加法原理与乘法原理

1、加法原理与乘法原理 知识精讲 加法原理、乘法原理是计数问题中的两种新的计数方法。 举个例子：餐厅里有 4 4 种炒菜和 2 2 种炖菜，4 4 种炒菜分别是红烧鱼块、滑溜 里脊、活炒虾仁和三鲜豆腐；2 2 种炖菜分别是：土豆炖牛肉和萝卜炖排骨。 点菜时如果只点一个菜，有炒菜和炖菜这两种方式，也就是说，可以点红烧 鱼块、滑溜里脊、活炒虾仁、三鲜豆腐、土豆炖牛肉和萝卜炖排骨之一，有 4+2=6 4+2=6 种点菜方法，其中 4 4 代表 4 4 种炒菜，2 2 代表 2 2 种炖菜。这就是加法原理。 加法原理：如果完成一件事有几类方式，每一类方式中又有不同的方法，那么 把每一类方法数相加就得到所有

2、的方法数。 如果要求炒菜和炖菜各点一个，这时我们可以把一个炒菜和一个炖菜看成一 个组合，点炒菜是第一步，点炖菜是第二步，这两步缺一不可。比如炒菜选红烧 鱼块的搭配有两种（红烧鱼块 土豆炖牛肉 红烧鱼块 - 萝卜炖排骨）， 类似的滑溜里脊也有两种搭配（滑溜里脊一一土豆炖牛肉 滑溜里脊一一萝 卜炖排骨）.4.4 种炒菜合在一起就有 4X2=84X2=8 种点菜方法，这就是乘法原理。 乘法原理：如果完成一件事分为几个步骤，在每个步骤中又有不同的方法，那么 把每一步的方法数相乘就得到所有的方法数。 例 1 1 小高一家人外出旅游，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以做飞机。经过 网上查询，出发的那一天中火

3、车有 4 4 班，汽车有 3 3 班，飞机有 2 2 班。任意选择其 中一个班次，有多少种出行方法？ 练习 1 1 书架上有 8 8 本不同的小说和 1010 本不同的漫画，大头要从书架中任意选取 一本书，有多少种不同的取法？ 例 2 2 如图用红色、黄色给图中房子的屋顶、烟囱、门、窗四个部分涂色，每个 部分只能涂一种颜色，一共有多少种不同的涂色方法？ 练习 2 2 如图 用红、黄两种颜色给图中鸭子的嘴巴、眼睛、身子三个部分涂色, 每个部分只能涂一种颜色，一共有多少种不同的涂色方法？ 小结：分类是指完成一件事有几类不同方法，从中任意选取一类即可，他们之间 可以相互替代，任意选取一类都可以完成这

4、件事。这种情况一般要用到加法原理。 分步是指完成一件事有好几步，每一步都必须执行，他们之间不可以相互替代， 少一步都不能完成这件事。这种情况一般要用到乘法原理。 例 3 3 如图从甲地到乙地有 3 3 条路，从乙地到丙地有 3 3 条路，从甲地到丁地有 2 2 条路，从丁地到丙地有 4 4 条路。如果要求所走的路线不能重复， 那么从甲地到丙 地共有多少种不同的路线？ 练习 3 3 如图，任意两地之间的路线已在图中标示出来，如果要求所走的路线不 能重复，那么从甲地到丙地共有多少种不同的路线？ 加法原理与乘法原理的区别 加法原理 类与类之间会满足下列要求： 1.1. 只能选择其中一类，而不能几类同

5、时选。 2.2. 类与类之间可以相互替代，只需选择某一类就可以满足要求； 比如例 1 1 种飞机、火车或汽车可以随意选择，小高一家人只选择其中一种交通工 具，就能达到目的地。 乘法原理 1.1. 每步只是整件事情的一部分，必须全部完成才能满足结论； 2.2. 步骤之前有先后顺序，先确定好一步，再做下一步 .直到最后。 加法原理与乘法原理的混合 有些问题中，既有分类的关系，乂有分步的关系。这时应分活主次，弄活到 底是“分类中含有分步”还是“分步中含有分类”。如果是某一大类里乂可以分 为几小步，那么应该这一类里用乘法原理进行计算， 最后再用加法原理把各类中 的情况加在一起，比如例 3.3. 最后介

6、绍一种解决路径条数问题的方法：标数法。 如图 1,1,我们要计算蚂蚁从 A A 点沿箭头的方向爬到 B B 点的不同路线有多少条 c c 例 4 4 如图，在图中，从 A A 点沿线段走到 B B 点，每次只能向上或向右走一步，共 有多少种不同的走法？ 练习 4 4 如图，在图中，从 A A 点沿线段走到 B B 点，每次只能向上或向右走一步, 共有多少种不同的走法？ 挑战题 1.1. 老师要求莫墨在黑板上写出一个减法算式，要求被减数必须是三位数，减少 必须是两位数，请问：莫墨有多少种不同的写法？ 2.2. 书架上有 3 3 层书，第一层放了 1515 本小说，第二层放了 1010 本漫画，第

7、三层放 了 5 5本科普书，并且这些书各不相同，请问： (1)(1) 如果从所有的书中任取 1 1 本，共有多少种不同的取法？ (2)(2) 如果从每一层中各任取 1 1 本，共有多少种不同的取法？ (3)(3) 如果从中取 2 2 本不同类别的书，共有多少种不同的取法？ 作业 1 1 题库中有 3 3 中类型的题目，数量分别为 3030 道、4040 道和 4545 道，每次考试要从这 三种类型的题目中各取一道组成一张试卷。 请问：由该题库可组成多少种不同的 试卷？ 2 2.小琴、小慧、小梅三人报名参加了运动会的跳绳、跳高和短跑这三个项目的比 赛，每人只能参加一个比赛，不一定三项比赛都有人参加。请问：报名的情况有 多少种？ 3.3. 图书馆有 3030 本不同的数学书、2020 本不同的英语书和 1010 本不同的语文书 (1)(1) 莫墨要去图书馆借 1 1 本书，有多少种不同的选择？ (2)(2) 莫墨三种书要各借一本，有多少种不同的选