第15章能量法

1、16学时15.1 弹性变形势能的计算弹性变形势能的计算 15.1.1 外力功的计算外力功的计算 15.1.2 应变能的计算应变能的计算 15.1.3 应变能密度应变能密度15.2 虚位移原理用于变形体虚位移原理用于变形体 15.2.1 虚位移原理用于变形体虚位移原理用于变形体 15.2.2 内力虚功的表达式内力虚功的表达式15.3 单位载荷法单位载荷法 15.3.1 单位载荷法单位载荷法 15.3.2 单位载荷法用于线弹性结构单位载荷法用于线弹性结构15.4 计算莫尔积分的图乘法计算莫尔积分的图乘法15.5 互等定理互等定理 15.5.1 功的互等定理功的互等定理 15.5.2 位移互等定理位

2、移互等定理15.6 势能驻值原理和最小势能原理势能驻值原理和最小势能原理作业作业15.6 15.10 15.14 15.162本章主要内容：本章主要内容：(1) 介绍弹性体变形势能弹性体变形势能；(2) 将虚位移原理虚位移原理、势能驻值原理势能驻值原理、最小势能原理最小势能原理用于变形体；(3) 重点介绍单位载荷法单位载荷法，这是一种用能量原理求位移的方法，是一种很简单实用的方法。315.1 弹性体势能的计算弹性体势能的计算弹性变形势能（变形能、应变能）弹性变形势能（变形能、应变能）(strain energy) 当构件发生弹性变形时，其内部会贮存能量，从而使构件具有作功的能力。例如，被跳水运

3、动员压弯的跳板，因变形而贮存了能量，再利用释放出来的能量对运动员作功，加强了运动员的弹跳力。 因弹性变形而贮存的能量，称为弹性变形势能弹性变形势能，简称变变形能形能或应变能应变能。用 表示，单位：J， 。Vm1NJ应变能密度应变能密度 (density of strain energy) 单位体积的应变能，称为应变能密度。用 表示，单位： 。v3mJ4功能原理功能原理 (principle for work and energy) 外力由零开始缓慢地增加到最终值，构件始终处于平衡状态，动能的变化及其能量的损耗均可忽略不计。 根据能量守恒定律，构件内部贮存的应变能在数值上等于外力所作的功W，即W

4、V ) 1 .15(此关系式称为功能原理功能原理。515.1.1 外力功的计算外力功的计算(1) 力的功：0dfW外力由零缓慢增加到最终值F，外力作用点的位置发生移动，移动量为 （如图所示）。(2) 服从胡克定律的力的功：FFff dOdFFff dOd若材料服从胡克定律，力和位移是线性关系，如图，显然外力功等于斜直线下三角形的面积FW21(3) 上述的力与位移都是广义广义的，外力可以是力或力偶，相应的位移是线位移或角位移。则此力的功为6)(21NlFEAlFFNN21EAlF22N15.1.2 应变能的计算应变能的计算功能原理在线弹性范围内WV)1 .15(1) 轴向拉压时的应变能轴向拉压时

5、的应变能FWV21)2 .15()1 .15(FF NEAlFlNxEAxFVld2)(2N) 3 .15(niiiiiAExlFV12N2)(由n个直杆组成的桁架，整个结构内的应变能F21)2 .15(7l(2) 圆轴扭转时的应变能圆轴扭转时的应变能WV)1 .15(tMT pGITlp21GITlTxGIxTVld2)(p2)4 .15(tMOtMtMp22GIlTt)2 .15(21M8(3) 梁弯曲时的应变能梁弯曲时的应变能 纯弯曲：纯弯曲：WV)1 .15(EIMlM21eMM EIlMexEIxMVld2)(2)5 .15(lABeMeMeMeMOe)2 .15(21MEIlM22

6、9 横力弯曲：横力弯曲： 横力弯曲梁的横截面上，有弯矩和剪力，应分别计算与弯曲和剪切相对应的应变能。 剪切应变能的表达式xGAxKFVld2)(2S其中K为量纲为1的量，它与横截面形状和尺寸有关。矩形截面：K=6/5实心圆截面：K=10/9薄壁圆管：K=2 对于细长梁，对应于剪切的应变能与弯曲应变能相比，一般很小，所以常常忽略不计忽略不计。10(4) 组合变形构件的应变能组合变形构件的应变能 小变形情况下，各内力分量引起的应变能互不耦合互不耦合，因此组合变形构件的总应变能（不计剪力的影响）为xEIMxGITxEAFVllld2d2d22p22N)6 .15(若杆件非圆截面，将上式中的 换为 ；

7、pItI若杆件为变截面杆，上式中 均为x的函数。IIA,p1115.1.3 应变能密度应变能密度(1) 应变能密度的计算应变能密度的计算 单向拉压：单向拉压：O1vOvd10v21v斜线下的面积应力应变线性关系 纯剪切：纯剪切：21v12 复杂应力状态下的应变能密度：复杂应力状态下的应变能密度：)(21332211v由广义胡克定律上式可写为)(221133221232221Ev)7 .15( 用应变能密度表示应变能：用应变能密度表示应变能：VVdVvVd13(density of energy due to volume change)(2) 体积改变能密度体积改变能密度 一般情况下，三向应力

8、状态的单元体将同时发生体积改变和形状改变，因此应变能密度也相应地分为两部分：由体积改变而形状不变所引起的，称为体积改变能密体积改变能密度度，用 表示；vv由形状改变而体积不变所引起的，称为畸变能密度畸变能密度，用 表示。dv(distortional strain energy density)畸变能密度畸变能密度14 体积改变密度：体积改变密度：123三向应力状态形状不变体积改变体积不变形状改变mmmm1m2m3 任意三向应力状态下的体积改变能密度体积改变能密度为)3(23212m2m)7 .15(vEv)(31321m)8 .15()3(2212mE2321)(621E15 畸变能密度：畸

9、变能密度：)()()(2)()()(21m1m3m3m2m2m12m32m22m1)7 .15(dEv 任意三向应力状态下的畸变能密度为)8 .15( 显然dv)9 .15()8 .15()7 .15(vvv例题15.1)(232)(2321321m2m133221321m2m232221E)(31133221232221E213232221)()()(61E1615.2 虚位移原理用于变形固体虚位移原理用于变形固体15.2.1 虚位移原理用于变形固体虚位移原理用于变形固体变形固体的虚位移原理（虚功原理）变形固体的虚位移原理（虚功原理） 变形固体平衡的充分必要条件变形固体平衡的充分必要条件：作

10、用于变形固体上的外力系和内力系在任意一组虚位移上所作的虚功之和为零，即虚位移原理（虚功原理）虚位移原理（虚功原理）(principle of virtual displacement) 虚位移原理是分析力学的一个基本原理，适用于任意质任意质点系点系。 虚位移原理应用于变形固体时，外力在虚位移上作功（外力虚功外力虚功 ），内力在相应的变形虚位移上也作功（内内力虚功力虚功 ）。eWiW0ieWW)10.15(17虚位移的含义虚位移的含义虚位移原理的适用范围虚位移原理的适用范围(1) 虚位移是除作用在杆件上的原力系本身以外除作用在杆件上的原力系本身以外，由其他因素所引起的满足约束条件的假想的无限小位

11、移满足约束条件的假想的无限小位移。虚位移是在原力系作用下的平衡位置上的再增加的位移平衡位置上的再增加的位移。(2)虚位移可以是真实位移的增量真实位移的增量，也可以是与真实位移无与真实位移无关的其他位移关的其他位移。(3)例如：另外的广义力或温度变化、支座移动等引起的位移，甚至是完全虚拟的位移。但是这种虚位移必须满足虚位移必须满足边界位边界位移条件移条件和变形连续条件，变形连续条件，并符合小变形小变形要求。 虚位移既然与作用的力无关，就不受外力与位移关系的限制，也不受材料应力应变关系的限制，所以虚位移原理可虚位移原理可以用于以用于非线性情况非线性情况。1815.2.2 内力虚功的表达式内力虚功的

12、表达式xdNNdFF NFSFSSdFF MMMd2)(d*l2)(d*l2d*2d*2d*2d*2d*2d*微段的虚位移可分为刚性虚位移刚性虚位移和变形虚位移变形虚位移：该微段因其他各微段的变形而引起的虚位移称为刚性虚位移刚性虚位移；由该微段本身变形而引起的虚位移称为变形虚位移变形虚位移。19)(deW*S*Ndd)(dFMlF略去高阶无穷小项由虚位移原理：0)(d)(d)10.15(ieWW则有)(d)(deiWW整个结构的内力虚功为*S*Nidd)(dFMlFW式中求和符号表示考虑结构中的所有杆件。若横截面上存在扭矩扭矩则上式改写为*S*Niddd)(dTFMlFW2)(d)d(2)(d

13、*NN*NlFFlF2d)d(2d*MMM2d)d(2d*SS*SFFF*S*Ndd)(dFMlF20虚位移原理应用于变形固体的具体表达式：虚位移原理应用于变形固体的具体表达式：*S*N*ddd)(dTFMlFFii)11.15(iF作用在结构上的原力系中的广义力；*i点i沿 作用方向的广义虚位移。iF 的符号与 指向或转向一致者为“”，相反者为“”。规定：规定：*d,d,d,)(d,liTFMFFi,SN21llllTFMlFddd)(dSNaa15.3 单位载荷法单位载荷法 由虚位移原理可以得到计算结构中一点位移的单位载荷法。KKaaK1dd)(d1SN)11.15(lllFMlF 一般情

14、况下，求结构中一点位移的单位载荷法单位载荷法的计算公式为15.3.1 单位载荷法单位载荷法(dummy-load method, unit load method)12.15(单位力引起的内力SN,FMF22单位载荷法计算公式的解释单位载荷法计算公式的解释(1) 所求的位移及施加的单位力都是广义的。 若要求某点的线位移线位移，则应在该点沿所求位移的方向施加单位力单位力； 若要求的是角位移角位移，则应相应地施加单位力偶矩单位力偶矩； 若要求两点间的相对线位移相对线位移，则应在两点处同时相应地施加一对方向相反的单位力一对方向相反的单位力； 若要求两横截面间的相对角位移相对角位移，则应在两横截面处同

15、时相应地施加一对方向相反的单位力偶矩一对方向相反的单位力偶矩； 广义单位力引起的内力 的量纲与外载作用下引起的 量纲相同。TFMF,SNTFMF,SN(2) 是单位力作功的缩写。 1 为“” ，则说明单位力所作功为“”，所求位移 与单位力同向； 为“-” ，则说明单位力所作功为“-”，所求位移 与单位力反向。23(3) 剪力的影响： 由于剪力影响很小，第三项可以略去不计。llllTFMlFddd)(dSN)12.15(ABql例如：如图所示悬臂梁矩形横截面)(hb101lh则剪力引起的自由端B处的挠度和弯矩引起的B处挠度相比，仅有1。 以弯曲为主的杆件，只计第二项； 只受扭转的杆件，只计第四项

16、； 只有轴力的杆件，只计第一项；若轴力为常量，例如有n根杆的桁架，则有iniilF1N24 若杆件为组合变形，则要根据具体情况确定应包括哪几项。(4) 单位载荷法对于线性问题和非线性问题都适用。例题15.22515.3.2 单位载荷法用于线弹性结构单位载荷法用于线弹性结构 线弹性材料服从胡克定律EAxFld)(dNxxwxddddddpddGIxTlllxGITTxEIMMxEAFFdddpNN)12.15(莫尔定理（莫尔积分）莫尔定理（莫尔积分） (Mohrs integration)13.15(莫尔定理（莫尔积分）莫尔定理（莫尔积分）xxwddd22EIxMd26莫尔定理（莫尔积分）公式的

17、适用范围莫尔定理（莫尔积分）公式的适用范围lllxGITTxEIMMxEAFFdddpNN)13.15(1) 对于截面高度远小于轴线曲率半径的平面曲杆也适用的。(2) 对于平面刚架和曲杆，横截面上通常有轴力 ，剪力 和弯矩 。剪力 的影响可以略去不计。NFSFMSF桁架的莫尔定理表达式桁架的莫尔定理表达式niliiiiiAElFF1NN)13.15(例题15.3例题15.4例题15.5实际上，轴力 的影响比弯矩 也小得多，因此当轴力 、剪力 、弯矩 同时存在时, 和 对应的项都可以略去不计。NFMNFSFNFSFM27等截面直杆：15.4 计算莫尔积分的图乘法计算莫尔积分的图乘法lllxGIT

18、TxEIMMxEAFFdddpNN)13.15(constEAconstEIconstpGI只需计算积分xFFldNNxMMdlxTT d采用图形相乘的方法计算。28图乘法图乘法 (multiplicative graph method)以 为例说明图乘法。xMMdCxxdCxM(x)OxMxxdCx)(xMCMxMtan)(xxM)a (xxxMxxMxMlld)(tand)()()b(xxMd)(是M图中阴影线的微分面积xxxMd)(是M图中阴影线的微分面积对M轴的静矩xxxMld)(是M图的面积对M轴的静矩设M图的面积为 ，M图的形心到M轴的距离为 。CxClxxxxMd)(则tand)

19、()()b(ClxxxMxM) c (CM29于是莫尔积分可写为xEIxMxMld)()(弯矩xEAxFxFld)()(NN轴力)14.15(lxGIxTxTd)()(p扭矩EIMC弯矩EAFCN轴力pGITC扭矩30用图乘法计算位移的注意事项用图乘法计算位移的注意事项(1) 和 均有 之分之分。CM, 当 图与 图在同一侧时， ；0CMMM当 图与 图分别位于轴线的两侧时， 。0CMMM(2) 当 图为折线折线时，需在折点处将 图及 图分段分段，分别分别图乘图乘，然后再按代数值叠加代数值叠加MMMniCiiEIM1(3) 有变化时有变化时，需在变化处分段变化处分段，再图乘再图乘。EI(4)

20、根据弯矩可以叠加的道理，将弯矩图分成几个简单部分弯矩图分成几个简单部分，例如可将梯形弯矩图分为两个三角形或一个三角形加一个矩形，对每一部分使用图乘法，然后再叠加。(5) 当梁上载荷较复杂时梁上载荷较复杂时，为使M图面积便于计算，形心便于确定，可将其分解为若干简单载荷单独作用在梁上分解为若干简单载荷单独作用在梁上，分别画出M图，与 图互乘，然后再叠加。M31(6) 只有同种类型的内力图才能互乘同种类型的内力图才能互乘，对于双向弯曲的梁，只有同一平面内的 M 图和 图才能互乘。M32常用图形的面积和形心位置计算公式常用图形的面积和形心位置计算公式 应用图乘法时，经常要计算某些图形的面积和形心位置，

21、现给出几种常用图形的面积和形心位置的计算公式，其中抛物线顶点的切线平行于基线或与基线重合。3)(bl Cl3)(al abh三角形2lh二次抛物线C83ll85lh32lh顶点3lh二次抛物线C4ll43lh顶点1nlhCl)2() 1(nlnh顶点n次抛物线)2( nl33例题15.6例题15.7例题15.8例题15.9例题15.10例题15.11342F1F15.5 互等定理互等定理15.5.1 功的互等定理功的互等定理ji作用于点 j 的载荷 引起的点 i 沿 方向的位移。jFiF(reciprocal theorem for work)功的互等定理功的互等定理以简直梁为例说明功的互等定

22、理。111221112222351111F22F22122F22211F112112122211112121FFFW21211122222121FFFW载荷所作的功与加载顺序无关：21WW 212121FF)15.15(表明： 在由 引起的位移 上所作的功等于 在由 引起的位移 上所作的功。这就是功的互等定理功的互等定理。1F2F122F1F21功的互等定理的表述：功的互等定理的表述： 第一组广义力系在第二组广义力系引起的位移上所作的功等于第二组广义力系在第一组广义力系引起的位移上所作的功。36(reciprocal theorem for displacement)位移互等定理位移互等定理1

23、5.5.2 位移互等定理位移互等定理 若 ，则21FF 21)15.15(12)16.15(表明： 若两个广义力 和 数值上相等，则 在 作用处沿 方向引起的广义位移 等于 在 作用处沿 方向引起的广义位移 。这就是位移互等定理位移互等定理。1F2F122F1F2F211F2F1F例题15.123715.6 势能驻值原理和最小势能原理势能驻值原理和最小势能原理 刚体静力学中讲述过势能驻值原理和最小势能原理，对变形体而言，这两个原理仍然成立。VV总势能V弹性变形势能V外力势能1. 势能驻值原理势能驻值原理 结构处于平衡状态时，总势能的一阶变分为零，或者总势能对某一位移函数取驻值，即0)(VV)1

24、7.15(382. 最小势能原理最小势能原理满足变形连续条件和位移边界条件的位移，记作 。kiu(1) 结构在稳定平衡状态下，所具有的总势能恒小于在其邻域内其他可能位移状态下的总势能。(2) 可能位移：(3) 最小势能原理：)()(kiiuuiu真是位移当 时，ikiuu )()(kiiuu因此，对 取极小值，即可得到满足力的平衡条件的真实位移。)(kiu最小势能原理与平衡条件是等价的。393. 瑞利里茨法瑞利里茨法 (RayleighRitz method) 作为势能原理的一个重要应用，下面介绍求近似解的一种方法瑞利瑞利里茨法里茨法。瑞利瑞利里茨法的适用范围：里茨法的适用范围：(1) 瑞利里

25、茨法是一个很有用的方法，不仅可用于杆件结构的变形和内力计算，还可用于板和壳的结构分析、稳定理论和振动理论；(2) 适用于线性结构，也适用于非线性结构；(3) 适用于静定结构，也适用于静不定结构；(4) 瑞利里茨法还是有限单元法的基础，问题越复杂，其优越性就越能充分体现出来。 结合简单的杆件问题介绍瑞利里茨法的原理和方法。瑞利瑞利里茨法的原理和方法：里茨法的原理和方法：40第一步：假设一个位移函数近似地表示结构的真实位移。作为最低要求，此位移函数需要满足变形连续条件变形连续条件和位移边界条件位移边界条件，如果能满足力的边界条件力的边界条件更好。此函数包括一个或多个待定的位移参数位移参数。第二步：

26、将总势能 表达为待定位移参数的函数。第三步：第四步：求出了位移参数，意味着假设的位移函数已经确定，进而可以求出结构的内力。 这种位移函数位移函数将近似于真实位移。一般来说，假设的位移函数中应用的位移参数越多，结果越精确。 在工程实际中，取两个或三个位移参数就可达到满意的结果。从理论上，如果假设的位移函数为完备的函数系列构成的无穷级数，则可得到精确的结果。根据势能驻值原理，将总势能 对每一个参数取偏导数，并令其为零，得到包含待定位移参数的联立方程组。解之，即可求得位移参数。41)0(lx 0 wEIM举例说明瑞利举例说明瑞利里茨法：里茨法： 以简支梁简支梁为例说明如何应用瑞利里茨法得到近似的挠挠

27、曲线方程曲线方程及弯矩方程弯矩方程，并研究其精度精度。第一步：假设位移函数F2l2lxy梁的边界条件：:0 x0w0w0 wEIQ: lx 0 wEIM0w0w0 wEIQ一般选择三角函数或多项式函数为位移函数。此处选择的位移函数（挠度函数）为lxawsin)a (其中a待定位移参数（只有一个），表示梁中点的挠度。 此位移函数对简支梁特别适用，不仅满足位移边界条件，而且满足力的边界条件。42第二步：将总势能 表示为位移参数a的函数梁的弹性变形势能（应变能）为3240424224dsin2d)(2d2lEIaxlxlaEIxwEIxEIMVlll 外力势能为FaV则总势能为FalEIaVV3244第三步：势能驻值原理02dd34FalEIaEIFla432)b(第四步：确定挠曲线方程和弯矩方程lxEIFllxawsin2sin43)b()a(lxFlwEIMsin22 ) c ()d(43第五步：讨论近似解的精确度(1) 梁