03第三章导数与微分

1、第三章导数与微分一、本章学习要求与内容提要（一）学习要求1. 理解导数和微分的概念及其几何意义，会用导数（变化率）描 述一些简单的实际问题.2. 熟练掌握导数和微分的四则运算法则和基本初等函数的求导 公式.3. 熟练掌握复合函数、隐函数以及由参数方程所确定的函数的一 阶导数的求法.4了解高阶导数的槪念，熟练掌握初等函数的二阶导数的求法.5.了解可导、可微、连续之间的关系.重点导数的概念及其几何意义，计算导数的方法，初等函数的二阶导数的求法.难，占、 求复合函数和隐函数的导数的方法.（二）内容提要1. 导数的概念（1）导数，设函数y = f（X）在点“的某一邻域内有定义，、当自变量x在点兀处 有

2、增量山（心工0）,兀+心仍在该邻域内时，相应地，函数有增量 3 = /（兀+心）-/（兀），若极限1曲空=恤盛也上如存在，则称/（X）在点竝处可导,并称此极限值为/在点兀处的导数，记为曲，也可记为畑）或费dr x = x（） dx x = x0若极限不存在，则称y = f（x）在点九处不可导.若固定叫，令X（| + Ar = X ,则当Av TO时，有x x（i ,所以函数/（x）在点兀处的导数广（兀）也可表示为/（X）-/（%）x 一兀左导数与右导数 函数/(x)在点“处的左导数f(X)= lim岂=lim丿匹f小.Z Ar A"zkv 函数f(x)在点X。处的右导数£&

3、#39;(%)= lini = lim .门入 _<)_ /乞).Avzlv 函数f(x)在点入处可导的充分必要条件是f(x)在点X。处的左导数和右导数都存在且相等.2. 导数的几何意义(1) 曲线的切线在曲线上点M的附近，再取一点作割线MM,当点沿曲线 移动而趋向于M时，若割线MM】的极曲位置MT存在，则称直线MT为 曲线在点M处的切线.(2) 导数的几何意义函数y = /(x)在点处的导数表示曲线y = /(x)在点(x0 ,/(x0)处的切 线斜率.关于导数的几何意义的3点说明： 曲线y = /(A)±点(勺,儿)处的切线斜率是纵标变量V对横标变量 X的导数.这一点在考虑

4、用参数方程表示的曲线上某点的切线斜率时 优为重要. 如果函数y = f(x)在点兀处的导数为无穷(即耙)韦=°°,此时.心)在儿处不可导)，则曲线)/(X)上点(“，儿)处的切线垂直于x轴. 函数在某点可导几何上意味着函数曲线在该点处必存在不垂直 于x轴的切线.3.变化率函数的增量与自变量增量之比，在自变量增量趋于零时的极限， 即导数在科学技术中常常把导数称为变化率(即因变量关于自变量 的变化率就是因变量关于自变量的导数).变化率反映了因变量随着 自变量在某处的变化而变化的快慢程度.4. 可导与连续的关系若函数y = /(x)在点x处可导，则y = f (x)在点兀处一定连

5、续.但反过 来不一定成.立，即在点x处连续的函数未必在点;v处可导.5. 高阶导数(1)二阶导数函数y = /(x)的一阶导数y = /V)仍然是X的函数，则将一阶导数 ffM的导<2 ,数(广(少称为函数y = f(x)的二阶导数,记为PM或*或需，即= (y7 或心=2凹dx1dx dxj"阶导数(”-1)阶导数的导数称为n阶导数(n=3, 4,n)分别记为rw, /(4>«,，严(力,/%),或 y， y，,yi, r,器 db d4ydn-'y d”y双而'時'0' dZ，二阶及二阶以上的导数称为高阶导数.6 微分微分的定

6、义如果函数y = /(x)在点尤处的改变量)，= /(a+A¥)-/(a),可以表示 成4y = AZ+og), 其中。(Ar)是比心山TO)高阶的无穷小，则称函数在点x处可微， 称A Ay为AV的线性主部，又称A心为函数>-=f(x)在点x处的微分，记 为 dy 或 df(x),即 dy = AAx.微分的计算df (x) = fWdx,其中 dv = Av, a 为自变量.一阶微分形式不变性对于函数/(«),不论“是自变量还是因变量，总有d/(n)=.厂(“)d"成 立.7. 求导公式微分公式表3. 1给出了基本初等函数的求导公式及微分公式.表31求导与

7、微分公式未孑公天V微分公為本等数导式 基初函求公O= J -C本等数分式 基初函微公o= c d1 川Z=dx1-X = )7X1 .SXaIsX1 - X1 - XF inAGX2.3/n ta2n. ta ddA J« 2fecAsc (c2 .V1 一nd.v2 XI 一n-31"2X11+CLV2 .V1 +112 X1 +CLV2 X1 +对求导公式作如下两点说明:(1) 求导公式表示函数f(pM对自变量兀的导数，即机0(旳dr 求导公式f9(px)表示函数f(p(x)对函数0(x)的导数，即&求导法则微分法则求导法则，微分法则见下表3. 2复合函数求导法

8、则参数方程求导法则隐函数求导法对数求导法表3.2求导与微分法则表求导法则微分法则函 数 的 四 则 运 算 求 导 法 则b心)± u(x)f = ux) ± ux)函 数 的 四 则 运 算 微 分 法 则d m(x) ± u(x) = dw(x) ± d u(x)«(X)L>(X)Z = llf(x)u(x) + ll(x)uf(x) 卜 u(x) = c ux)(c为常数)d du(x)u(x) = u(x)du(x) + w(x)dv(x) C"(x) = cd“(x)(C 为常数)9卩仕)_ ux)u(x)-u(x)u

9、Xx) (" 1，)“0) |_u ux)r ；"穿 To)LuMiT(x)dM(x)l u(x)dw(x)-M(x)dp(x) . m：、狀 g”o)/(x)tr(x)复 合 函 数 求 导 法 则设 y = /(w), u = <p(x),则复 合函数y = f<pM的导数为 dy _ dy dw dv dz/ ck复 合 函 数 微 分 法 则设函数y = f(u), u =(p(x),则函 数A = /(")的微分为dy = fu)du，此 式又称为一阶微分形式不变性参数方程确定的函数的导数1若参数方程X =(pt确定了，是X的函数，则dy_示

10、或d)'_f b = 0(f)dv d.vdx (P (r)反 函 数 求 导 法 则设y = /«的反函数为X =(p(y),则广(劝=J(0(y)HO)或dy_ 1(p (y)d.x dvd?9. 微分近似公式(1) 微分进行近似计算的理论依据对于函数y = fW ,若在点心处可导且导数广(无)工0,则当|迥很小 时，有函数的增量近似等于函数的微分，即有近似公式Ay « dy.(2) 微分进行近似计算的4个近似公式设函数y = /3在点心处可导且导数广(无)工0,当|心|很小时，有 近似公式Ay心dy ,即f(x0 + Ax) - /(x0) « /X

11、Xq )Ar , /g + Ay) a /(x0) + f (无)山，令 x0 + Ar = x,则fW a /(X。) + f(x0)(x特别地，当x°=0,闰很小时，有/(g/(0) + f(0)x .二、主要解题方法1用导数的定义求函数导数的方法例1 求y = Xy/x在X = 0处的导数.解由导数的定义知广(0) = lim /(0 + 心)_/(0)=亦心届 一 0 =恤届=° .Av->0/yAv-><)/yAxtO例2求/(A) 4，n(1 + A)?，的导数.x, x <0解当 x>0时，fx)=,1 + x当xvO时，广=1,

12、 当“0时，八。刊訂一如弘/一/®,D X 0jX所以 /：(0) = lim 匚 = 1,X” X人(0) = lim 山"+ ')_2 = jm ln(l + x)： = In e = 1, xtO*x.t-M)*因此广(0) = 1,x > 0 ,x<0小结求分段函数的导数时，除了在分界点处的导数用导数定义求之外，其余点则仍按初等函数的求导公式求得.2. 用和、差、积、商及复合函数的求导法则求导的方法例3设求广解心山丄i+2 -1 1 - 1 -i八兀)=尹一7宀*.3 o 3例 4设 y = ln(x + Jx +1)求 y".解利用复

13、合函数求导法求导，得yf = ln(x + y/x2 +l)r=(%+iyX + yjX2 +1 i +(VZTihX + y/X +11V?+i=rh7ll+TT(x2+in= 【I + r41 =X + yX + 1、/;r + 1小结 若函数变形后能简化求导运算，应先简化后再求导，在求 高阶导数时更要注意这一点.另外，还要注意应用四则运算法则的前 提条件是：函数f(x)在点儿可导，否则法则失效.如y = 在x = 0点， 用四则运算法则求导，十(0)不存在，但由例1知y = x長在x = 0的导 数为0.对于复合函数，要根据复合结构，逐层求导，直到最内层求完， 对例4中括号层次分析清楚，

14、对掌握复合函数的求导是有帮助的.3. 对数求导方法例5已知尸厝詰'求八解 两边取对数，得：hy = - in x + hi(x2 -1)-2 ln(x - 2),X两边对同一自变量X求导，得丄 = 4(ln + hi(x2 -1)-2ln(x-2) +1丄+ 4,y xxx x" -1x-2,_計(，-1)1 ,如-1) .1.22 n小结 对数求导法适合两类函数的求导：(1)幕指函数，(2)函数 是由几个初等函数经过乘、除、乘方、开方构成的.4 隐含数的求导法例 6 已知 arctan = In Jx2 + y2,求 y"y解两端对x求导，得 一1 (-/ = .

15、 1(7777/,i+(与yy2 y -_12x + 2y-yf宀 y，y2 J/+ b 2；,2，整理得(y + x)yr = y-x ，故 y1 =-一，y + x上式两端再对x求导，得严 _(W - i)(y+x) - O'+i)(y - x)(y+A-)2_ yyr _ y + 灯 _ x _ yyr + q' - y+x(7w=2” - 2)，O + b '将y = 2代入上式，得y + x2v.ZZ-2v,y + x2 小 2”2b2 小2(F+b)(y + x)2U +y)3(y + Q“ *小结在对隐函数求二阶导数时，要将F的表达式代入y"中，

16、注意，在)，"的最后表达式中，切不能出现；/.5.由参数方程所确定的函数的求导法例7设x = t-cost >求d2yy = sinr9dx2解=f(sin/)costfdx(r-cosr)1 + sm/d2yiyr d cos/dcostdrcost J 1 ( ) ()=()Jctv2dx dx 1+sm/ dr1 + sinrdx1 + sinr did/-sin/ (1 + sin/)-cos211-1(1 + sin/)21 + sin?(1-卜 sin f)' 小结求由参数方程所确定的函数的导数时，不必死记公式，可 以先求出微分dy、dr,然后作比值型，即作

17、微商.求二阶导数时，应 dx按复合函数求导法则进行，必须分清是对哪个变量求导.6 求函数微分的方法例8求函数），=卅心的微分.解一 用微分的定义dy = ff（x）dx求微分, 有dy = (xe,ntanv)rdv = eIntanx +xe,nunA -sec2 xdx tanx5（i +2xsin 2x)dv.解二 利用一阶微分形式不变性和微分运算法则求微分，得dy = d(xe,nlanx) = edv + xde111= e!n(anxdx + xe!ntanxd(ln 口 切=elluanAcLv + xe,ntan v 1 d(tanx)tanxeIluanv(Lv + xe,n

18、tanx 1 dvtanx cos" x9 reIluanx(l+)djsin2x小结求函数微分可利用微分的定义，微分的运算法则，一阶微分形式不变性等.利用微分形式不变性可以不考虑变量之间是怎样的 复合关系，有时求微分更方便.7.利用微分求近似值例9 求sin 29°的近似值.解 设/（x） = siiix ,由近似公式/（心+心）心/（x0） +广（心）心，得sin（x0 + 心）sin x0 + cosx0 Ar ,取x0 = , Ax =，则有6 180sin29° «! + （一一 ） = 0.4849 2 2 180例10 有一批半径为1cm的

19、球，为减少表面粗糙度，要镀上一层钢, 厚度为0 .Olcm,估计每只球需要用铜多少克？（铜的密度为8.9沧）解 所镀铜的体积为球半径从lcm增加0.01cm时，球体的增量.故由 v = 7ir? 知，所 镀 铜 的 体 积 为 341 /Av « dv =（兀广）= 4兀 xO.Ol = 0.04jt ,3 ；=i质量为 m = 0.0471 8.9g = 1.2g 小结 利用公式/（“+心）/（%）+厂（儿）心计算函数近似值时，关 键是选取函数/（X）的形式及正确选取心，Ax. 般要求/（心）,/'（心）便 于计算，|心|越小，计算出函数的近似值与精确值越接近.另外，在计

20、算三角函数的近似值时，心必须换成弧度.8. 求曲线的切线方程例11 求曲线（x-l）2 + （y + -）2 = -的切线，使该切线平行于直线22x + y = 8 解 方程 （1）2+（，+2 =扌两端对兀求导，得32 2丫2（x-l） + 2（y + -）y = 0,）“3 + 2y） = 2 2八 / =23 + 2y由于该切线平行于直线2x+y = &所以有2-2v=-2 , l-x = -(3 + 2y) , x-2y-4 = 0 , x = 4 + 2y.3 + 2y因为切线必在曲线上，所以，将x = 4 + 2y代入曲线方程得(4 + 2y)-l2+(y + |)2 =

21、|,5y2 + 15y+ 10 = 0 , y2 +3y+ 2 = 0,角牟之 y =1,儿=_2 ,止匕时 Xj = 4 +2x (_1) = 2,不=4 + 2 x (2) = 0, 切点的坐标为(2,-1), (0,-2),切线的斜率分别为.92 2x2 2x2 2 小2儿T =亓瓦2加三百=丁7'2-0 2= =_23 + 2 x (2) I因此得切线的方程分别为>+ 1 = -2(x - 2),即y + 2 = 2(x_0),即9. 求函数的变化率例12 落在平静水面上的石头，产生同心圆形波纹，若最外一圏 半径的增大率总是6m/s,问2s末受到扰动的水面面积的增大率为多 少？解 设最外圏波纹半径为r,扰动水面面积为S,则S = Tir2两边同时对/求导，得 = K.2r-drdr从而=2nr = 2nr x6 = 12 兀”,d*叽-I"I心又 少三6为常数，故厂=6/ (类似于匀速直线运动路程与速度、时间的关系),因此儿=,=12,故有= 1271-12 = 14471(/).因此，2s末受到扰动的水面面积的增大率为1447l(m/).小结 对于求变化率的模型，要先根据几何关系及物理知识建立 变量之间的函数关系式.若是相关变化率模型，求变化率时要根据复 合函数的链式求导法，弄清是对哪个变