第13讲 反比例函数

1、第十三讲 反比例函数 1.1.理解理解: :反比例函数的定义与解析式反比例函数的定义与解析式. .2.2.掌握掌握: :反比例函数的图象与性质反比例函数的图象与性质, ,反比例函数中比例系数反比例函数中比例系数k k的的几何意义几何意义. .3.3.会会: :运用反比例函数解决实际问题，解答反比例函数与方程运用反比例函数解决实际问题，解答反比例函数与方程及与其他函数相融合的综合性题目及与其他函数相融合的综合性题目. .一、反比例函数的有关概念一、反比例函数的有关概念1.1.反比例函数的定义反比例函数的定义形如形如y=_(ky=_(k为常数，为常数，k0)k0)的函数称为反比例函数，其中的函数称

2、为反比例函数，其中x x是是自变量，自变量，y y是是x x的函数，的函数，k k是比例系数是比例系数. .2.2.反比例函数的解析式的三种形式反比例函数的解析式的三种形式(1)y=_(k(1)y=_(k为常数为常数,k0);,k0);(2)y=k_(k(2)y=k_(k为常数，为常数，k0);k0);(3)xy=k(k(3)xy=k(k为常数，为常数，k0).k0).kxkxx x-1-1【即时应用【即时应用】1.1.若函数若函数y=(m+1) y=(m+1) 是反比例函数，则是反比例函数，则m m的值为的值为_._.2.2.函数函数y= y= 中，自变量中，自变量x x的取值范围是的取值范

3、围是_._.3.3.如果反比例函数的图象经过点如果反比例函数的图象经过点(1(1，-3)-3)，那么这个函数的解，那么这个函数的解析式为析式为_._.4.4.菱形的面积为菱形的面积为1010，两条对角线的长分别为，两条对角线的长分别为x x，y y，则，则y y与与x x的函的函数解析式为数解析式为_._.2m3m 1x-2-219xx0 x03yx 20yx二、反比例函数的图象与性质二、反比例函数的图象与性质1.1.反比例函数反比例函数y= (ky= (k为常数，为常数，k0)k0)的图象是的图象是_，双曲，双曲线无限地接近于线无限地接近于x x轴，轴，y y轴，但不会和轴，但不会和x x轴

4、，轴，y y轴相交，且关于轴相交，且关于_对称对称. .2.2.反比例函数反比例函数y= (ky= (k为常数，为常数，k0)k0)的图象和性质的图象和性质kx双曲线双曲线原点原点kx函数函数图象图象所在象限所在象限性质性质y=y=(k(k为为常数，常数，k0)k0)_一、三象限一、三象限(x,y(x,y同号同号) )在每个象限在每个象限内，内，y y随随x x的的增大而增大而_二、四象限二、四象限(x,y(x,y异号异号) )在每个象限在每个象限内，内，y y随随x x的的增大而增大而_kxk0k0k0k0减小减小增大增大【即时应用【即时应用】1.1.若反比例函数若反比例函数y= y= 的图

5、象在二、四象限，则的图象在二、四象限，则m m的取值范的取值范围是围是_._.2.2.若点若点A(-1,yA(-1,y1 1),B(2,y),B(2,y2 2),C(3,y),C(3,y3 3) )都在反比例函数都在反比例函数y= y= 的图象的图象上，则上，则y y1 1,y,y2 2,y,y3 3的大小关系是的大小关系是_._.3.3.已知反比例函数已知反比例函数y= y= 和正比例函数和正比例函数y=ky=k2 2x x无交点，则无交点，则k k1 1k k2 2_0. _0. m2xm m2 2y y2 2y y3 3y y1 16x1kx三、反比例函数三、反比例函数y= (k0)y=

6、 (k0)中中k k的几何意义的几何意义反比例函数中反比例函数中k k的几何意义：如图，过的几何意义：如图，过双曲线上任一点双曲线上任一点P(x,yP(x,y) )作作x x轴、轴、y y轴的垂轴的垂线线PNPN，PMPM，所得矩形，所得矩形PMONPMON的面积的面积S=S=PNPM=_=_=_.PNPM=_=_=_.|k|k|越大，双曲线在同一坐标系中的越大，双曲线在同一坐标系中的位置离原点越远位置离原点越远. .kx|y|x|y|x| |xy|xy| |k|k|【即时应用【即时应用】如图，在反比例函数如图，在反比例函数y= y= 的图象上有的图象上有一个点一个点A A，过点，过点A A作

7、作ABxABx轴于轴于B B，作，作ACyACy轴于轴于C C，则矩形，则矩形OBACOBAC的面积为的面积为_._.过双曲线过双曲线y= y= 上的另一点上的另一点D D作作DExDEx轴轴于于E E，连结，连结OD,OD,则则ODEODE的面积为的面积为_. _. 8x8 88x4 4【核心点拨【核心点拨】1.1.理解反比例函数的定义应注意以下三个方面理解反比例函数的定义应注意以下三个方面(1)(1)形式：形式：y= ,y=kxy= ,y=kx-1-1或或xyxy=k.=k.(2)(2)条件：条件：k0.k0.(3)(3)实质：自变量实质：自变量x x的指数为的指数为-1.-1.2.2.双

8、曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形双曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形; ;对称轴为直线对称轴为直线y=xy=x和和y=-x;y=-x;对称中心为坐标原点对称中心为坐标原点. .kx3.3.反比例函数的比例系数反比例函数的比例系数k k等于任意一对自变量与函数对应值等于任意一对自变量与函数对应值的积，也等于其图象上任意一点横纵坐标的积的积，也等于其图象上任意一点横纵坐标的积. .4.4.任意一个正比例函数与反比例函数的图象若有两个交点，则任意一个正比例函数与反比例函数的图象若有两个交点，则这两个交点关于原点对称这两个交点关于原点对称. .反比例函数的图象和性质反比例函数的图象和性质中考指数

9、中考指数: :知知识识点点睛睛反比例函数反比例函数y= (k0)y= (k0)的图象和性质的关系的图象和性质的关系对于反比例函数对于反比例函数y= (k0)y= (k0)，图象所经过的象限与函数的增，图象所经过的象限与函数的增减性这两者知其一则知其二，即图象在一、三象限减性这两者知其一则知其二，即图象在一、三象限在每个在每个象限内，象限内， y y随随x x的增大而减小；的增大而减小；图象在二、四象限图象在二、四象限在每个象限内，在每个象限内， y y随随x x的增大而增大的增大而增大. . kxkx特特别别提提醒醒1.1.反比例函数的图象不与反比例函数的图象不与x x轴、轴、y y轴相交轴相

10、交. .2.2.反比例函数的增减性，只能分别在每一象限内应用反比例函数的增减性，只能分别在每一象限内应用. . 【例【例1 1】(2012(2012青岛中考青岛中考) )点点A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),C(x),C(x3 3,y,y3 3) )都在反都在反比例函数比例函数y= y= 的图象上，若的图象上，若x x1 1xx2 20 x0 x3 3, ,则则y y1 1,y,y2 2,y,y3 3的大小关系是的大小关系是( )( )(A)y(A)y3 3yy1 1yy2 2 (B)y(B)y1 1yy2 2yy3 3(C)y(C)y3 3yy2 2

11、yy1 1 (D)y(D)y2 2yy1 1y0 x0时，时，y y的值随的值随x x的增大而增大的增大而增大(D)(D)当当x0 x060，所以它的图象分别在一、三象限，在，所以它的图象分别在一、三象限，在每一个象限内，每一个象限内，y y的值随的值随x x的增大而减少，所以选项的增大而减少，所以选项C C错误错误6x3.(20123.(2012济宁中考济宁中考) )如图是反比例函数如图是反比例函数y y 的图象的一个分支，对于给出的图象的一个分支，对于给出的下列说法：的下列说法：常数常数k k的取值范围是的取值范围是k k2 2；另一个分支在第三象限；另一个分支在第三象限；在函数图象上取点

12、在函数图象上取点A(aA(a1 1，b b1 1) )和点和点B(aB(a2 2，b b2 2) )，当，当a a1 1a a2 2时，则时，则b b1 1b b2 2；在函数图象的某一个分支上取点在函数图象的某一个分支上取点A(aA(a1 1，b b1 1) )和点和点B(aB(a2 2，b b2 2) )，当，当a a1 1a a2 2时，则时，则b b1 1b b2 2；其中正确的是其中正确的是_(_(在横线上填出正确的序号在横线上填出正确的序号).).k2x【解析【解析】由图象知，由图象知，k-20,k-20,所以所以k2,k2,正确；反比例函数的图正确；反比例函数的图象在一，三象限或

13、二，四象限，所以象在一，三象限或二，四象限，所以正确；若正确；若A,BA,B在不同的在不同的分支，则不正确；在同一分支上，则一定正确，故分支，则不正确；在同一分支上，则一定正确，故不正确，不正确，正确正确. .答案：答案：反比例函数解析式的确定反比例函数解析式的确定中考指数中考指数: :知知识识点点睛睛用待定系数法求反比例函数解析式的四个步骤：用待定系数法求反比例函数解析式的四个步骤：1.1.设所求的反比例函数为设所求的反比例函数为y= (k0);y= (k0);2.2.根据已知条件根据已知条件( (自变量与函数的对应值自变量与函数的对应值) )列出含列出含k k的方程的方程; ;3.3.解方

14、程得待定系数解方程得待定系数k k的值的值; ;4.4.把把k k值代入函数解析式值代入函数解析式y= .y= .特特别别提提醒醒确定反比例函数主要从以下三个方面着手：确定反比例函数主要从以下三个方面着手：1.1.借助反比例函数的定义来确定借助反比例函数的定义来确定; ;2.2.借助图象过已知点来确定借助图象过已知点来确定; ;3.3.借助面积来确定借助面积来确定. .kxkx【例【例2 2】(2011(2011北京中考北京中考) )如图，在平面如图，在平面直角坐标系直角坐标系xOyxOy中，一次函数中，一次函数y=-2xy=-2x的图象的图象与反比例函数与反比例函数y= (k0)y= (k0

15、)的图象的一个的图象的一个交点为交点为A(-1A(-1，n).n).(1)(1)求反比例函数求反比例函数y= y= 的解析式；的解析式；(2)(2)若若P P是坐标轴上一点，且满足是坐标轴上一点，且满足PA=OA,PA=OA,直接写出点直接写出点P P的坐标的坐标kxkx【思路点拨【思路点拨】(1)(1)首先由点首先由点A A在一次函数在一次函数y=-2xy=-2x的图象上求出点的图象上求出点A A的坐标的坐标, ,然后求出然后求出k k的值的值. .(2)(2)结合图象确定点结合图象确定点P P的坐标的坐标, , 点点P P的坐标既可在的坐标既可在x x轴上轴上, ,也可在也可在y y轴上轴

16、上. .【自主解答【自主解答】(1)(1)点点A(-1A(-1，n)n)在一次函数在一次函数y=-2xy=-2x的图象上，的图象上，n=-2n=-2(-1)=2(-1)=2，点点A A的坐标为的坐标为(-1,2)(-1,2)，又又点点A A在反比例函数在反比例函数y= y= 的图象上，的图象上，k=-2k=-2，反比例函数的解析式为反比例函数的解析式为y=- .y=- .(2) (2) 点点P P的坐标为的坐标为(-2(-2，0)0)或或(0(0，4).4).kx2x【对点训练【对点训练】4.(20124.(2012长沙中考长沙中考) )某闭合电路中，电源某闭合电路中，电源的电压为定值，电流的

17、电压为定值，电流I(A)I(A)与电阻与电阻R()R()成成反比例如图表示的是该电路中电流反比例如图表示的是该电路中电流I I与与电阻电阻R R之间函数关系的图象，则用电阻之间函数关系的图象，则用电阻R R表表示电流示电流I I的函数解析式为的函数解析式为( )( )(A)I= (B)I=(A)I= (B)I=(C)I= (D)I=-(C)I= (D)I=-【解析【解析】选选C C将点将点(3(3，2)2)代入代入y= y= 得得k=6k=6；也可直接利用双曲；也可直接利用双曲线上的点的横坐标与纵坐标的积就是比例系数，即线上的点的横坐标与纵坐标的积就是比例系数，即k=xyk=xy=6=6 2R

18、6R3R6Rkx5.(20125.(2012益阳中考益阳中考) )反比例函数反比例函数y= y= 的图象与一次函数的图象与一次函数y=2x+1y=2x+1的图象的一个交点是的图象的一个交点是(1(1，k)k)，则反比例函数的解析式，则反比例函数的解析式是是_ 【解析【解析】把把(1(1，k)k)代入代入y=2x+1,y=2x+1,解得解得k=3,k=3,所以反比例函数的解所以反比例函数的解析式是析式是y= .y= .答案：答案：y= y= kx3x3x6.(20126.(2012攀枝花中考攀枝花中考) )据媒体报道，近期据媒体报道，近期“手足口病手足口病”可能进可能进入发病高峰期，某校根据入发

19、病高峰期，某校根据学校卫生工作条例学校卫生工作条例，为预防，为预防“手手足口病足口病”，对教室进行，对教室进行“薰药消毒薰药消毒”，已知药物在燃烧及释放，已知药物在燃烧及释放过程中，室内空气中每立方米含药量过程中，室内空气中每立方米含药量y(y(毫克毫克) )与燃烧时间与燃烧时间x(x(分分钟钟) )之间的关系如图所示之间的关系如图所示( (即图中线段即图中线段OAOA和双曲线在和双曲线在A A点及其右点及其右侧的部分侧的部分) )，根据图象所示信息，解答下列问题：，根据图象所示信息，解答下列问题：(1)(1)写出从药物释放开始，写出从药物释放开始，y y与与x x之间的函数关系式及自变量的之

20、间的函数关系式及自变量的取值范围取值范围. .(2)(2)据测定，当空气中每立方米的含药量低于据测定，当空气中每立方米的含药量低于2 2毫克时，对人体毫克时，对人体无毒害作用，那么从消毒开始，至少在多长时间内，师生不能无毒害作用，那么从消毒开始，至少在多长时间内，师生不能进入教室？进入教室？【解析【解析】(1)(1)设反比例函数关系式为设反比例函数关系式为y= y= ，将将(25,6)(25,6)代入关系式得代入关系式得,k=25,k=256=1506=150，将将y=10y=10代入关系式得代入关系式得10= 10= ，解得，解得x=15x=15，kx150 x故故A(15A(15，10).

21、10).y= (x15).y= (x15).设正比例函数关系式为设正比例函数关系式为y=nxy=nx，将将A(15,10)A(15,10)代入上式即可求出代入上式即可求出n n的值，的值，n= n= ，则则y= x(0 x15).y= x(0 x15).综上可知，综上可知，(2)(2)令令 =2=2，解之得，解之得x=75(x=75(分钟分钟),),答：从消毒开始，师生至少在答：从消毒开始，师生至少在7575分钟内不能进入教室分钟内不能进入教室. .150 x150 x102153232x,0 x15,3y150,x15.x反比例函数与一次函数的综合运用反比例函数与一次函数的综合运用中考指数中

22、考指数: :知知识识点点睛睛解决一次函数与反比例函数综合题的解决一次函数与反比例函数综合题的“五个常用五个常用”：1.1.探求同一坐标系下两函数的图象常用排除法探求同一坐标系下两函数的图象常用排除法; ;2.2.探求两函数解析式常用两函数的交点坐标探求两函数解析式常用两函数的交点坐标; ;3.3.探求两图象的交点坐标常用解方程探求两图象的交点坐标常用解方程( (组组););4.4.探求双曲线与正比例函数图象交点常用对称探求双曲线与正比例函数图象交点常用对称; ;5.5.探求两函数值的大小常用图象看高低探求两函数值的大小常用图象看高低. .特特别别提提醒醒在坐标系中求一个图形的面积一般利用在坐标

23、系中求一个图形的面积一般利用“割补法割补法”. .在求在求三角形面积时，一般把与坐标轴重合的边或与坐标轴平行三角形面积时，一般把与坐标轴重合的边或与坐标轴平行的边作为底的边作为底. .【例【例3 3】(2012(2012嘉兴中考嘉兴中考) )如图，一次如图，一次函数函数y y1 1=kx+b=kx+b的图象与反比例函数的图象与反比例函数y y2 2= =的图象相交于点的图象相交于点A(2A(2，3)3)和点和点B B，与，与x x轴轴相交于点相交于点C(8C(8，0)0)(1)(1)求这两个函数的解析式；求这两个函数的解析式；(2)(2)当当x x取何值时，取何值时，y y1 1y y2 2？

24、 mx【思路点拨【思路点拨】(1)(1)将将A A点的坐标值代入点的坐标值代入y y2 2= ,= ,即可求出即可求出m m的值的值. .从从而得到反比例函数的解析式而得到反比例函数的解析式. .把把A(2,3)A(2,3)，C(8C(8，0)0)代入代入y y1 1=kx+b=kx+b，可得到可得到k k，b b的值，从而得到一次函数的解析式的值，从而得到一次函数的解析式. .(2)(2)求出交点坐标，根据函数图象可直接得到求出交点坐标，根据函数图象可直接得到y y1 1y y2 2时时x x的取值的取值范围范围. .mx【自主解答【自主解答】(1)(1)把把 A(2A(2，3)3)代入代入

25、y y2 2= = ，得，得m=6m=6把把 A(2A(2，3)3)，C(8C(8，0)0)代入代入y y1 1=kx+b=kx+b，得，得解得解得这两个函数的解析式为这两个函数的解析式为y y1 1=- x+4=- x+4，y y2 2= .= .(2)(2)由题意得由题意得 解得解得 当当x x0 0或或2 2x x6 6时，时，y y1 1y y2 2mx2kb38kb0，1k2b4， 126x1yx426yx， 33x6y1，44x2y3，【对点训练【对点训练】7.(20127.(2012张家界中考张家界中考) )当当a0a0时，函数时，函数y=ax+1y=ax+1与函数与函数y= y

26、= 在同在同一坐标系中的图象可能是一坐标系中的图象可能是( )( )ax【解析【解析】选选C.C.选项选项A A，双曲线，双曲线y= y= 的图象在二、四象限，的图象在二、四象限，a a0 0，而当，而当a a0 0时，直线时，直线y=ax+1y=ax+1应过一、二、四象限，故选项应过一、二、四象限，故选项A A不不可能；同理，选项可能；同理，选项B B也不可能；选项也不可能；选项D D，双曲线，双曲线y= y= 的图象在的图象在一、三象限，一、三象限，a a0 0，而当，而当a a0 0时，直线时，直线y=ax+1y=ax+1应过一、二、三应过一、二、三象限，故选项象限，故选项D D不可能；

27、这正好符合选项不可能；这正好符合选项C.C.axax8.(20128.(2012岳阳中考岳阳中考) )如图，一次函数如图，一次函数y y1 1=x+1=x+1的图象与反比例函数的图象与反比例函数y y2 2= = 的图象交于的图象交于A A，B B 两点，过点两点，过点A A作作ACxACx轴于点轴于点C C，过点，过点B B作作BDxBDx轴于点轴于点D D，连结，连结AOAO，BO.BO.下列说法下列说法正确的是正确的是( )( )(A)(A)点点A A和点和点B B关于原点对称关于原点对称(B)(B)当当x1xyy2 2(C)S(C)SAOCAOC=S=SBODBOD(D)(D)当当x0

28、 x0时，时，y y1 1，y y2 2都随都随x x的增大而增大的增大而增大2x【解析【解析】选选C C由图象或根据解析式可得出由图象或根据解析式可得出A A，B B两点的坐标，两点的坐标，发现不是关于原点对称；发现不是关于原点对称；B B中，当中，当0 x10 x1或或x-2x-2时，有时，有y y1 1y1x1或或-2x0-2xyy2 2；C C项中，项中，S SAOCAOC=S=SBODBOD=1=1，正确；，正确；D D项中当项中当x0 x0时，只有时，只有y y1 1随随x x的增大而增大的增大而增大. .9.(20129.(2012宁波中考宁波中考) )如图，已知一次函数如图，已

29、知一次函数与反比例函数的图象交于点与反比例函数的图象交于点A(-4A(-4，-2)-2)和和B(aB(a，4).4).(1)(1)求反比例函数的解析式和点求反比例函数的解析式和点B B的坐标；的坐标；(2)(2)根据图象回答，当根据图象回答，当x x在什么范围内时，在什么范围内时，一次函数的值大于反比例函数的值？一次函数的值大于反比例函数的值？【解析【解析】(1)(1)设反比例函数的解析式为设反比例函数的解析式为y= y= ，反比例函数图象经过点反比例函数图象经过点A(-4,-2)A(-4,-2)，-2= ,k=8,-2= ,k=8,反比例函数的解析式为反比例函数的解析式为y= .y= .B(

30、a,4)B(a,4)在在y= y= 的图象上，的图象上，4= ,a=2,4= ,a=2,点点B B的坐标为的坐标为(2(2，4).4).(2)(2)根据图象得，当根据图象得，当x x2 2或或-4-4x x0 0时，一次函数的值大于反时，一次函数的值大于反比例函数的值比例函数的值kxk48x8x8a【创新命题【创新命题】与反比例函数有关的面积问题与反比例函数有关的面积问题 【例】【例】(2012(2012株洲中考株洲中考) )如图，如图，直线直线x=t(tx=t(t0)0)与反比例函数与反比例函数y= ,y= y= ,y= 的图象分别交于的图象分别交于B B，C C两点，两点，A A为为y y

31、轴上的任意一点，轴上的任意一点，则则ABCABC的面积为的面积为( )( )(A)3 (B) t(A)3 (B) t(C) (D)(C) (D)不能确定不能确定2x1x3232【解题导引【解题导引】连结连结ABAB，ACAC，过点，过点A A作直线作直线BCBC的垂线，垂足为的垂线，垂足为G G，因此三角形，因此三角形ABCABC的面积的面积= = AGAGBC.BC.【规范解答【规范解答】选选C C连结连结ABAB，ACAC，过点，过点A A作直线作直线BCBC的垂线，的垂线，垂足为垂足为G G因为直线因为直线BCBC为为x=t(tx=t(t0)0)，所以，所以B B的坐标为的坐标为(t(t， ) )，点点C C的坐标为的坐标为(t(t， ) )，所以，所以BC BC ，而，而AG=tAG=t，所以