2017年深圳市公务员考试数学运算之几何问题解析

1、2017 年深圳市公务员考试数学运算之几何问题面积基本公式：(1)三角形的面积S= 1/2ah(2)长方形的面积S = axb(3)正方形的面积S=a2(4)梯形的面积S= (a+b)/2 xh(5)圆的面积=兀2 = 1/4 Ttd2( 1 )等底等高的两个三角形面积相同；( 2)等底的两个三角形面积之比等于高之比；( 3)等高的两个三角形面积之比等于底之比。解决面积问题的核心是 “割、 补” 思维， 即当我们看到一个关于求解面积的问题，不要立刻套用公式去求解， 这样做很可能走入误区， 最后无法求解或不能快速求解。 对于此类问题通常的使用的方法就是 “辅助线法” 即通过引入新的辅助线将图形分

2、割或者补全为很容易得到的规则图形，从而快速求得面积。体积基本公式：(1)长方体白体积V=abc (2)正方体的体积V = a3圆柱的体积V = Sh =冗2 , S为圆柱底面积。圆锥的体积 V=1/3Sh =1/3曲2hS 为圆锥底面积。周长基本公式：(1)长方形的周长C=(a+b)x2(2)正方形的周长 C = aX4(3)圆的周长 C = 2 nr = nd例1、现有边长1米的一个木质正方体，已知将其放入水里，将有 0.6米浸入水 中，如果将其分割成边长0.25米的小正方体，并将所有的小正方体都放入水中， 直接和水接触的表面积总量为()。A 3.4平方米B 9.6平方米C 13.6平方米D

3、 16平方米【解析】边长1米的一个木质正方体放入水里，有0.6米浸入水中，说明要考虑 水的浮力的作用，并且告诉了浮力的大小。可以得到的小正方体有 64个，每一 个直接和水接触的表面积包括一个底面和 4个侧面的60%。根据题意，直接和 水接触的表面积总量为 64 X (0.25 X0.25+40.6 X0.25 X0.25) =13.6 (平方米)， 答案选Co例2、甲、乙两个容器均有50厘米深，底面积之比为5 ：4,甲容器水深9厘米, 乙容器水深5厘米，再往两个容器各注入同样多的水，直到水深相等，这时两容 器的水深是()。A 20厘米B 25厘米C 30厘米D 35厘米【解析】不妨假设两个容器

4、的底面积分别为 5和4,设注入同样多的水后相等的 水深为x厘米，根据题意，注入水的体积相等，得到方程 5 (x-9) =4 (x-5), 解方程得x=25 (厘米)。答案选Bo例3、半径为5厘米的三个圆弧围成如右图所示的区域，其中 AB弧与AD弧为四分之一圆弧，而BCD弧是一个半圆弧，则此区域的面积是多少平方厘米？（）【解析】作辅助线如右图所示，显然所求区域面积等于矩形BDEF的面积，即5X10=50 （平方厘米）。答案选Co例4、一个边长为8的正立方体，由若干个边长为1的正立方体组成，现在要将 大立方体表面涂漆，请问一共有多少个小立方体被涂上了颜色？（）A 296B324C328D384【解

5、析】解法一：大立方体的表面积就是被涂了色的小立方体的面数，等于 8X 8X6=384 （面），其中顶点上的8个小立方体每个都有3个面被涂了颜色，12 条棱每条棱上有6个小立方体每个都有2个面被涂了颜色。可以想象，被涂色 的小立方体的个数与被涂了色的小立方体的面数相比，3个面被涂了颜色的小立 方体算了 3次，2个面被涂了颜色的小立方体算了 2次，因此，被涂色的小立方 体的个数=384-2 X8-12 X6=296 （个）。答案选 A。解法二：小立方体共有83=512 （个），其中在内部（没有一个面在外侧）的共 有63=216 （个），则在外部的共有512-216=296（个），因此，被涂色的小立

6、 方体有296个。答案选A例5、右图中心线上半部与下半部都是由 3个红色小三角形，5个蓝色小三角形与8个白色小三角形所组成。当把上半图沿着中心线往下折叠时，有 2对红色小三角形重合，3对蓝色小三角形重合，以及有2对红色与白色小三角形重合，试问有多少对白色小三角形重合？()A 4B 5C 6D 7【解析】依题意，该图共有6个红色小三角形，10个蓝色小三角形，16个白色 小三角形，折叠后有6个红色小三角形，6个蓝色小三角形，2个白色小三角形 重合，可以想象剩余的4个蓝色小三角形要与4个白色小三角形重合，于是剩 余的10个白色小三角形重合，即5对。答案选Bo例6、半径为1厘米的小圆在半径为5厘米的固

7、定的大圆外滚动一周，小圆滚了 几圈？()A 4B 5C 6D 7【解析】小圆在大圆外滚动一周的圈数等于大圆周长与小圆周长比较的倍数。圆周等于2,即圆周的倍数等于半径的倍数，即答案为 5。选Bo例7、欲建一道长100尺，高7尺的单层砖墙，能够使用的砖块有两种：长 2尺高1尺或长1尺高1尺(砖块不能切割)。垂直连接砖块必须如右图所示交错问隔，且墙的两端必须砌平整试问至少需要多少砖块才能建成此墙？()A 347B350C353D366【解析】由墙高7尺可知共需砌7层，要用砖尽量少，则第1、3、5、7层用 50块长2尺高1尺的砖，2、4、6层两头各用一块长1尺高1尺的砖，中间用 49块长2尺高1尺的砖

8、。所以共需用砖4X50+3 X (49+2 ) =353 (块)。答案 选Co例8、设有边长为2的正立方体。假定在它顶上的面再粘上一个边长为 1的正立方体(如右图)。试问新立体的表面积比原立方体的表面积增加的百分比最接近于ZZZ7I下面哪一个数？()A 10B15C17D21【解析】原立方体的表面积为：2 X2 X6=24 ,新立方体的表面积为：2 X2 X6+1X1X4=28 ,增加的百分比为：28-2424 =17%。答案选C。例9、一个油漆匠漆一间房间的墙壁，需要3天时间。如果用同等速度漆一间长、宽、高都比原来大一倍的房间的墙壁，那么需要多少天?()A 3B 12C24D30【解析】长、

9、宽、高都比原来大一倍，表面积就是原来的4倍，因此需要3X4=12（大）。答案选B例10、对右图方格板中的两个四边形，下列表述正确的是 （）。 A四边形I的面积大于四边形口的面积B四邸I的面积小于四边形口的面积C两个四边形有相同的面积，但I的周长大于口的周长D两个四边形有相同的面积/旦I的周长小于n的周长【解析】将两个四边形分成四个三角形，如下图所示，四个三角形等底等高，面积相等，因此，两个四边形有相同的面积；同时，2, 4完全相同，1和3的两条底边相等，第二、三条边3比1长。因此，I的周长小于II的周长。答案选Do例11、设S、R、T三点为一等边三角形的三个顶点， X、Y、Z为ASRT三边的中

10、点。若用此六个点中的任意三个点作顶点，可有多少类面积不等的三角形？（）A 2B 3C 4D 5【解析】如图所示，可以看到，不同形状的三角形有 SRT、ZXRY、与YR、3XY四类，其中SXY和RY面积相等，所以，共有3类面积不等的三角形。答案例12、一家冷饮店，过去用圆柱形的纸杯子装汽水，每杯卖 2元钱，一天能卖100杯。现在改用同样底面积和高度的圆锥形纸杯子装，每杯只卖1元钱。如果该店每天卖汽水的总量不变，那么现在每天的销售额是过去的多少？（）A 50 %B 100 %C 150 %D 200 %【解析】过去每天的销售额是 2X100=200 （元）。由于等底等高的圆柱体的体积是圆锥体的3倍

11、，那么如果该店每天卖汽水的总量不变，每天要卖300杯，则现在每天的销售额是1 X300=300 （元），是原来的1.5倍。答案选Co例13、一个长方体形状的盒子长、宽、高分别为 20厘米、8厘米和2厘米，现在要用一张纸将其六个面完全包裹起来，要求从纸上剪下的部分不得用作贴补，请问这张纸的大小可能是下列哪一个 ？（）A 长25厘米、宽17厘米B 长26厘米、宽14厘米C 长24厘米、宽21厘米D 长24厘米、宽14厘米【解析】纸的面积一定大于或等于长方体的表面积，通过运算，符合条件的只有Co答案选Co例14如图，三角形ABC的面积为1 ,并且AE=3AB , BD=2BC ,那么ABDE的面积是

12、多少？D解：在zBDE 与MBC 中，ZDBE+ ZABC=180 ° 因为 AE=3AB，所以 BE=2AB .又 因为 BD=2BC ,所以 SzBDE=2 X2XSAABC=4 X1=4 .答：zBDE的面积是4.例15如图，在ZXABC中，AB是AD的6倍，AC是AE的3倍.如果zADE的 面积等于1平方厘米，那么 ABC的面积是多少?解：在AABC 与AADE 中，/BAC= /DAE.因为 AB=6AD , AC=3AE ,所以 SAABC=6 X3XSzADE=18 X1=18 （平方厘米）.答：9BC的面积为18平方厘米.例16如图，将那BC的各边都延长一倍至 A&#

13、39;、B'、C',连接这些点，得到一个新的三角形A'B'C'.若ABC的面积为1,求用B'C的面积.解:在a'B'B与AABC 中，A'BB'+ZABC=180 ° 因为 AB=AA '所以A'B=2AB 又因为 B'B=BC,所以 SA'B'B=1 X2 XSABC=2S MBC=2 .同理 SB C C=2 X1 XSzABC=2 .SWC'A=2 X1XS9BC=2 .所以 SzAB C =S $ B B+S 9 C C+S $ C A+S ABC=

14、2+2+2+1=7答：AABCZ的面积为7.例17如下图，将凸四边形ABCD的各边都延长一倍至 A' B'、C'、D',连接 这些点得到一个新的四边形 A'B'CD '若四边形A'B'CD '的面积为30平方厘米， 那么四边形ABCD的面积是多少？分析 要求四边形ABCD的面积，必须求出四边形ABCD与四边形A'B'CD'的关 系，因而就要求出 A'B'B、zBCC> B'D'D、AAD'A与四边形ABCD的关系.*解：连结AC、 BD.因为A&

15、#39;A=AB ,所以 A B=2AB ,在a'B'B 与 AABC 中，/A'BB'+ZABC=180 又因为 BB=BC ,所以有 SA'B'B=2 X1 XSzABC=2S MBC.同理 有 SzB C C=2 X1 XSABCD=2S ZBCDS"D'D=2 X1 XSzADC=2S MDCSM D A=2 X1 XSMBD=2S zABD .所以 S 四边形 A BC D =S M BB+S & C C+S & D D+S 0 D 'A+S 四边形 ABCD=2S zABC+2S &C

16、D+2s ADC+2s zABD+S 四边形 ABCD=2 (SMBC+S MDC) +2 (S&CD+S aBD ) +S 四边形 ABCD=2S四边形ABCD+2S四边形ABCD+S四边形ABCD=5S四边形ABCD则S四边形ABCD=30y=6 (平方厘米).答：四边形ABCD的面积为6平方厘米.例5 如下图，在ZXABC中，BD = DC, AA】=gAD, AR =B1C1=C1C , M1B1C1的面积为1平方厘米，则4ABC的面积为多少平方厘米?：,解：连接A1C.如上图在&B1C 与AA1B1C1 中，ZBB1C+ ZA1B1C1=180 ° ,因为所

17、以BBi = 2AE,又因为瓦加二 CQ,所以BC=2BiCi，A1B1 =所以有 SzBB1C=2 X2XSM1B1C1=4 X1=4 （平方厘米）.在M1C1C 与AA1B1C1 中，ZA1C1C+ ZA1C1B1=180 ° ,因为CC1=C1B1 , A1C1=A1C1，所以有 SzA1C1C=1 X1 XSzA1B1C1=1 X1=1 （平方厘米）.在aBD 与AADC 中，ZADB+ ZADC=180 ° .因为BD=DC ,AD =ADf 所以有£小帅口 二u5S.lI ad,所以有在MBA1 与AABD 中，/BAA1= /BAD.因为 AB=AB

18、 , AA1= 3= 1 乂 耳 X 细 口 二二AAE C -同理，岫c =渣期所以 3占即=S&BB|C +*&A|C|C +3&AAC+S 占 AjB|C|1 1= 4 + l + -Sc +S岫 C+1=6+/帅（：2因此IS 11ABe =6 %由二% 答：三角形ABC的面积为9平方厘米.最短路线问题：通常最短路线问题是以“平面内连结两点的线中，直线段最短”为原则引申 出来的.人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最 短路线问题.在本讲所举的例中，如果研究问题的限制条件允许已知的两点在同一平面内，那么所求的最短路线是线段；如果它们位于凸多

19、面体的不同平面上， 而允许 走的路程限于凸多面体表面，那么所求的最短路线是折线段；如果它们位于圆柱 和圆锥面上，那么所求的最短路线是曲线段；但允许上述哪种情况，它们都有一 个共同点：当研究曲面仅限于可展开为平面的曲面时， 例如圆柱面、圆锥面和棱 柱面等，将它们展开在一个平面上，两点间的最短路线则是连结两点的直线段.这里还想指出的是，我们常遇到的球面是不能展成一个平面的. 例如，在地 球（近似看成圆球）上 A、B二点之间的最短路线如何求呢？我们用过 A、B两 点及地球球心O的平面截地球，在地球表面留下的截痕为圆周（称大圆），在这 个大圆周上A、B两点之间不超过半个圆周的弧线就是所求的 A、B两点

20、间的最 短路线，航海上叫短程线.在求最短路线时，一般我们先用“对称”的方法化成两点之间的最短距离问 题，而两点之间直线段最短，从而找到所需的最短路线.像这样将一个问题转变 为一个和它等价的问题，再设法解决，是数学中一种常用的重要思想方法.例1如下图，侦察员骑马从A地出发，去B地取情报.在去B地之前需要 先饮一次马，如果途中没有重要障碍物，那么侦察员选择怎样的路线最节省时间， 请你在图中标出来.B一河岸解：要选择最节省时间的路线就是要选择最短路线.作点A关于河岸的对称点 A',即作AA'垂直于河岸，与河岸交于点C,且使AC=A 'C,连接AB交河岸于一点P,这时P点就是饮

21、马的最好位置，连接PA,此时PA+ PB就是侦察员应选择的最短路线.证明：设河岸上还有异于 P点的另一点P',连接P'A, P'B, PA'.P'A+P B = P'A'+P B>AB=PA+PB=PA+PB ,而这里不等式 P'A' -PB> A B成立的理由是连接两点的折线段大于直线段，所以PA+PB是最短路线.此例利用对称性把折线 APB化成了易求的另一条最短路线即直线段 A'B,所以这种方法也叫做化直法，其他还有旋转法、翻折法等.看下面例题.例2如图一只壁虎要从一面墙壁 a上A点，爬到邻近的另一

22、面墙壁B上的B点捕蛾，它可以沿许多路径到达，但哪一条是最近的路线呢?解：我们假想把含B点的墙B顺时针旋转90° （如下页右图），使它和含A 点的墙a处在同一平面上，此时超过来的位置记为B' B点的位置记为B'则A、B'之间最短路线应该是线段AB',设这条线段与墙棱线交于一点P,那么，折线 4PB就是从A点沿着两扇墙面走到B点的最短路线.证明：在墙棱上任取异于P点的P'点，若沿折线APB走，也就是沿在墙转90 0后的路线APB'走都比直线段APB'长，所以折线APB是壁虎捕蛾的最短路 线.由此例可以推广到一般性的结论：想求相邻两个

23、平面上的两点之间的最短路线时，可以把不同平面转成同一平面，此时，把处在同一平面上的两点连起来，所得到的线段还原到原始的两相邻平面上， 这条线段所构成的折线，就是所求的 最短路线.例3长方体ABCDABCD'中AB=4 , A'A=2 ' ,AD=1 ,有一只小虫从顶点D'出发沿长方体表面爬到B点，问这只小虫怎样爬距离最短？（见图（1）解：因为小虫是在长方体的表面上爬行的，所以必需把含D'、B两点的两个相邻的面“展开”在同一平面上，在这个“展开”后的平面上 DB间的最短 路线就是连结这两点的直线段，这样，从 D'点出发，至旧点共有六条路线供选 择.

24、从D'点出发，经过上底面然后进入前侧面到达B点，将这两个面摊开在一个平面上（上页图（2）,这时在这个平面上D '、B间的最短路线距离就是连 接D'、B两点的直线段，它是直角三角形 ABD'的斜边，根据勾股定理，D'B2=D A2+AB2= （1+2 ） 2 + 42=25 ,Q B=5 .容易知道，从D'出发经过后侧面再进入下底面到达B点的最短距离也是5.从D'点出发，经过左侧面，然后进入前侧面到达B点.将这两个面摊开在同 一平面上，同理求得在这个平面上 D' 6两点间的最短路线（上页图（3）,有:D'B2 = 22+ （

25、1+4 ） 2=29 .容易知道，从D'出发经过后侧面再进入右侧面到达B点的最短距离的平方也 是29.从D'点出发，经过左侧面，然后进入下底面到达B点，将这两个平面摊开在 同一平面上，同理可求得在这个平面上 D'、B两点间的最短路线（见图），DB2= (2+4 ) 2+1 2=37 .容易知道，从D'出发经过上侧面再进入右侧面到达B点的最短距离的平方也 是37.比较六条路线，显然情形、中的路线最短，所以小虫从 D'点出发，经 过上底面然后进入前侧面到达 B点（上页图（2）,或者经过后侧面然后进入下 底面到达B点的路线是最短路线，它的长度是 5个单位长度.

26、利用例2、例3中求相邻两个平面上两点间最短距离的旋转、翻折的方法， 可以解决一些类似的问题，例如求六棱柱两个不相邻的侧面上A和B两点之间的最短路线问题（下左图），同样可以把A、B两点所在平面及与这两个平面都 相邻的平面展开成同一个平面（下右图），连接A、B成线段AP1P2B, P1、P2 是线段AB与两条侧棱线的交点，则折线 AP1P2B就是AB间的最短路线.圆柱表面的最短路线是一条曲线，“展开”后也是直线，这条曲线称为螺旋线.因为它具有最短的性质，所以在生产和生活中有着很广泛的应用.如：螺钉 上的螺纹，螺旋输粉机的螺旋道，旋风除尘器的导灰槽，枪膛里的螺纹等都是螺 旋线，看下面例题.例4景泰蓝

27、厂的工人师傅要给一个圆柱型的制品嵌金线，如下左图，如果将金线的起点固定在A点，绕一周之后终点为B点，问沿什么线路嵌金线才能使金线的用量最少?解：将上左图中圆柱面沿母线 AB剪开，展开成平面图形如上页右图（把图 中的长方形卷成上页左图中的圆柱面时，A'、B'分别与A、B重合），连接AB',再将上页右图还原成上页左图的形状，则AB'在圆柱面上形成的曲线就是连接AB且绕一周的最短线路.圆锥表面的最短路线也是一条曲线，展开后也是直线.请看下面例题.例5有一圆锥如下图，A、B在同一母线上，B为AO的中点，试求以A为 起点，以B为终点且绕圆锥侧面一周的最短路线.解：将圆锥面

28、沿母线AO剪开，展开如下图（把右图中的扇形卷成上图中的圆锥面时，A' 6'分别上於、B重合），在扇形中连AB',则将扇形还原成圆锥之后，AB'所成的曲线为所求.例6如下图，在圆柱形的桶外，有一只蚂蚁要从桶外的 A点爬到桶内的B 点去寻找食物，已知A点沿母线到桶口 C点的距离是12厘米，B点沿母线到 桶口 D点的距离是8厘米，而C、D两点之间的（桶口）弧长是15厘米.如 果蚂蚁爬行的是最短路线，应该怎么走？路程总长是多少？由于B点在里分析 我们首先想到将桶的圆柱面展开成矩形平面图 （下图）， 面，不便于作图，设想将 BD延长到F,使DF = BD,即以直线CD为对称轴,作出点B的对称点F,用F代替B,即可找出最短路线了.解：将圆柱面展成平面图形（上图）,延长BD到F,使DF=BD ,即作点B关于直线CD的对称点F,连结A