第8章矩阵特征值问题计算ppt课件

1、第第8 8章章 矩阵特征值问题计算矩阵特征值问题计算 8.1 引 言 物理、力学和工程技术的很多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值问题.例如，振动问题大型桥梁或建筑物的振动、机械的振动、电磁振荡等，物理学中某些临界值确实定，这些问题都归结为下述数学问题)2()( det)det()(12211212222111211的项次数naaaaaaaaaaaaAInnnnnnnnnn 定义1. 1知 ，那么称nnijaA)(为 的特征多项式. A 的特征方程A0)det()(AI1.1普通有 个根(实的或复的，重根按重数计算)(当 时， 为实系数 次代数方程，其复根共轭成对出现)，称为 的特征值. nn

2、nA R0)(nA 用 表示 的一切特征值的集合. )(AA0)(xAI1.2的非零解 称为矩阵 的对应于 的特征向量. xA 2 设 为 特征值，相应的齐次方程组 A 例1 求 的特征值及特征向量，其中 A.210131012A 解 矩阵 的特征方程为 A, 08147)det()(23AI求得 特征值为： A.4,2, 1321对应于各特征值的特征向量分别为： .121,101,111321xxx 定理1 设 为 的特征值且 ，其中 , 那么nnA RxAx0 x 1 为 的特征值 为常数 ); ccAc0c 2 为 的特征值，即 ppIA ;)()(xppIA 3 为 的特征值； kkA

3、 4 设 为非奇特阵，那么 且 为 特征值，即A011A.11xxA 定理2 设 为 阶矩阵 特征值，那么 ), 2 , 1(niinnnijaA)(.)det()2();()1 (2111nniiiniiAAtra 定理3 设 ，那么 nnA R).()(AAT 定理4 设 为分块上三角阵，即 A,22211211mmmmAAAAAAA其中每个对角块 均为方阵，那么 iiA. )()(1miiiAA 定理5 设 与 为类似矩阵即存在非奇特阵 使 )，那么ABPAPPB1 1 与 有一样的特征值；AB 2 假设 是 特征向量，那么 是 特征向量. yBPyA 定理5阐明，一个矩阵经过类似变换后

4、特征值不变. 定义2 设 ，假设 有一个重数为 的特征值 且对应于 的矩阵 的线性无关的特征向量个数少于 (一般 )，称 为亏损矩阵. nnA RAkAkkA 定理6 1 可对角化，即存在非奇特矩阵 使 nnA RPnAPP211的充要条件是 具有 个线性无关的特征向量. An 2 假设 有 个 不同的特征值 那么对应的特征向量 线性无关. nnA Rm)(nm ,21mmxxx,21 定理7对称矩阵的正交约化设 为对称矩阵，那么： nnA R 1 的特征值均为实数； A 2 有 个线性无关的特征向量； An 3 存在一个正交矩阵 使得 P,211nAPP且 为 特征值，而 的列向量 为 的对

5、应于 的特征向量. A), 1(nii),(21nuuuPjuAj 定义3 设 . 令： nnijaA)( (1) );,2, 1(1niarnijjiji (2) 集合 . 称复平面上以 为圆心，以 为半径的一切圆盘为 的Gerschgorin圆盘. C,zrazzDiiiiiiairA 定理8 Gerschgorin圆盘定理1 设 ，那么 的每一个特征值必属于下述某个圆盘之中 nnijaA)(A).,2, 1(1niaranijjijiii或者说， 的特征值都在复平面上 个圆盘的并集中. An 2 假设 有 个圆盘组成一个连通的并集 ，且 与余下 个圆盘是分别的，那么 内恰包含 的 个特征

6、值. AmSSmn SAm 特别地，假设 的一个圆盘 是与其他圆盘分别的(即孤立圆盘)，那么 中准确地包含 的一个特征值. AiDiDA 证明 只就(1)给出证明. 设 为 的特征值，即 A.0),(,21TnxxxxxAx其中记 思索 的第 个方程，即 0max1xxxinikxAxk,1knjjkjxxa或 ,)(nkjjkjkkkxaxa于是 ,nkjkjknkjjkjkkkaxxaxa即 .knkjkjkkraa 这阐明， 的每一个特征值必位于 的一个圆盘中，并且相应的特征值 一定位于第 个圆盘中其中 是对应特征向量 绝对值最大的分量的下标. AAkkx 利用类似矩阵性质，有时可以获得

7、 的特征值进一步的估计，即适中选取非奇特对角阵 A112111nD并做类似变换 . 适中选取 可使某些圆盘半径及连通性发生变化. nnijijaADD1,2, 1( ii), n 例2 估计矩阵 411101014A特征值的范围. 解 的3个圆盘为 A,24:,2:, 14:321DDD 由定理8，可知 的3个特征值位于3个圆盘的并集中，由于 是孤立圆盘，所以 内恰好包含 的一个特征值 为实特征值，即A1D1DA1531 的其他两个特征值 包含在 的并集中. A32,32, DD 现选取对角阵 9.0111D做类似变换 .49.09.09100101411ADDAA 的3个圆盘为 1A.8.1

8、4:,910:, 14:321EEE 显然，3个圆盘都是孤立圆盘，所以，每一个圆盘都包含 的一个特征值为实特征值且有估计 A.2.28.5,919919,53321 定理9 (Schur定理设 ，那么存在酉阵 使 nnA RU),(22211211上三角阵RrrrrrrAUUnnnnH其中 为 的特征值. A),2, 1(nirii 当 时，假设限制用正交类似变换，由于 有复的特征值， 不能用正交类似变换约化为上三角阵. nnA RAA 定理10 实Schur分解设 ，那么存在正交矩阵 使 nnA RQ,22211211mmmmTRRRRRRAQQ其中对角块 为一阶或二阶方阵，且每个一阶 是

9、的实特征值，每个二阶对角块 的两个特征值是 的两个共轭复特征值. ),2, 1(miRiiiiRAjjRA 定义4 设 为 阶实对称矩阵，对于任一非零向量 ，称 Anx),(),()(xxxAxxR为对应于向量 的瑞利Rayleigh商. x 定理11 设 为对称矩阵其特征值次序记为 ，那么nnA R)21n.),(),(min.2;),(),(max.2);R(),(),(.10R0R11xxxAxxxxAxxxxxAxxxnxxnnnn对任何 证明 只证 1. 由于 为实对称矩阵，可将 对应的特征向量 正交规范化，那么有 n,21Anxxx,21.),(ijjixx 设 为 中任一向量，那

10、么有展开式 0 xnR,0,211221niiniiixxx于是 .),(),(1212niiniiixxxAx从而1成立. 结论1阐明瑞利商必位于 和 之间. n1 8 . 2 8 . 2 幂法及反幂法幂法及反幂法 8.2.1 幂法 幂法是一种计算矩阵主特征值矩阵按模最大的特征值及对应特征向量的迭代方法，特别适用于大型稀疏矩阵. 反幂法是计算海森伯格阵或三对角阵的对应一个给定近似特征值的特征向量的有效方法之一. 设实矩阵 有一个完全的特征向量组，其特征值为 ，相应的特征向量为 . 知 的主特征值是实根，且满足条件 nnijaA)(n,21nxxx,21A,321n2.1现讨论求 及 的方法.

11、 11x 幂法的根本思想是任取一个非零的初始向量 ，由矩阵 构造一向量序列 0vA,011021201vAAvvvAAvvAvvkkk2.2称为迭代向量. 由假设， 可表示为 0v),0(122110设nnxxxv2.3于是 ),()/(1112111122211101kkniikiiknknnkkkkkxxxxxxvAAvv其中.)/(21niikiikx由假设),3 ,2(1/1nii故 ,0limkk2.4.lim111xvkkk从而 这阐明序列 越来越接近 的对应于 的特征向量，或者说当 充分大时 kkv1A1k,111xvkk2.5即迭代向量 为 的特征向量的近似向量除一个因子外.

12、kv1 再思索主特征值 的计算，用 表示 的第 个分量，那么 1ikv )(kvi,)()()()()()(1111111ikiikiikikxxvv2.6故 ,)()(lim11ikikkvv2.7也就是说两相邻迭代向量分量的比值收敛到主特征值. 这种由知非零向量 及矩阵 的乘幂 构造向量序列 以计算 的主特征值 利用2.7式及相应特征向量利用2.5式的方法称为幂法. 0vAkAkvA1 由2.6式知， 的收敛速度由比值 来确定， 越小收敛越快，但当 时收敛能够就很慢. 11)()(ikikvv12rr112r 定理12 设 有 个线性无关的特征向量，主特征值 满足 nnA Rn1,321n

13、那么对任何非零初始向量 , (2.4), (2.7) 式成立. )0(1v 假设 的主特征值为实的重根，即 ，且 Ar21,1nrr又设 有 个线性无关的特征向量， 对应的 个线性无关特征向量为 ，那么由2.2式 An1rrxxx,21,)/(11110nriikiiriiikkkxxvAv).0(lim111riiiriiikkkxxv设 这阐明当 的主特征值是实的重根时，定理5的结论还是正确的. A 运用幂法计算 的主特征值 及对应的特征向量时，假设 或 ，迭代向量 的各个不等于零A11111kv的分量将随 而趋向于无穷或趋于零，这样在计算机实现时就能够“溢出. k 为了抑制这个缺陷，就需

14、求将迭代向量加以规范化. 设有一向量 ，将其规范化得到向量 0v,)max( vvu 其中 表示向量 的绝对值最大的分量，即假设有 )max( vv,max10iniivv那么 ，且 为一切绝对值最大的分量中的最小下标. oivv)max(0i 主特征值为单特征值的条件下幂法可这样进展： 任取一初始向量 ，构造向量序列 )0(010v)max( v,)max(,)max(,)max()max(,)max(,)max()max(,0001002022220021200111001vAvAuvAvAvvAvAvvuAvvAAuvAvAvvvuAvAuvkkkkkk由2.3式 ,2111110nii

15、kiikniikiikxxxvA2.8).()(maxmaxmax)(max1121112111211112111100kxxxxxxxxxxvAvAuniikiiniikiiniikiikniikiikkkk这阐明规范化向量序列收敛到主特征值对应的特征向量. 同理，可得到 ),(,maxmax)max(,max12111121111211111121111kxxxxvxxxxvniikiiniikiikniikiikniikiikk收敛速度由比值 确定. 12r 定理13 设 有 个线性无关的特征向量，主特征值 满足 , 那么对恣意非零初始向量 ，按下述方法构造的向量序列 nnA Rn1n3

16、21)0(100uv:,kkvu),2, 1(./),max(,0100kvuvAuvuvkkkkkkk2.9那么有 .lim)2(,)(maxlim)1(111kkkkxxu 例3 用幂法计算 0.225.05.025.00.10.15.00.10.1A的主特征值和相应的特征向量. 计算过程如表8-1. 表8-1的结果是用8位浮点数字进展运算得到的， 的分量值是舍入值. 于是得到 ku5365323.21及相应的特征向量 和相应的特征向量的真值8位数字为 1.)16497.0,74822116.0(T.)164966116.074822116.0(,5365258.211Tx 5365323

17、.2)16497.07482.0(205365374.2)16497.07482.0(195365456.2)16497.07482.0(185365598.2)16497.07482.0(175365840.2)16497.07483.0(165366256.2)16497.07483.0(155380029.2)16508.07494.0(105587918.2)16674.07651.0(57500000.2)18182.09091.0(1)111(0)max(18kTkvuk（规范化向量）表 8.2.2 8.2.2 加速方法加速方法 原点平移法 由前面讨论知道，运用幂法计算 的主特征值

18、的收敛速度主要由比值 来决议，但当 接近于1时，收敛能够很慢. A12rr 一个补救的方法是采用加速收敛的方法. 引进矩阵 ,pIAB其中 为选择参数. 设 的特征值为 ，那么 的相应特征值为 ，而且 的特征向量一样. pAn,21Bpppn,21BA, 假设要计算 的主特征值 ，就要适中选择 使 依然是 的主特征值，且使 A1pp1B.1212pp对 运用幂法，使得在计算 的主特征值 的过程中得到加速. 这种方法通常称为原点平移法. BBp1 例4 设 有特征值 44RA),4,3 ,2, 1(15jjj比值 . 作变换 9.0/12r),12(ppIAB那么 的特征值为 B.1,0, 1,

19、24321运用幂法计算 的主特征值 的收敛速度的比值为 B1.9.021121212pp 选择有利的 值，虽然可以使幂法得到加速，但问题在于如何选择适当的参数 . pp 设 的特征值满足 A,121nn2.10那么不论 如何， 的主特征值为 或 .当希望计算 及 时，首先应选择 使 ppIABp1pn11xp,1ppn且使收敛速度的比值 .min,max112ppppn显然，当 , 即 时 为最小，这时收敛速度的比值为 ppppn112*22ppn.2*212112nnnpppp 当 的特征值满足2.10且 能初步估计时，就能确定 的近似值. An,2*p 当希望计算 时，应选择n*,211ppn 例5 计算矩阵0.225.05.025.00.10.15.00.10.1A的主特征值. 使得运用幂法计算 得到加速. n 作变换 取 ，那么 ,pIAB75.0p.25