2018-2019学年人教A版必修4平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教案

1、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目的：要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式能用所学知识解决有关综合问题 .教学重点：平面向量数量积的坐标表示教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1 .两个非零向量夹角的概念已知非零向量 a与b ,作OA= a, 08=13,则/人08=。（0W。兀）叫a与 b的夹角.2 .平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与b ,它们的夹角是0 ,则数量ai|b|cos训a与b的数量积，记作 a b,即有a b = |a|b|c

2、os6,（ow。w兀）.并规定0与任何向量的数量积为0.3 .向量的数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos6的乘积.c4 .两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.1 ea = ae =|a|cosi2a_b：= ab = 03 口当a与b同向时，a b = |a|b|;当a与b反向时，a b = -|a|b|.特别的a a = |a|2或 if | a | 二 a aa b4 cos日 "一 ； 5 1abi < |a|b|a|b|5 .平面向量数量积的运算律 交换律：a b = b a数乘结合律：（, a） b

3、 = 1 （a b） = a （ 1 b）分配律：（a + b） c = a c + b c二、讲解新课：1 .平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量 a=(xyi), b = (X2,y2),试用a和b的坐标表示a,b.设i是x轴上的单位向量，j是y轴上的单位向量，那么 a = x1i+y1j, b = x2i + y2j22所以 a b = (x1iy1j)(x2iy2j)= x1x2ix1y2ijx2 ylijy1 y2 j又 i i =1 , j j =1, i J = j i =0,所以 a b =x1x2 +y1y2这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即a b

4、 = x1x2 + y1 y22.平面内两点间的距离公式设 a = (x, y),则 | a |2= x2 + y2或 | a |= Jx2 + y2 .(2)如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(为)、(x2,y2),那么|a|=d(xi x2) + (yi - y2)(平面内两点间的距离公式 )向量垂直的判定设 a=(x1，yi), b =(x2, y2),则 a，b u xx2+yiy2=0两向量夹角的余弦(0 Wn )X1 x 2y1 y 222-22x 1y1x 2y2四、讲解范例:五、设a = (5, -7), b = (-6, M),求ab及a、b间的夹角0 (精确到

5、1o)例2已知A(1,2), B(2, 3), C(-2, 5),试判断 ABC的形状，并给出证明例3已知a = (3,-1), b = (1, 2),求满足x a = 9与xb = -4的向量x.解：设 x = (t, s),x a=9 3t -s = 9ft=2x b = -4J + 2s = -4、s = -3x = (2,-3)例4已知a= ( 1 ,J3), b= ( J3 + 1 , J3 1 ),则a与b的夹角是多少？分析：为求a与b夹角，需先求ab及|a| | b | ,再结合夹角0的范围确定其值解：由 a= ( 1 , J3), b= ( J3 + 1 , <3 1 )

6、有 a b=翼 + 1 + J3 （黎 1）=4, | a|=2, | b|=2 22 .记a与b的夹角为。，则c o s 0 = a b = E2a b 2例5如图，以原点和A(5, 2)为顶点作等腰直角坐标.解：设 B 点坐标(x, y),则 OB = (x, y), AB = OB_LAB，x(x-5) + y(y2) = 0 即：x2 + y又|OB| = | aB|x2 + y2 = (xw)2 + (y2)2 即：7山；x2 +y2 -5x-2y =0 J = 2 叶x2 =由=>2或(J0x+4y=29v 3 v -Lyyi 一 1y2 一OAB,使/B = 90 

7、6;,求点B和向量 AB的(x5, y2)2_cc-5x - 2y = 010x + 4y = 297又< 0 < 0 < Tt ,0 =4评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定 73、3 7二. B 点坐标(一,一一)或(一，一)；A 222 2例 6 在 4ABC 中，AB =(2 , 3),求k值.解：当 A = 90 时，aB AC = 0, .当 B = 90 时，AB BC = 0, 12X(1) +3 x (k3) = 0当 C = 90 时，AC BC = 0, .六、课堂练习： 一一，21.若 a=(-4, 3), b=(5, 6),则 3|a|

8、2 工2q0/37 十/ 7 3 B =(一，一)或(一，一)2 22 2AC =(1, k),且 ABC的一个内角为直角，- 2X1 +3X k = 0k = -2BC = AC -AB = (12, k3) = (-1, k-3)11 k =33 土石3- -1 + k(k3) = 0.1. k =24 a b=()A.23B.57C.63D.832 .已知 A(1, 2), B(2, 3), C(-2, 5),则 ABC 为()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不等边三角形3 .已知a=(4 , 3),向量b是垂直a的单位向量，则 b等于()A.(3,4)或(4,3)5 55

9、 5B.(',4)或(-3,，)5 5553 4 -3 4D.(一 ,-)或(一，一)555 54 .a=(2, 3), b=(-2, 4),则(a+b) (a-b尸七、小结1.两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即a,b = x1x2 + y1y25 .设 a =(x, y),则 |a |2 = x2 + y2或| a |= %x2 + y2 .a bxi x 2yi y2cos 1 =二1 a | 1 b|. x： y： x22v;6 .|a|=J(x1 -x2)2+(y1一y?)2 (平面内两点间的距离公式)7 .设 a =(x，y)，b = (x2, y2),则 a _L b u 不乂