数学分析选讲刘三阳西电大

1、习题211、若自然数不是完全平方数，证明是无理数。证明：若不是无理数，设，于是而，故不整除整除，记，故，即为完全平方数，矛盾。假设不成立。 2、设是两个不同的实数，证明之间一定存在有理数。证明：不妨设，则存在，使得 又因为存在整数，使得 由，是有理数。3、设为无理数，证明存在无穷多个有理数，使得，证明：假设只有个有理数满足，设为其中为有理数，且对于区间显然，而为有理数，且 满足要求，故假设不成立。习题221、求下列数集的上，下确界 上确界为1（不达到），下确界为0（达到）上确界为（不达到），下确界为2（达到）上确界为1（不达到），下确界为-1（不达到）上确界为1（不达到）下确界为0（达到）2、

2、 设验证证明： ，即是的一个下界 若，则由有理数集在实数系中的稠密性，存在，且为有理数，于是，即存在不是的下界。3、用定义证明上（下）确界的唯一性证明一：假设均为下确界，且，不妨设。由于是下确界，则对，必存在,使得，这与是下确界矛盾。4、试证收敛数列必有上确界和下确界，且上、下确界至少有一个属于该数列，趋于的数列必有下确界，趋于的数列必有上确界。证明： 由于收敛数列必定有界。根据确界存在原理，该收敛数列必有上确界和下确界。 若，则对于各项均为常数的数列，其上下确界显然均属于该数列。 对于各项不恒为常数的数列，记，则或存在或存在或这种都存在。作的充分小的邻域使它不包含或不包含，或均不在此邻域内。

3、 在这三种情况下，这个邻域的外部都只有中的有限个元素，则将达到上确界，将达到下确界，上下确界均可达到。由， 可得，上下确界将至少有一个属于该数列。 设，则，当时，取，则。若时，于是取，则。5、 证明：单减有下界的数列必有极限。证明：设数列单减有下界，由确界存在原理，必有下确界，设，由下确界定义可知： ，对，使得。因单减，故当时，即，即。习题231、 用区间套证明：有下界的数集必有下确界。证明：设是的一个下界，而不是的下界令，若是的下界，则取 若不是的下界，则取令，若是的下界，则取 若不是的下界，则取重复上述步骤，得到一闭区间套满足：是的下界，不是的下界。由闭区间套定理，且。下证。 对，由于是的

4、下界推出，而。把视为常数列，由极限的单调性知，即是的一个下界。 ，即，当充分大时，而不是的下界，故 也不是的下界。由的任意性知，任何比大的数均不是的下界。综合，是的下确界。2、设在上无界，证明必定存在，使得在的任意邻域内无界。证明：反证法，若，存在的某一邻域，使得在此邻域内有界，对于，由于在的某一邻域内有界，故在该邻域内取，使得，于是在内有界。对于由于在的某一邻域内有界，故在该邻域内取，使得，于是在区间内有界。重复上述步骤，得到一区间套满足：在及内有界。由区间套定理，存在，故在上有界，对于点，在的某一邻域内也有界，从而在整个区间上有界，矛盾。3、设，在上满足，若在上连续在上单增，证明存在，使=

5、0。证明：记，且有令，若，则存在，使，得证。若，则取若，则取令，若，则原命题得证。若，则取若，则取重复上述步骤，得到一闭区间套，且具有一下性质：若在此过程中某一中点，使，结论成立。否则由区间套定理，使得。下证，在上单增，故，又故。 由归结原理= =令，有，从而。习题 241 、证明下列数列发散。 解 当为奇数时，当为偶数时，奇子列和偶子列收敛于不同的数，故发散。为奇数时 当为偶数时 奇子列和偶子列收敛于不同的数，故发散。2、证明单调数列收敛的充要条件是其存在一个收敛子列。证明：仅证单调递增数列收敛的充要条件是其存在一个收敛子列。单增数列收敛，其自身将是它的一个收敛子列，必要性得证设单增数列有一

6、个收敛子列因为子列也是单增数列，所以它的极限即为上确界下证 ，若，则，而由于，能找到，使得，而，即，有。 使，而单增，有，由，可知有，取，则时有于是，即即当时，故，充分性得证3、设存在，证明。证明 存在，设为，由归结原理，当时，且当故 4、在的某邻域内且，证明：。证明 ，当充分大时，将落在的某个邻域之内，从而。令，由夹逼准则，再由归结原理有。5、设在的某个邻域内有定义，若对任意满足下列条件的数列，都有，证明。证明 若，则，当时，取，存在，当时，取，当时， 取，当时，取，当时，继续下去可得数列满足，且使得。这与矛盾。6、证明：的充要条件时：对每个严格单调递增的正无穷大的数列都有。证明：必要性。当

7、时，则对于当时有，故，即。充分性。设当时，取取取继续下去可得到一严格单增的数列,矛盾。习题 251、设是有界数列，若满足，证明存在和子列，使。证明 因是有界数列，由致密性定理，存在收敛子列，设。因为，故收敛，故必有界），因此存在收敛子列，再由可得子列 满足，从而。2 、有界数列发散，证明：存在两个子列收敛于不同的极限。证明 由于数列有界，于是必存在收敛子列。若收敛于相同的极限，则将收敛，矛盾。 补充证明：若为点集的聚点，则中含有异于的数列收敛于证明：根据聚点定义：，则中至少存在中的异于的一个点。 取，则 取，则 取，则得到中的一个点列满足条件： 在中令，有，即即中存在异于的点列收敛于。反之，结

8、论也正确。证明：中存在异于的点列收敛于当时，取，有即中至少存在中异于点的点，由聚点的定义，为点集的聚点。习题 261 、设在内有定义，若，及，使得，有。证明：，有。证明 因为且，使时。在上每一点都找到这样的，这些开区间的全体覆盖。由有限覆盖定理，必存在有限个开区间覆盖。记为，设，且相应的为且显然有若属于，则若属于不同的邻域，设，且，取可得综上原命题得证。2设在上连续且恒正，试用有限覆盖定理：在上有正的下界。证明：在处，有，根据实数的稠密性，使得，由极限的局部保号性，使，有再根据的任意性，在上每一点均能找到这样的，这些开区间的全体构成一开区间，且覆盖，由有限覆盖定理，必存在有限个邻域覆盖，设为，

9、相应的为，取，显然，对，有，即证存在正的下界。3 用有限覆盖定理证明闭区间套定理证明： （1）证明闭区间套存在公共点。假设不存在公共点。则，存在开邻域，至少有某一个与不相交，于是时，更与不相交。由有限覆盖定理，存在有限开区间把闭区间覆盖。由上可知，当时，与均不相交 ，当时，与均不相交 ，当时，与均不相交取，当时，均与不相交，即与这些不相交，这与矛盾。（2） ，因是的公共点，即，有即，而由可知，从而，又，故。（3）唯一性；设存在，但是，由夹逼准则，令，有。 习题2-71 用柯西收敛原理判定下列数列的收敛性。（1）解 ，取，则当时，有（2）解 ，取,当时，有2 满足下列条件的数列是不是柯西数列？（1），解 时，（2）故，故是柯西列