使4CQM是等腰三角形，且4BQM是直角三角形，则只有以下两种情况，(1)当乂、，08, CM=MQ时，如解图所示,则 CM=MQ=- 3m+3, 4MB=BC-CM=5-(- 3m+3)=2+3m 44由 sin/CBO=OC =MQ =3, BC BM 53 一 0m 3 a即 = 3,解得m=3,2 3m 52则点m的坐标为(2争;4(H )当CM = MQ,MQ，BC时,如解图,1题解图过M作MNLOB于N, 则 ON=m,MN=-m+3,在 RtABM

40、N 中，易得 BM=53=5 4 3 m+3)5m+5,4_ 5.CM=BC-BM=5m,在 RtBMQ 中，QM=BM tanZMBQ=- (-m+5),4 、4 八由 CM=MQ 得3 (-5m+5)= -m 444解得m=12,此时点m的坐标为（12 12)7 , 7 , .1题解图综上所述，存在满足条件的点M,点M的坐标为喙*或（”）.2.解：（1）令 x=0,可得 y=2,令y=0,可得x=4,即点B (4, 0), C (0, 2).(2)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,将点A、B、C的坐标代入解析式得,a - b c16a 4bc 20,解得b1 -2-b ,22即该二

41、次函数的关系式为y=-2x2+|x+2.存在.满足条件的点P的坐标分别为P弓4）尸2喙5），嘴管.【解法提示】 y=#+*,.y=-l (x-3) 222+258抛物线的对称轴是x=r.OD=3.2C (0, 2),.OC=2.在RtAOCD中，由勾股定理得CD = -. 2 CDP是以CD为腰的等腰三角形， .CPi = DP2=DP3=CD.如解图所示，作CEL对称轴于点E, .EPi=ED=2, /. DPi=4. Pi（3,4）, P2（3, 4 P3（2,-5）2题解图(4)如解图，过点C作CMLEF于点M,设 E (a, -la+2), F (a,a2+3a+2), 222 .EF

42、=-la2+3a+2- (-1a+2)2221 .=-2a2+2a (0均04 .CDBF = Sa BCD + S CEF + Sa BEFvS第2题解图= 1BD OC+EF CM+1EF BN 22211 c2a (-2a2+2a)+ 1 (4-a)2, (-a2+2a)2=-a2+4a+ 5 2=-(a-2) 2+13 (0<a<4 , 2.a=2 时，S四边形CDBF最大=", 2E 1).四、与特殊四边形有关的问题1. (2015重庆模拟)已知正方形 OABC中，。为坐标原点，点A 在y轴的正半轴上，点 C在x轴的正半轴上，点B (4, 4)二次函 数y=x2

43、+bx+c的图象经过点A、B.点P (t, 0)是x轴上一动点，6连接AP.(1)求此二次函数的解析式；(2)如图，过点P作AP的垂线与线段BC交于点G,当点P在 线段OC (点P不与点C、O重合)上运动至何处时，线段 GC的长 有最大值，求出这个最大值；(3)如图，过点。作AP的垂线与直线BC交于点D,二次函数 y= -1x2+bx+c的图象上是否存在点Q,使得以P、C、Q、D为顶点 6的四边形是以PC为边的平行四边形？若存在，求出t的值；若不存 在，请说明理由.图图备用图第1题图2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交 于A、B两点，A点在原点左侧，B点的坐标

44、为(4, 0),与y轴交于 C (0,-4)点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.(1)求这个二次函数的表达式；(2)连接PO、PC,并把4POC沿CO翻折，得到四边形POPC, 那么是否存在点P,使四边形POPC为菱形？若存在，请求出此时 点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大？求出此 时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.第2题图【答案】1.解:(1) B (4, 4),AB=BC=4, 四边形ABCO是正方形， .OA=4, A (0, 4),将点 A (0, 4), B (4, 4)代入 y=-1x2+bx+c,6c 4得1,-1

45、6 4b c 462解得b 3,c 4二次函数解析式为y=-1 x2+ 2 x+4.63P (t, 0),.OP=t, PC=4-t,v APXPG, / APO+Z CPG=180 -90 =90 , . / OAP+/APO=90 , ./ OAP=/CPG,又/ AOP=/PCG=90 , .AOPs APCG,.AO _ OP PC " GC '即4 =上，4-t GC整理得，GC=-1 (t-2) 2+1, 4 当t=2时，GC有最大值是1,即P (2, 0)时，GC的最大值是1.(3)存在点Q,使得以P、C、Q、D为顶点的四边形是以PC为边的平行四边形.理由如下：

46、如解图、，易得/ OAP=/COD,在4AOP和AOCD中，喳OAP CODOA OC,AOP OCD 90.AOP 二 A OCD (ASA),.OP=CD第1题解图由P、C、Q、D为顶点的四边形是以PC为边的平行四边形得，PC/ DQ且 PC=DQ,. P (t, 0), D (4, t),第.PC=DQ=|t-4|,.点Q的坐标为(t, t)或(8-t, t),当 Q (t, t)时，-1t2+2t+4=t, 63整理得，t2+2t-24=0,解得 ti=4 (舍去)，t2=-6,当 Q (8-t, t)时，-1 (8-t) 2+- (8-t) +4=t, 631题解图整理得，t2-6t

47、+8=0,解得ti=2, t2=4 （舍去）， 综上所述，存在点Q （-6,-6）或（6, 2）,使得以P、C、Q、D为顶点的四边形是以PC为边的平行四边形.b -32.解：（1）将B、C两点的坐标代入得:16 4b c c -4二次函数的表达式为y=x2-3x-4.(2)存在点P,使四边形POPC为菱形；设P点坐标为(x, x2-3x-4), PP交CO于点E,若四边形POP C是菱形，则有PC=PO;如解图，连接PP；则 PELCO 于点 E, C (0,-4), .CO=4,又.OE=EC, .OE=EC=2, y=-2，x2-3x-4=-2第2题解图 解得X1 = 3?,2”7 (不合

48、题意,舍去), .P点的坐标为(*17, 一2)(3)如解图，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q,与OB交于点F,设P (x, x2-3x-4),设直线BC的解析式为y=kx+d,AB=5则4k -d 0，解得d 1直线BC的解析式为y=x-4,则Q点的坐标为(x, x-4);当 0=x2-3x-4,解得：Xi= -1, X2=4,.AO=1精品资料第2题解图S 四边形 abpc=Saabc+Sa bpq+Sa cpq= 1AB OC+1QP BF+-QP OF222=1 X5X4+1 (4-x) x-4- (x2-3x-4) +二x x-4- (x2-3x-4)222=-2x2+8x+10=

49、-2 (x-2) 2+18,当x=2时，四边形ABPC的面积最大，此时P点的坐标为(2,-6),四边形ABPC的面积的最大值为18.五、与三角形相似有关的问题1 . (2015广元)如图，已知抛物线y=- (x+2) (x-m) (m>0)与 mx轴相交于点A、B,与y轴相交于点C,且点A在点B的左侧.(1)若抛物线过点G (2, 2),求实数m的值.(2)在(1)的条件下，解答下列问题：求 ABC的面积.在抛物线的对称轴上找一点 H,使AH+CH最小，并求出点H的坐标.(3)在第四象限内，抛物线上是否存在点 M,使得以点A、B、M为顶点的三角形与4ABC相似？若存在，求m的值；若不存在

50、，请说明理由.2 .如图，抛物线经过 A (4, 0), B (1, 0), C (0,-2)三点.(1)求出抛物线的解析式；(2) P是抛物线上一动点，过P作PM，x轴，垂足为M,是否存在P点，使得以A, P, M为顶点的三角形与4OAC相似？若存在，请 求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在直线AC上方的抛物线上有一点D,使得 DCA的面积最大， 求出点D的坐标.第2题图第1题解图1.解:(1).抛物线过点G(2, 2),八 1 一一一 .-2=- (2+2)(2-m),mm=4. y=0, - (x+2)(x-m)=0, m解得 X1=-2,X2=m,.m>0,.

51、A(-2,0)、B(m,0),又 m=4,. AB=6.令 x=0，得 y=2,：C(0,2),.OC=2,S>A ABC=1 >ABXQC=1 >6X2=6.22.m=4,1抛物线y= - (x+2)(x-4)的对称轴为x=1, 4如解图，连接BC交对称轴于点H,由轴对称的性质和两点之间线段最短的性质可知, 出外寸AH+CH=BH+CH=BC最小.设直线BC的解析式为y=kx+b(k# 0).,c,1则4k b 0,解得k -2, b 2b 2直线BC的解析式为y=-1x+2.2当 x=1 时，y=2,.H(1, 3).(3)存在.如解图，分两种情况讨论：(I)当acbsZabm 时，繁=-AB 题解图 即 ab2=ac am.A(-2,0),C(0,2),即 OA=OC=2,. / CAB=45 ,./ BAM=45 .过点M作MNx轴于点N,贝U AN=MN, .OA+ON=2+ON=MN, .令 M(x,-x-2)