曲线积分与曲面积分

1、目录1对孤长的曲线积分(扩展)对孤柱曲线积分的应用2对坐标的曲线积分4对面积的曲面积分课后典型题1对弧长的曲线积分之前已经学过计算曲线长度的积分(1)(1)对于 y=y(x),y=y(x),有ds1y(x)2dxx x x(t)x(t)2 2(2)(2)对于参数方程yy(t)有ds寸x (t) y (t) dtx r( )cos(3(3 ) )对丁极坐标方程是 r r r()r()，转成直角坐标y r( )sin，则x( ) r cos rsiny( ) r sin r cos0代入ds Jx(t)2_y(t)2t =_r( )2d上面 3 3 个都是求弧长，现在求的是在弧长上对某个被积函数f

2、(x,y)f(x,y)积分。那么, 如果把被积函数 f(x,y)f(x,y)看成是密度，那么得到的就是曲线质量。当然如果密度均匀为 1 1 , ,则求的弧长积分就是弧长。如果把被积函数f(x,y)f(x,y)看成是高度 z,z,那么得到的就是一个柱面表面积。对弧长的曲线积分，称为“第一类曲线积分”。扩展到空间，若被积函数是 f(x,y,z)f(x,y,z)那么，就表示在空间曲线 L L 的密度，求得的 结果就是空间的线质量。n定义f(x,y)ds lim0f(i,i) Li 1计算步骤1 1 画出图形2 2 写出 L L 的方程，指出自变量范围，确定积分上下限(下限必须小丁上限)3 3 由 L

3、 L 类型写出对应 dsds 的表达式4 4 因被积函数 f(x,y)f(x,y)的点 x,x, y y 在 L L 上变动，因此 x x , , y y 必须满足 L L 的方程。即把L L 中的 x,x, y y 代入被积函数 f(x,y)f(x,y)中。5 5 写出曲线积分的定积分表达式，并计算。注，二重积分中 xyxy 在投影域 D D 内动，而被积函数的 xyxy 在 L L 上动，故(x,(x, y)y)必须满足 L L。如，L L 的方程 y=ky=k，贝 U U f f (x)ds(x)ds kdskds ksks (保留。还不太懂)L L参数方程I x x(t)设曲线有参数方

4、程Ly y(t),则有：f(x,y)f(x(t),y (t)x(t)2y(t)2dt显式方程设曲线为L： y=y(x),则有：f (x, y) dsLf(x,y(x)y(x)2dx设曲线为L:x=x(y),则有：f (x, y) dsLf(x(y), y) 1 x(y)2dy极坐标方程设曲线为L : r r(),(,)贝 MtMt：f (x, y)dsLf (r( )cos , r( )sin ) , r( )2r( )2d注：常用，半径R的圆弧对应ds VRR*O)d Rd空间曲线方程x x(t)设曲线为空间曲线L: y y(t),则有：z z(t) f(x, y)f(x(t),y(t),z

5、(t).x(t)2y(t)2z(t)2dt设在L上 f(x,y)=g(x,y)f(x,y)=g(x,y)，贝uLf (x, y)dsLg(x, y)ds，特别的，有dsdsLf(x,y)dsLg(x, y) ds此性质不能用丁第二类曲线积分扩展对弧长曲线积分的应用(其实和二重积分一样，完全可以自己推导)x ds y ds质心坐标：X ds、ydsLL转动惯量：I=mrI=mrA2,2,因此有1 1xy y (x,(x, y)dsy)dsL设平面力场的力为F(x,y) P(x,y)i Q(x,y)j求该力沿着曲线 L L 从 a a 到b b 所做的功。b对丁直线的路径 abab 来说功的大小是

6、af(x)dxf(x)dx (这里有两个特点：1 1 路径是直线2 2 力的方向和位移的方向相同)，受”1口够伐ciSj二b b” M M d.d.(P(P砧成？QesUQesU$,二加二J J“平面海跑场流蚤政匾炯就 2*由条岳 场内顶曲作L花隼也日 W间内诫/侄.LI/rfL.-一 火弓瓜排G A.y化)成金找，任吏-发上*寸的有史上饱如 主益(U百刍瑞呈.此逢 任法向里* m二BS&P+s p日、只q了d S但t/s0机体面哧R)4V*找彩寰右兹是9 d更二订更二FtoSX -t foS (?汪煮：LR豺知SL曲遂备日”曲内风面缺档 惠衣麻里邑耍内忘I?衣密邕.土讦氐是平面源 9

7、 五登y皿伉日打留退 同曲浅L饴4不心；6 6、特别性质则W二泛去、册标LW二亨LF(x, y)gdrLF(x, y)gdr第二类曲线积分不具有此性质。其证明比较简单，看课本。2对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分，分为对 x x 坐标和 y y 坐标的曲线积分，两者合在一起，为:求解曲线积分时，最好先用格林公式看看是否与路径有关？1作出 L L 的图形，标出 L L 路径的方向x (t)2写出 L L 的方程y (t)，并指出起点和终点的参数 ， 注意， 并不分谁大谁小。x (t)3把y(t)分别代入被积表达式，a为下限，6为上限。注意：仍然有被积函数的(x,y)x,y)须满足 L L 方程。空

8、间曲线计算必须化为参数方程来计算 同样的，在计算时，算圆能用直角坐标很难，用极坐标就很简单P(x,y)dxLQ(x,y)dyLP(x,y)dxLnlim P(i,0i 0Q(x, y)dy、)xilim0nQ(i,i)V、i0不同点：第一类曲线积分是对弧长的曲线积分，其被积函数值。而第二类曲线积分是对坐标的曲线积分，其被积函数既有大小，乂有方向。相同点：第二类曲线积分可以化为第一类曲线积分在力场F (x, y) P(x, y)i Q(x, y)j中，沿路径L从A到B,第一类曲线积分和第二类都是可以计算的。有:x(t)设y(t)，则P(x, y)dx Q(x,y)dyLf(x,y)f(x,y)仅

9、是一个数量P4ay43xQ4x2 y43y4分4的物2 44V4第二类曲线积分P,Qg ( dsL L4 4 4呀为4切4量434 4、第一类和第二类曲线积分的互相转换为了能消去 dx,dy,dx,dy,得到第一类曲线积分的dsds , ,我们将 x x , , y y 改写设为参数方程。P(,L)Q(,)dtP(,L)Q(,)dt(而ds=dt)P(,L|2Q(，|22+ 2dtP(,L|2Q(,)ds可以改为格林公式及其应用导数，那么则有:设k= |j,则k代表着L上某点的切线方向。而2+.2% ,2则就是切线方向的单位向量。若从切线方向上考虑，则/ %,2COs=cos2+，2P(x,

10、y)dx Q(x, y)dy P(,LL)cos)cosds若设苻2了 2+2.2P(x, y)dxLQ(x, y)dy=P(，)L)g Vs而这种在转换时更方便常用一些。(见典型例题)文中全部的P,Q都代表P(x,y), Q(x,y)一个光滑的闭曲线L L 围成了一个 D D 区域。设 P P(x,y)(x,y) ,Q(x,y),Q(x,y)都存在一阶连续偏?Pdx Qdydxdy格林公式对 L L 所围成的形状没有要求，只要求 L L 是一条正向的闭曲线。（正向即 走在该路径上，左手边是被积域） 注意，被积 P,P, Q Q 不能在定义域内出现奇点，出现了，就是不可偏导的了。那么 怎么办？

11、 一般使用挖洞法 上式是二重积分与第二类曲线积分的关系。经过推导还有与第一类曲线积分的关系：P Q ,?Pcos Qcos dxdyLDx y若令 n n 为下图向量，则有:争(A n)必二J divA daL|D单 也 时 间 流 功 的 流 的n=coscr.cos/?T=-COS/7,COSQ使用格林公式的情况:羿号小常数）此时叙了芋刁于咐4 （器-乌勺 -=柘.其中（TJJD的而积.（2）- 不是常现但二重根分IT件-FlL妇容易计算.JjrayI C/JT格林公式使求曲线积分和二重积分可以互换，因此在求曲线积分（多为第二类）或者二重积分时乂多了一个格林公式这个方法。 注意，曲线积分第

12、一类乂可以化为第二类，如果这样考，可能会综合一些。（当然曲线第一类也有直接跟格林公散divA地箜度dx dy式互换的方法（见上） （加边法）求非封闭曲线的第二类曲线积分：可以加一条边成封闭曲线，再用格林公式算。算完后再减去加上的那条边的第二类曲线积分。注意：一般加的都是一些简单的直线，如加x=ax=a 或 y=ay=a 等。这样减它的第二类曲线积分时非常简单，很多步都可以化为0.0.（挖洞法）求闭曲线内含奇点的积分：那么挖一个什么形状的洞呢？ 一般做的都是让出现奇点的部分化为常数。如$做-妙在。上用2 4营+尸 格抹公式=g骨蓦顺=,0蜘=0222椭圆。做一个4x y a1 1、求闭区域的面积

13、显然，令x y=1即可。丁是，可选 P=-y,Q=xP=-y,Q=x，得x y=2P QP Q2dxdy=2S=?ydx xdy丁是求出面积。 LD注，该公式适合求边界曲线是参数方程的形式。已知边界曲线参数方程，求面积用此公式。曲线积分结果与路径无关，是指只与起点终点有关。其物理意义就是变力做功何 时与路径无关?就做一个分母一样函数的设 L1L1 与 L2L2 是起点终点相同的两条不同路径，则在平面连通域内与路径无关的充要条件是?Pdx Qdy 0,即绕闭曲线一周，曲线积分结果为 0,0,则就与L1 L 2路径无关。这个方法对任何连通区域均有效。但是下面的定理仅对单连通域有效：定理：在一个单连

14、通域 G G 内，LPdx Qdy的曲线积分与 L L 路径无关的充要 条件是：x y =0P Q因为如果等丁 0,0,则闭曲线就等丁 0 0。之所以用单连通区域，因为单连通域内一定存在偏导数。复连通区域内可能含有奇点，无法满足条件。求解曲线积分时，最好先用格林公式看看是否与路径有关?设P(x, y)dx Q(x, y)dy du(x, y)= dx dy，显然对应相等x yP(x,y)P(x,y)U U, ,x xQ(X，y)而P2U UQ Qx y(必要条件须构造u(x, y) Pdxy y x x y y x xx0, y0Qdy亦可证)，因此，P(x,y)dxP(x,y)dx Q(x,

15、y)dyQ(x,y)dy 是 u(x,y)u(x,y)全微分的充要条件依旧是:y =0Q当然，前提是一阶连续偏导数存在，因此仍然仅在单连通域内有效。从式中可见,P(x,P(x, y)dxy)dx Q(x,Q(x, y)dyy)dy 存在是 u(x,y)u(x,y)的全微分的充要条件与坐标曲线积分路径无关的充要条件是一样的。因此，u(x, y)yPdx Qdy与积分路径无关。x0, y0若存在这个函数，那么如何求得这个函数u(x,y)?u(x,y)?x,yx,yu(x,y)Qdy,可求x x ,y,y因为构造出来的存在，因此满足积分与路径无关，因此，自己可以选择折线进行 积分，这样每条横或竖的折

16、线总能有 dxdx 或 dy=0,dy=0,。如果 x0 x0 , , y0y0 可以任意选，一般选择原点(得到 0,0, 0 0 处的特解)。如果不选择原点，则结果与选择原点的结 果相差一个常数 C,C,有OysyO.dysOck二。x=xU-MO (id.yO)u(x, y)x,yx0,y0Pdx Qdy=xx0P(2,y0)此处要注意代入的不是y,而是y0dxyy0Q(l,此处代入的是这种上下限是二元的积分，按给定的具体路径积。像我们做的路径无关的，自己定制了横竖的折线去积的，之所以能导出后面的式子，是因为每条直线分别积，一个直线消去了 dx=0dx=0，一个直线消去了 dy=0dy=0

17、(注：若要计算x1,y1x1y1u(x，y)x0，y0Pdx Qdy.狒Lydxy0注w其实只要不跳步的用公式，而是自己画图认真算算，是不会错的，就怕背公式， 还不熟，就错了)根据上例证明时构造的设 F(x,F(x, y)y) P(x,y)iP(x,y)i Q(x,y)jQ(x,y)j 是连通的开区域 D D 上的有连续偏导数的向量场，则 以下四个条件是等价的: 1 1 曲线积分 PdxPdx QdyQdy 与路径无关 2 2 对 D D 内任何封闭的曲线 L L 均有？LPdx Qdy =03 3 PdxPdx QdyQdy 是某函数 u u (x,(x, y)y)的全微分，即 PdxPdx

18、 QdyQdy dudu 4F(P,Q)4F(P,Q)是势场(梯度场)：即存在 u(x,y)u(x,y)使得F grad u(即 P,Q积分换二重积分计算。(非闭区域可以加边法) 3 3 如果 1212 均难以满足，只能转换为定积分慢慢求了。遇到求解 P(x,P(x, y)dxy)dx Q(x,Q(x, y)dyy)dy 0 0 这个方程。如果恰有u(x,y)u(x,y)，使得 P(x,P(x, y)dxy)dx Q(x,Q(x, y)dyy)dy du(x,du(x, y)y)，上面求 u(x,y)u(x,y)已经说过，若存在 u(x,y),u(x,y),则通解是 u(x,y)=Cu(x,y

19、)=Cx,yx,y因此，通解为u(x,y)x0P(x,y)dx Q(x,y)dy=Cx x u u ,y,y其中 x0 x0 , , y0y0 自己选一个恰当的。和上面的一样。若 D D 是单连通区域，则以上四个条件等价丁=0先看是否若是，说明路径无关，故可以自己选一条简单的折线u u, )若与积分路径有关，但比较简单如常数，则可以用格林公式转,说明存在4对面积的曲面积分(第一类曲面积分)其公式是简单的，二重积分中已经学过求空间曲面的面积, 那时候没有被积函数，如果添加一个的话，就求得了空间曲面的质量。f(x, y,z)dS=f(x, y,z(x, y) Ji Zx2x2Zy y2dxdyD

20、Dxoy显然，也可以投影到 yozyoz 平面或者 xozxoz 平面，公式做相应更改即可。课后典型题(6) r由直线段AB.BC和CD组成，其中AB：x=Of=Ott=r(0r dz+QSy)抑化成对孤长的曲线积 分，其中L为，(1)在内沿直线从点(0,0)到点(KDi(2沿抛物线从点(0,。)到点(bl)i3)沿上半昭周#+丁=2工从点(0,0)到点(ML解(1L为从点(0,1)的有向线段，其上任一点处的切向虽的方向余弦满足COS a COS P=COS于是P(H,y)dr+ Q= P(xiy)cos a + Q(x,cos /?jdsL LJ J ( (h h(6)1字版其中为折线ABCD.iA.B.C.D依次为点(0,0,(0,r0.2)、(1,。，2),(1,3,2)*于是42