2007年普通高等学校招生全国统一考试湖南卷

1、2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文史类）一、选择题：本大题共 10小题，每小题 有一项是符合题目要求的.5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只21 .不等式x x的解集是B. (0,)C.(1,=)D . (-： ：，0)U(1,=)2.若O, E, F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ t T TA . EF =0F OETTC . EF =OF OED.謀一肚OE23.设 p:b -4ac 0是q的（ ）A .充分不必要条件C.充分必要条件4.在等比数列an(B .必要不充分条件D.既不充分又不必要条件1，则该数列的前10项和为（）8n N * )中，若

2、ai=1, 842(a式0), q:关于x的方程ax +bx + c = 0 ( a0)有实数，则pB.D . 2-土5.在(1 - x)n（N* ）的二次展开式中，若只有X3的系数最大，则n二（）C. 10D . 116.如图1,在正四棱柱ABCD -ABC1D1 中，E,别是AB1, BG的中点,则以下结论中不成立.的是（A. EF与BB1垂直B. EF与BD垂直C. EF与CD异面D. EF与AG异面Di)C位的频率分布直方图（如图 次的洪水的最低水位是（A . 48 米B . 49 米7.根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水2）.从图中可以看出，该水文观测点平均至少一百年才遇

3、到一 ）D. 51 米C . 50 米频率水位（米）g（x）二log2 x的图象的交点个数是'4x4,x < 1&函数f(X) 2的图象和函数x 4x + 3, x>1B. 2C. 32 29.设R, F2分别是椭圆 笃每=1 （ a b 0 ）的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标a b为、3c （ c为半焦距）的点，且|证冃F?P|，则椭圆的离心率是（10.设集合 M 二1,2,3,4,5,6,S, S2, Sk都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的 S=ai,bj,Sj=4,bj（ i = j , i、j 匸後2,3jI,k）,都有abIla：biminL ,

4、-L min -, 一 （ min x, y表示两个数x, y中的较小者），则k的最大值出a：JbjajJ是（ ）A. 10B. 11C. 12D . 13二、填空题：本大题共 5小题，每小题5分，共25分把答案填在横线上.11.圆心为（1,1）且与直线x-y=4相切的圆的方程是 12.在 ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c，若a=1 , C二n ,3 则A二.13.若 a 0 ,14.设集合 A 二( x, y) | y| x -2 |, x > 0, B =( x, y) | y < -x b , B = -,(1) b的取值范围是；(2) 若(x, y)

5、ARB，且x 2y的最大值为9，则b的值是.15.棱长为1的正方体ABCD-ABfC!。！的8个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积是;设E，F分别是该正方体的棱 AA，DD,的中点，则直线 EF被球0截得的线段长为.三、解答题：本大题共 6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. (本小题满分12分)已知函数 f (x) =1 2sin 2 'x + 匸1+2sin ' x + cos' x + L 求：I 8丿 I 8丿I 8丿(I)函数f(x)的最小正周期;(II)函数f (x)的单调增区间.17. (本小题满分12分)某地区为下岗人员免费提供

6、财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60% ,参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响.(I)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；(II )任选3名下岗人员，求这 3人中至少有2人参加过培养的概率.18. (本小题满分12分)如图 3,已知直二面角：_ PQ 一 一：，A PQ , B . , , CA =CB , BAP 二 45 , 直线CA和平面所成的角为30".(I)证明BC丄PQ ;(II )求二面角B-AC-P的大小.1

7、9. (本小题满分13分)已知双曲线x2 -y2 =2的右焦点为F ,过点F的动直线与双曲线相交于A, B两点，点C的坐标是(1,).(I)证明CA , CB为常数;(II)若动点M满足CM =CA CB CO (其中O为坐标原点)，求点M的轨迹方程.20. (本小题满分13分)设 Sn 是数列an ( n N*)的前 n 项和，aa，且 S； =3n2 Sli， a- 0， n =2,3,4,.(I)证明：数列an .2- ( n > 2 )是常数数列；(II )试找出一个奇数 a，使以18为首项，7为公比的等比数列bn ( nN* )中的所有 项都是数列耳中的项，并指出bn是数列an

8、中的第几项.21. (本小题满分13分)1312已知函数f(x) x ax bx在区间-1,1) , (1,3内各有一个极值点.322(I)求a -4b的最大值；(II )当a2-4b =8时，设函数y = f(x)在点A(1, f(1)处的切线为丨，若丨在点A处穿过函数y = f (x)的图象(即动点在点 A附近沿曲线y = f (x)运动，经过点 A时，从丨的一侧 进入另一侧)，求函数f (x)的表达式.2007年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(文史类)参考答案一、选择题：本大题共 10小题，每小题 5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.I. D

9、2. B 3. A 4 B 5. C 6 D 7. C 8. C 9 D10. B二、 填空题：本大题共 5小题，每小题5分，共25分.把答案填在横线上.II. (x -1)2 (y-1)2 =2n12.613. 3914. (1) 2，:-) (2)-215. 3n,2三、解答题：本大题共 6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.nn16. 解：f (x)二cos(2x ) sin(2x)44= V2sin(2x+ -+-) =2sin(2x+ -) = 72cos2x .442(I)函数f(x)的最小正周期是T =空=n；2(II )当 2k n- nW 2x< 2

10、kn ,即 kn- “W x < k n ( k Z )时，函数 f (x) = 2cos2x2是增函数，故函数 f (x)的单调递增区间是kn-，kn ( Z ).217. 解：任选1名下岗人员，记"该人参加过财会培训”为事件 A ,"该人参加过计算机培训”为事件B，由题设知，事件 A与B相互独立，且P(A) =0.6 , P(B) =0.75 .(I)解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是所以该人参加过培训的概率是1-R=1-0.1=0.9.解法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是F2 二 P(aLB) P(A_B)二 0.6 0.25

11、 0.4 0.75 二 0.45该人参加过两项培训的概率是P,二P(aLb)=0.6 0.75 = 0.45 .所以该人参加过培训的概率是P2 + P = 0.45 + 0.45 = 0.9 .（II ）解法一：任选 3名下岗人员，3人中只有2人参加过培训的概率是P4 =C0.92 7.1 =0.243.33人都参加过培训的概率是P3 =0.9 =0.729.所以3人中至少有2人参加过培训的概率是 P4 R =0.243 0.729=0.972 .解法二：任选3名下岗人员，3人中只有1人参加过培训的概率是C； 2 =0.027 .33人都没有参加过培训的概率是0.1 = 0.001 .Q所以3

12、人中至少有2人参加过培训的概率是 1 _ 0.027 -0.001 =0.972 .18.解：（I）在平面：内过点C作CO丄PQ于点O ,连结OB .因为：丄1一： = PQ，所以CO丄，又因为CA二CB，所以OA = OB .而.BAO 二 45，所以.ABO =45 , . AOB 二 90，从而 BO 丄 PQ，又 CO 丄 PQ ,所以PQ丄平面OBC 因为BC 平面OBC，故PQ丄BC .（II）解法一：由（I）知，BO 丄 PQ，又丄 1= PQ , BO 二：；，所以 BO 丄.过点O作OH丄AC于点H，连结BH，由三垂线定理知， BH丄AC .故.BHO是二面角B - AC -

13、 P的平面角.由（I）知，CO丄，所以.CAO是CA和平面所成的角，贝U CAO =30 ,不妨设 AC =2，贝U AO = , 3, OH = AO sin 30"在 Rt OAB 中， ABO =/BAO =45：，所以 BO = AO = 3 ,于是在Rt BOH中,tan BV2-故二面角B - AC - P的大小为arctan2 .解法二：由（I）知，OC丄OA , OC丄OB , OA丄OB，故可以O为原点，分别以直线OB, OA, OC为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图）因为CO丄a，所以.CAO是CA和平面所成的角，贝U CAO =30 .不妨设AC =2，

14、则AO =营3, CO =1.在 Rt OAB 中，.ABO = . BAO =45：,所以 B0 二 A0 =、3 .O(0,0,0) , BC，3,0,0),A(0, 3,0) , C (0,0,1).所以 AB = (.3 -3,0),Q设n =x, y, z是平面ABC的一个法向量，由=曾0,得-"0,In 1 |AC = 0-3y，z = 0取 x = i，得 n(1,1 八 3).易知阳=(10,0)是平面1的一个法向量.设二面角B -AC - P的平面角为二，由图可知,所以COST =15|'5 15故二面角B - AC - P的大小为arccos5519解：由

15、条件知 F(2,0)，设 A(x1, y1) , B(x2, y2) (I)当AB与x轴垂直时，可设点 A, B的坐标分别为(2,2), (2,-、2),此时 CACB 二(1, 2)_(1, -、)=1 当AB不与x轴垂直时，设直线 AB的方程是y =k(x-2)(k 二1) 代入 x2 _ y2 = 2，有(1 - k2)x2 4k2x - (4k2 20 则x1, x2是上述方程的两个实根，所以,x1x2 二4k22k2 -1于是二化 -1)区-1)yM二化-1)(X2-1) k2(N-2)(X2-2)-(k2 1)x1x2 -(2k2 1)(x1 x2) 4k2 12 2(k 1)(4

16、k2)k2 12 24k (2k1)k2 -14k2 1则相关各点的坐标分别是=(/k2 一2) 4k2 仁一1.综上所述，CAcB为常数-i.I.I(II)解法一：设 M(x, y)，则 CM =(x-1, y),吕=(%-1, yj ,CB =(X2 -1, y2),COoo)，由 Cm.Ca CB Co 得:x 1 = x<i + X2 3, X1 + X2 = x + 2,1 2 即12y =yiy2y1y y于是AB的中点坐标为 口 ,.I 22丿y当 AB不与 x轴垂直时， y1 y2- 二，即 y1 - y2二 一y (x1x x? x*22 x 2x 22 -X2).又因

17、为A, B两点在双曲线上，所以xf-yf =2 , x；-y； =2，两式相减得（X1 X2）（X1X2）=（%-丫2）（%y2），即（X1-X2）（x2）-y2）y .将乂一、2 =（论- x2）代入上式，化简得x2 -y2 = 4 .x 2当AB与x轴垂直时，x, = x2 = 2，求得M （2,0），也满足上述方程.所以点M的轨迹方程是x2 - y2 = 4 .x-1 x2 = x 2,解法二：同解法一得121% F = y当AB不与x轴垂直时，由（I）有X1 X2半k -1y2 = k(x1 x2 _4)二 k由得4k2k2 -14kk2 -1x +2当k = 0时，y = 0，由得，

18、k，将其代入有4y(x 2)(x 2)2 y2整理得X2 - y2 = 4 4 八2 _ 1y当k =0时，点M的坐标为(一2,0)，满足上述方程.当AB与x轴垂直时，x, =x2 =2，求得M (2,0)，也满足上述方程.故点M的轨迹方程是x2 - y2 = 4 20.解：(I)当n > 2时，由已知得 S； _=3寺2因为 an = Sn _ Sn d 0，所以 S ' Sn J = 3n 于是 Sn 1 Sn =3(n 1)2 由得： an 1 - an =6n于是 an 2 a* i = 6n 9 由一得：an 2 -an =6.即数列 ® .2 -a. ( n

19、 > 2)是常数数列.(II)由有 S S, =12，所以 a2 =12-2a .由有 ai - a2 =15，所以 a3 = 3 2a,而表明：数列a2k和a2k 1分别是以a2, a3为首项，6为公差的等差数列.所以 a2k a2 (k_1) 6 = 6k - 2a ' 6 , a?k 1 -a3 (k_1) 6 = 6k 2a - 3 , k - N * .n 1由题设知，bn =18 7 当a为奇数时，Sbk 1为奇数，而bn为偶数，所以bn不是数列a2k 1 中的项，bn只可能是数列a2k中的项.若 b =18 是数列a2k中的第 kn 项，由 18 = 6k - 2a

20、 6 得 a =3k0 -6，取 k0 =3，得 a = 3 , 此时 a2k =6k，由 bn -a2k，得 18 7n46k , k=3 7n4 N*，从而 bn是数列an中 的第6 7n4项.(注：考生取满足a=3kn-6 , kn N*的任一奇数，说明0是数列耳中的第n i 2a6 7 -2项即可)31 3 1 221.解：(I)因为函数f(x) x3ax2 bx在区间_1,1) , (1,3内分别有一个极值点，3 2所以f (x) = x2 ax b =0在-1,1)，(1,3内分别有一个实根，设两实根为 咅，x2 ( x ： x2),则 X2 -% 二.a2 -4b，且 0 ： x2< 4 .于是0 ： .a2 -4b < 4 , 0 ： a2 4b< 16，且当 - -1, x2 -3，即 a = -2 , b = -3时等号2成立故a -4b的最大值是16.(II)解法一：由f (1)=1 a b知f (x)在点(1, f (1)处的切线l的方程是2 1y 一 f(1)= f (1)(x -1)，即 y =(1 a b)xa ,3 2因为切线I在点A(1, f(x)处空过y = f(x