基于小波分析的分数阶系统辨识信号降噪的变尺度阈值方法

1、基于小波分析的分数阶系统辨识信号降噪的变尺度阈值方法朱呈祥1，2 ，邹云2(1 徐州师范大学 电气工程及自动化学院，江苏 徐州 221116;2 南京理工大学 自动化学院，南京 210094)( zhu0228 sohu com)摘 要:在目前愈来愈被关注的分数阶控制研究中，系统辨识的分数阶理论与方法是一个重要方向，其中，辨识 实验检测数据的降噪是必须关注的课题。基于小波分析理论与方法，首先对系统辨识中常用的以伪随机二进制序列 ( PRBS) 激励的分数阶系统输出信号及其干扰噪声的特性进行分析讨论，在此基础上，为克服常规阈值降噪法的局限 性，提出了针对多层小波分解系数进行非线性变尺度量化改造的

2、算法，进而形成了一种分数阶系统辨识信号降噪的 变尺度阈值方法。仿真实验表明，该方法能够将噪声干扰削减到满意的水平，对于不同的信噪比情形具有很好的适 用性。该研究旨在为进一步的辨识算法设计提供参考，以提高辨识精度。关键词:系统辨识;分数阶系统;小波分析;降噪;阈值;变尺度中图分类号: TP273文献标志码:AVariable metric threshold algorithm for identification signal denoise of fractional system based on wavelet analysisZHU Cheng-xiang1，2 ， ZOU Yun2(

3、 1 School of Electrical Engineering and Automation， Xuzhou Normal University， Xuzhou Jiangsu 221116， China;2 School of Automation， Nanjing University of Science and Technology， Nanjing Jiangsu 210094， China)Abstract: The identification theory and method of fractional system is an important research

4、direction which has drawnmuch research attention recently， and how to reduce the noise about the identification test data is one of the subjects which must be focused on In this paper， on the basis of wavelet theory and method， the characteristics of noise and output signal of fractional system were

5、 analyzed firstly In order to overcome the limitations of the conventional threshold denoise method， a nonlinear variable metric algorithm for the multi-level wavelet decomposition coefficient was proposed， and then a denoising method for identification signal of fractional system was formed The sim

6、ulation experiments indicate that this method can reduce the noise to a satisfactory level， and it also has good adaptability for different Signal-to-Noise Ratio ( SNR) cases Our research purpose is to provide a reference for further identification algorithm design and to improve identification prec

7、isionKey words: system identification; fractional system; wavelet analysis; denoising; threshold; variable metric近来，关于系统辨识中的降噪问题已有一些新的技术方法。文献3采用前馈神经网络进行带噪声信号的去噪声建 模;文献4阐述了 ANFIS 进行噪声消除的原理;文献5将 模糊辨识算法应用于噪声消除领域;文献6采用不同的小 波函数和不同的域值处理方法，讨论了系统输出噪声消减问 题。然而，相关研究都是针对常规的整数阶系统，系统且深入 地研究分数阶系统辨识中检测数据降噪的成果还很少。在分

8、数阶系统辨识的研究中，注意到，由于分数阶算子及 其方程求解中含有一些超越函数 ( 如 Gamma、Beta、Mittag- Leffler)且具有无限维，因而辨识算法的设计相比于整数阶系 统要复杂得多，尤其是在求解计算时往往因其算法本身的原 因，例如离散化分解后的各项可能存在数值上的巨大差异，使 得辨识系统对噪声干扰更为敏感。因此，检测数据的降噪问 题是分数阶系统辨识中值得研究的课题。本文基于小波分析的理论与方法研究分数阶系统辨识信号的特性及其降噪问 题，提出了一种工程上常用的以伪随机二进制序列( Pseudo- Random Binary Sequence，PRBS)为激励信号的系统输出信号

9、 的降噪方法，以利于进一步进行辨识算法设计，提高辨识精 度。引言近年来，分数阶系统及其控制的研究引起越来越多学者 的关注，在自动控制领域出现了分数阶控制这一新的分支。 无论是对实际系统动态过程的分析还是控制，都有赖于对其 过程正确描述的数学模型。实际系统通常大都是分数阶 的1，采用分数阶描述那些本身带有分数阶特性环节的对象 时，能更好地揭示对象的本质特性及其行为。基于对控制对 象刻画得更准确和简洁的目的而建立分数阶系统模型是分数 阶控制理论研究与工程应用的前提。系统辨识是通过实验，从检测到的系统输入输出数据中 提取系统数学模型的一种建模方法，是系统建模的最基本的 技术。但是，在实验中常常存在各

10、种难以精确描述的因素，如 各种干扰、测量误差等，它们具有随机的性质，称为建模中的 “噪声”。由于噪声的存在，现有的任何辨识方法都无法消除 它们对辨识结果精度的影响。工程上比较简单实用的解决办 法是对检测数据进行预处理，如零均值化、采用低通滤波器剔 除高频成分等，但是它们往往会改变系统的噪声性质，因而显 得比较粗糙2。0收稿日期:2010 07 20;修回日期:2010 09 01。yn (k) = y(k) + n(k)(2)小波分析的特点从严格的意义上讲，在噪声干扰情形下的系统辨识检测 数据都是有色的非平稳信号。目前常用的信号分析及其处理 方法是建立在 Fourier 变换的基础上，它使用的

11、是一种全局变 换，要么在时域，要么在频域，但不能把二者有机地结合起来， 无法描述信号的时频局域特性，然而时频局域性质恰恰是非 平稳信号最根本、最关键的性质。小波理论是 Fourier 分析划时代发展的结果。小波分析 是一种时频分析方法，它具有多分辨率分析的特点，而且在时 频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口大小固 定不变，但其形状、时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化 分析方法。小波理论的迅速发展及其具备良好的时频特性，使其应 用已非常广泛。其中，利用小波变换进行信号降噪以及重构 始终是一个热门课题。主要原因是小波变换具有下述特 点7:1)低熵性。小波系数的稀疏分布，使信号变换后的熵

12、 降低。2)多分辨性。由于采用多分辨率的方法，可以非常好 地刻画信号的非平稳特征，能在不同分辨率下根据信号和噪 声分布的特点去噪。3 ) 选择基底的灵活性。可以灵活地选 择不同的小波基，如单小波、多小波、多带小波、小波包、平移 不变小波等。小波降噪的原理与方法，基本上可分为 3 类7:1 ) 基于 小波变换极大值原理8，信号与噪声在小波变换各尺度熵不 同的传播特性，剔除由噪声产生的模极大点，用所余模极大值 点恢复信号;2)基于相关性，对含噪信号做变换后，计算相邻 尺度间小波系数的相关性，根据相关性大小区别小波系数的 类型，进行取舍，再进行重构;3 ) Donoho 等人提出的阈值方 法9，包括

13、软阈值法和硬阈值法。本文基于阈值方法讨论系统辨识中检测信号的降噪问题。1其中 y (k) 表示被 n(k) 污染的输出信号测量值。n首先，将噪声看成一个普通的信号 S ，选择 Daubechies 正 交小波基 db4，对其进行 3 层分解，分析 n(k) 在小波分解下 的特性。分解结构如图 1 所示。可见，小波分解具有多分辨分析功能，频率不同的正交小波基相当于带宽各异的带通滤波器。对于一个一维离散信号，它的高频部分影响的是其小 波分解的高频第 1 层，低频部分影响的是其小波分解的最深 层及其低频层。其分解关系可描述为:(3)S = Sca + Scd + Scd + Scd3321其中，S

14、和 S 分别为小波分解的低频和高频部分。cacd图 1 3 层小波分解结构树状图定义信噪比(Signal-to-Noise Ratio，SNR):var(y(k) yn (k)var(n(k)SNR =槡var(y(k)=槡var(y(k)利用 db4 小波分解所提取的噪声 n(k) 的各层系数如图2 5 所示，这里，取 SNR = 0 2 为例，k = 1，2，2 000 。可 见，n(k) 的小波分解系数在各频层的分布基本相同，其数值 分布在区间 0 1，0 1，这表明，作为一种平稳随机过程的 高斯白噪声序列，其功率在 的全频段内均匀分布 的性质。噪声与信号在小波分解下的特性与控制理论中所

15、讨论的确定性模型所不同的是，辨识实 验中常常存在各种难以精确描述的噪声因素，考虑这些随机 因素的影响，即得到所谓随机模型2，它一般是在确定性模 型的基础上以叠加的方式考虑噪声的影响。噪声的来源可能 很多，但在数学模型中则是把它们的影响综合在一起，用一个 等效的噪声 n(k) 来代替。n(k) 一般为有色噪声，其特性在 很大程度上决定着辨识方法的选择以及辨识结果的精度。虽 然随机因素的影响不容忽视，但其影响一般不会处于主导地 位，因此处理方式应尽量简化。由于很难确知 n(k) 的统计 特性，在大多情况下，往往将之视为不相关的随机序列，如均 值为 0 的高斯白噪声，因为从信号传递的角度，它反映了实

16、际 信道中的加性噪声情况，比较真实地代表了信道噪声的特性。下面，通过对一个具体的线性分数阶系统参数辨识中的 检测数据进行小波分解并讨论其噪声与信号的特性。设系统 模型为:2图 2n(k) 的小波分解低频系数 ca3图 3n(k) 的小波分解第 3 层高频系数 cd3同样，分别对 y(k) 、yn (k) 进行小波分解，提取各层系数 并与 n(k) 作以比较，如图 6 9 所示(图示为前 100 个系数)。综合分析图 6 9，可得如下结论:1)仅就系统真实输出 y(k) 而言，其小波分解的低频层 系数(记为 ca3 (y)，以下类同) 远大于它的各高频层系数 cd3 (y)、cd2 (y)、cd

17、1 ( y)，在数值上相差 3 个数量级以上，并且其 高频系数的幅值随着分解层次的增加逐渐地增大，这表明 y(k) 是低频为主的平稳信号。D2 y(t) + 0 5D0 5 y(t) + y(t) = D0 5 u(t) + u(t)(1)其中: D f(t) 表 示 函 数 f(t) 的 分 数 阶 微 积 分 算 子，应 用Grundald-Letnikov 定 义10 离散法求取数值 解。 输 入 信 号 u(k) 采用随机的 PRBS，相关研究表明11，离散步长越小，近 似输出 y(k) 越接近理论曲线。当取步长为 0 01 s 时即可认 为达到满意的近似精度。在实际的辨识实验中，由于

18、输入信号 u(k) 可认为是确 知的，故干扰噪声 n(k) 只需考虑叠加在系统动态过程输出 y(k) 上，取 n(k) 为均值为 0 的高斯白噪声序列，则:图 4n(k) 的小波分解第二层高频系数 cd2图 9 小波分解第一层高频系数比较2)考虑信号的低频层系数，ca3 ( y) 远大于 ca3 ( n)，并且 ca3 (y)与 ca3 ( yn ) 相差不大，这表明噪声 n(k) 对真实信号 y(k) 的影响小，因此在消噪方法设计中其小波分解的低频部 分可以忽略。3)对于信号的高频系数，各层 cd ( n) 和 cd ( yn ) 的数值 均远大于 cd (y)，表明在小波分解的高频层中，主

19、要是噪声的 系数，并且这种高频信息在各个高频层中都能集中显示出来。4 )被噪声污染的信号 yn (k) 兼有 n(k) 和 y(k) 二者的特性。其中，小波分解的高频层系数体现了噪声的特性，并且各 层的 cd (yn )与 cd (n)在数值上几乎相等;其低频系数主要体 现出 y(k) 的特性，但是 ca3 ( y) 曲线平滑，而 ca3 ( yn ) 曲线则不平滑，表明系统动态过程真实输出信号中叠加了噪声。图 5n(k) 的小波分解第一层高频系数 cd1常规阈值降噪法及其局限性基于小波的去噪方法，是利用小波变换中的变尺度特征， 对确定信号具有一种集中能力。如果一个信号的能量集中于 小波变换域

20、少数小波的系数上，那么，它们的取值必然大于在 小波变换域内能量分散的其他信号和噪声的小波系数，因此 可用阈值方法进行降噪。阈值法实质上就是对小波系数进行取舍。按照一定的规则，可将小波系数划分成两类:一类是重要的、规则的小波系 数;一类是非重要的或受到噪声干扰的小波系数。通常以小 波系数的绝对值作为分类依据。小波系数绝对值趋向于 0， 意味着小波系数所包含的信息量少，并强烈地受噪声干扰。 这种判断方法已被证明具有良好的统计优化特性9。通常的阈值法即设定一个阈值 ，所有绝对值小于 的 小波系数划为噪声，并用 0 代替，这意味着移去小幅度的噪声或非期望的信号;而大于阈值 的小波系数，根据处理方法的

21、不同，又分为软阈值化和硬阈值化两种主要方法。若以向量W 表示对信号进行小波分解所得到的小波系数，对系数向量W 进行阈值化改造，得到新的小波系数向量 W ，再由 W 对 信号进行小波重构，即可得到去噪后的信号。其中，软阈值化 表达式为:3图 6 小波分解低频系数比较图 7 小波分解第三层高频系数比较W = 0，sgn(W)( )，WW (4)W 硬阈值化表示式为:W = 0，W，W (5)W 由本文第 2 章的讨论与分析可知，欲从辨识检测信号yn (k) 中提炼出系统动态过程真实输出 y(k) ，上述以“弃小 留大”为本质的阈值方法显然不能适用于 PSBS 信号激励下 的辨识信号的消噪。因为“留

22、大”意味着保留了高频的噪声， 而“弃小”则消去了其中权重大的有用信号 y(k) 的信息。而 且，对于一维信号的小波降噪，其阈值的确定目前还没有统一 的或普适的方法。针对本文所讨论的问题，由于在实际应用图 8 小波分解第二层高频系数比较中系统的真实输出 y(k) 不可确知，若采用试探的方法获取阈见表 1。图 14 给出了 SNR = 0 3 情形下的 cd3 及其处理结果。以上各图表明，本文方法对于 PRBS 激励下的分数阶系 统辨识信号降噪具有很好的适用性。图 15 还给出了当 SNR = 0 15 时，系统输出的原始无噪信号和应用本文算法降噪结果曲线与硬阈值降噪法曲线的效 果对比图，可见，本

23、文方法明显优于硬阈值法。表 1 不同信噪比下的降噪效果及其比较值进行降噪，其消噪的效果不能像阈值法应用于图像处理那样通过直观的结果去判断。因此，这种具有带有主观主义色 彩的阈值法很难获得理想的消噪效果。本文算法由于噪声 n(k) 对有用信号 y(k) 的影响小，在消噪方法 设计中其小波分解的低频部分可以忽略;若能将受噪声干扰 而发生大的变化的各层高频系数 cd ( yn ) 调整到接近于 cd(y)的水平，那么就有可能获得比较理想的降噪效果。为此， 针对本文所讨论的问题，依据仿真实验所获得数据的统计规 律对小波分解的各高频系数进行变尺度处理，从而形成一种 适应于 PRBS 信号激励下的分数阶系

24、统辨识信号的降噪方 法。首先对信号进行小波变换。关于一维小波分解与重构算 法，相 关文献给出了详细 的理论分析和具体的实现步 4骤7，12 13。选取合适的小波，将输出信号测量值 y (k) 进行nm 层小波分解，求取各层系数向量，分别设为 cam 、cdm ，cdm 1 ，cd1 ，然后以下式对各层高频系数变尺度量化处理。*cdj (i) =sgn(cdj (i)E()，cd (i) E( cdj)cdjexp(j·)jlj (i)(6)cdj (i)图 10cd1 及其处理结果( SNR = 0 2 )，cd (i) E()cdexp(j·)jlj (i)j其中，cd*

25、 为处理后的系数向量，式中jcdj (i)lj (i)(7)= E()cdj其中: i = 1，2，length (cdj ); j = 1，2，m。最后，将原有低频系数 cam 以及由式(6) 所得的各高频层系数 cd* 、cd* ，cd* 对信号进行小波重构，从而得到mm 1降噪后的信号 yn (k)1*。式(6)中若系数 cdj (k)大，则表明其中噪声的权重大，应将其大幅缩减，以尽可能地滤除噪声，故将其一律替换为系数 向量各元素绝对值的均值，然后再进一步量化处理;当 cdj (k) 不太大时，直接将其适当地缩减量化到一定的水平;若 cdj (k) 本身很小，则表明它包含的主要是有用的信

26、息成分，应尽量予 以保留。鉴于小波变换本身为非线性变换，通过对大量仿真 实验结果的对比分析与总结，在量化算法的设计中选取了非 线性的 exp 指数函数，在仿真实验中得到了较为满意的量化 处理效果。图 11cd2 及其处理结果( SNR = 0 2 )仿真算例选用合适的小波是本文算法的关键环节。考虑到著名的 小波分析学者 Daubechies 构造的 dbN 小波系，是紧支撑标准 正交小波，尤其是它的出现使离散小波分析成为可能，因此， 在仿真中选用 db4 小波并应用塔式算法(Mallat 算法)7对信 号进行分解和重构。仿真工具为 Matlab 小波分析工具箱。下面仍以式(1)描述的分数阶系统

27、为例，应用本文算法对输 出信号测量值 yn (k) 进行降噪，并对其降噪效果进行分析。图 10 12 分别给出了当 SNR = 0 2 时，yn (k) 的各层小 波分解系数及其量化处理结果与无污染信号 y(k) 各层系数 的对比。图 13 更为细致地给出了第 3 层小波分解系数及其量化处理结果。可见，选用非线性的 exp 指数函数对小波分解系数进行变尺度改造处理获得了满意的效果。仿真实验中，信噪比在较大范围内取不同值时，仍然获得5图 12cd3 及其处理结果( SNR = 0 2 )结语本文基于小波分析理论与方法，在对系统辨识中常用的 PRBS 信号激励的分数阶系统输出信号及其干扰噪声的特性

28、 分析讨论的基础上，提出了针对多层小波分解系数进行非线 性变尺度量化改造的算法，以克服常规阈值降噪法的局限性， 进而形成了一种分数阶系统辨识信号的降噪方法。仿真实验 表明，本文方法能够将噪声干扰消减到满意的水平，对于不同 信噪比情形均具有很好的适用性。在信号的消噪处理过程中，阈值往往可以根据工程应用 中的实际情况通过经验获得，而且这种阈值具有良好的可信6SNR降噪效果降噪效果SNR硬阈值法 本文方法硬阈值法 本文方法0 050 0770 0190 100 0880 0330 150 1010 0510 200 1130 0680 250 1220 0910 300 1380 099度。本文研究

29、旨在为进一步的辨识算法设计提供参考，以提在小波分析理论与应用中，如何选择小波目前还没有很高辨识精度。好地解决，这也是本文基于小波进行辨识信号降噪的一个关键环节，对此仍有待进一步研究。参考文献:1TORVIK P J， BAGLEY R L On the appearance of the fractionalderivative in the behavior of real materials J Journal of AppliedMechanics， 1984， 51( 2) : 294 298方崇智，萧德云 过程辨识M 北京: 清华大学出版社， 1988 王守觉，李兆洲，王柏南，等 用

30、前馈神经网络进行带噪声信号的 去噪声建模J 电路与系统学报， 2000， 5( 4) : 21 26 姚宏伟， 梅晓榕， 庄显义 模糊神经网络在噪声消除中的应用J 电机与控制学报， 1999， 3( 1) : 50 52刘福才 非线性系统的模糊模型辨识及其应用M 北京: 国防 工业出版社， 2006余世明，冯浩，王守觉 基于小波和最小绝对误差的去噪抗扰动 辨识方法J 电子学报，2003， 31( 2) : 192 195 程正兴，杨守志，冯晓霞 小波分析的理论算法进展和应用M 北京: 国防工业出版社， 2007MALLAT S 信号处理的小波引导M 杨力华，译 北京: 机械工 业出版社， 20

31、02DONOHO D L， JOHNSTONE I， KERGYACHARIAN G， et al Density estimation by wavelet thresholding J The Annals of Sta- tistics， 1996， 24( 2) : 508 538234cd3 处理效果对比( SNR = 0 2 )图 1356789cd3 及其处理结果( SNR = 0 3 )图 1410 PODLUBNY I Fractional differential equations M San Diego:Acdemic Press， 199911朱呈祥，邹云 改进的基于

32、 PSE 和 Tustin 变换的分数阶系统求解递推算法J 系统工程与电子技术， 2009， 31 ( 11 ) : 2736 274112 COHEN A， DAUBECHIES I Orthonormal bases of compactly sup-ported wavelets III batter frequency resolutionJ SIAM Journal onMathematical Analysis， 1993， 24( 2) : 520 52713 DAUBECHIES I Orthonormal bases of compactly supported wave-

33、letsJ Communications on Pure and Applied Mathematics， 1988，41( 7) : 909 996图 15 输出信号降噪效果对比( SNR = 0 15 )( 上接第 532 页)的计算时间和通信时间之比越大，则子作业之间有通信情况 和无通信情况下的完工时间越接近，且完工时间取得最小值 的分割粒度越细，完工时间的最小值越小。下一步将研究更 复杂的子作业之间相互通信情况下，作业完工时间与作业分 割粒度之间的关系。参考文献:04 20 : / / lcg web cern ch / lcg / public / ANDERSON D P， COB

34、B J， KORPELA E， et al SETI home: An experiment in public-resource computingJ Communications of the ACM， 2002， 45( 11) : 56 61University of California at Berkeley How SETI home worksEB / OL 2010 07 12 : / / seticlassic ssl berkeley edu / about_seti / about_seti_at_home_2 html陈国良 并行计算结构·算法·编

35、程M 北京: 高等教育 出版社， 2003: 77 84University of California at Berkeley JobIn-BOINC-Trac EB / OL2010 04 19 : / / boinc berkeley edu / trac / wiki / JobIn671University of California at Berkeley Project list BOINCEB / OL2010 04 19 : / / boinc berkeley edu / wiki / Project_list ANDERSON D P BOINC: A system for public-resource computing and storageC/ / Fifth IEEE / ACM International Workshop on Grid