微积分基础(国家开放大学)---第2章---第1节---导数的概念

1、第第 2 章章 导数与微分导数与微分导数概念导数概念导数公式与求导法则导数公式与求导法则高阶导数高阶导数引入导数概念的实例引入导数概念的实例1234导数的定义导数的定义导数的几何意义导数的几何意义微分的定义微分的定义函数可导与连续的关系函数可导与连续的关系5微积分学的创始人微积分学的创始人: 德国数学家德国数学家 Leibniz 微分学微分学导数导数描述函数变化快慢描述函数变化快慢微分微分描述函数变化程度描述函数变化程度都是描述物质运动的工具都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数从微观上研究函数)导数思想最早由法国导数思想最早由法国数学家数学家 Ferma 在研究在研究极值问题中提出极值问

2、题中提出.英国数学家英国数学家 Newton变速直线运动的瞬时速度曲线在某点处的变速直线运动的瞬时速度曲线在某点处的切线斜率切线斜率在古代就引起了数学家们的兴趣。在古代就引起了数学家们的兴趣。早在早在1717世纪前期，意大利物理学家世纪前期，意大利物理学家伽利略伽利略就对自由就对自由落体中的瞬时速度进行了研究落体中的瞬时速度进行了研究1717世纪后，世纪后，牛顿牛顿在研究天体运动的速度时系统地在研究天体运动的速度时系统地解决了变速直线运动的瞬时速度问题。解决了变速直线运动的瞬时速度问题。导数概念的产生源于求导数概念的产生源于求:1 1变速直线运动的瞬时速度变速直线运动的瞬时速度 设一物体作变速

3、直线运动，设一物体作变速直线运动，s s表示物体从某个时表示物体从某个时刻开始到时刻刻开始到时刻t t作直线运动所经过的路程作直线运动所经过的路程s s，则，则s s是是时间的函数，现在我们求物体在时刻的瞬时速度。时间的函数，现在我们求物体在时刻的瞬时速度。 假设物体在时刻假设物体在时刻 0t的位置为的位置为 0,s t 00tsttss在在 0tt 时刻的位置时刻的位置 0,s tt 于是在于是在 0t到到 0tt 这段时间内这段时间内, ,物体走过的路物体走过的路程为程为 平均速度平均速度 ttsttstsv00令令0,t 如果这个极限存在，就定义为物体在如果这个极限存在，就定义为物体在

4、时刻时刻 0t的瞬时的瞬时速度，速度，即即 ttsttsvtvtt)()(limlim000002 2切线问题切线问题1717世纪前期，人们就对带有特殊性质的曲线的切线进世纪前期，人们就对带有特殊性质的曲线的切线进行了研究，如行了研究，如古希腊数学家古希腊数学家阿基米德阿基米德（Archimedes）对螺旋切线的研究。对螺旋切线的研究。到到1717世纪德国数学家世纪德国数学家莱布尼兹莱布尼兹在前人的研究基础上在前人的研究基础上系统的研究了曲线切线的斜率问题。系统的研究了曲线切线的斜率问题。如图所示，设点如图所示，设点 )(,(000 xfxM上一定点，上一定点， 为曲线为曲线 )(xfy 取取

5、 )(,(xfxM为曲线上为曲线上 0M附近的一动点，作割线附近的一动点，作割线 MM0T Ty=f(x)x x 0 x0 0 xy y0MM 00tanxxxfxf设其倾角为设其倾角为 , 则割线则割线 MM0的斜率为的斜率为 T Ty=f(x)x x 0 x0 0 xy y0MM时，时，当当 0 xx 动点动点 M将沿曲线趋于定点将沿曲线趋于定点 0,M从而割线从而割线 也随之变动而趋向于极限位置也随之变动而趋向于极限位置 直线直线 0.M T称此称此直线为直线为曲线在定曲线在定 点点 处的切线。处的切线。 0M割线的极限位置切线位置播放播放割线割线 的斜率的极限：的斜率的极限：MM0 0

6、00limxxxfxfkxx则称则称K K为切线为切线 的斜率。的斜率。0.M Ttan ,k 其中其中 是切线是切线 0M T的的倾角倾角。 于是曲线于是曲线 )(xfy 在在 ),(000yxM处的切线方程为处的切线方程为)()(00 xxkxfy00()(),yf xxf x 0000()()limlimxxf xxf xykxx 0=xxx 如果令如果令 是自变量增量，则函数增量为是自变量增量，则函数增量为这时这时即：切线的斜率是函数增量与自变量增量之比的极限即：切线的斜率是函数增量与自变量增量之比的极限 . .两个问题的共性两个问题的共性: :瞬时速度瞬时速度 0ttv lim切线斜

7、率切线斜率 lim0 xxk所求量为所求量为函数增量与自变量增量函数增量与自变量增量之比的极限之比的极限 . .)()(0tftf0tt )()(0 xfxf0 xx 类似问题还有类似问题还有: :加速度：加速度：角速度：角速度：线密度：线密度：电流强度：电流强度：速度增量速度增量与与时间增量时间增量之比的极限之比的极限转角增量转角增量与与时间增量时间增量之比的极限之比的极限质量增量质量增量与与长度增量长度增量之比的极限之比的极限电量增量电量增量与与时间增量时间增量之比的极限之比的极限变化率问题变化率问题设函数设函数 在在 的邻域的邻域 0U()x内有定义，内有定义， 当自变量当自变量x在在0

8、0()xxU x 0 x时时, ,有函数增量有函数增量 如果如果00()(),yf xxf x 0000()()limlimxxf xxf xyxx )(xfy 存在，则称函数存在，则称函数 在在 0 x)(xfy 处可导处可导, ,记作记作0()fx000( )|,x xx xx xdydf xydxdx或0 x0 x 处有增量处有增量 且且 并称这个极限值为并称这个极限值为在在 处的导数处的导数, , 函数函数)(xfy 0 x定义定义2.1 1 1）若）若 0lim,xyx 处不可导处不可导在在 则说函数则说函数0 x3 3）导数定义的几种等价形式。）导数定义的几种等价形式。 xxfxx

9、fxfx)()(lim)(0000 xxfxxfxfx)()(lim)(0000hxfhxfxfh)()(lim)( 0000在在 x 2 2）)( 0 xf在在 就是函数就是函数)(xfy 0 x处的变化率。处的变化率。)(xfy 0 x处随自变量处随自变量它反映了函数它反映了函数的变化快慢程度。的变化快慢程度。 为了加深对导数定义的理解，观察下面极限：为了加深对导数定义的理解，观察下面极限： 存在，求存在，求)( 0 xf已知已知 hxfhxfh)()3(lim000hxfhxfh)()3(lim000hxfhxfh3)()3(lim) 3(000)( 30 xf例例1解解000)()(l

10、im)( 0 xxxfxfxfxxxfxffx)0()(lim)0( 0 已知已知 3) 1 ( f存在，求存在，求 xfxfx2) 1 ()1 (lim0 已知已知 存在，求存在，求)( 0 xfhhxfhxfh2)()(lim000 由导数的意义可知由导数的意义可知,求函数求函数y=f(x)在点在点x0处的导数处的导数的基本方法是的基本方法是:);()()1(00 xfxxfy 求求函函数数的的增增量量;)()()2(00 xxfxxfxy 求求平平均均变变化化率率.lim)()3(00 xyxfx 取取极极限限，得得导导数数注意注意:这里的增量不是一般意义上的增量这里的增量不是一般意义上

11、的增量,它可正也可负它可正也可负. 自变量的增量自变量的增量x的形式是多样的的形式是多样的,但不论但不论x选择选择 哪种形式哪种形式, y也必须选择与之相对应的形式也必须选择与之相对应的形式.一差、二比、三极限一差、二比、三极限例例1:(1)求函数求函数y=x2在在x=1处的导数处的导数; (2)求函数求函数y=x+1/x在在x=2处的导数处的导数.,)(21)1 () 1 (222xxxy 解解：,2)(22xxxxxy . 2|, 2)2(limlim100 xxxyxxy,)2( 2)212(21)2() 2(xxxxxy ,)2( 211)2( 2xxxxxxy .43|,43411)

12、2( 211 limlim200 xxxyxxy.,21| ,:2000的的值值求求且且处处附附近近有有定定义义在在已已知知函函数数例例xyxxxyxx ,:00 xxxy 解解.1)()(0000000000 xxxxxxxxxxxxxxxxxxy ,211limlim00000 xxxxxyxx . 1,2121,21| 000 xxyxx得得由由.yxy已知，求1yxxxx 0011limlim.2xxyyxxxxx 练习练习:xyxxxxxxDD=+ D-=+ D+解：小结： 1 1求物体运动的瞬时速度：求物体运动的瞬时速度：（1 1）求位移增量）求位移增量s=s(t+t)-s(t)s

13、=s(t+t)-s(t) (2) (2)求平均速度求平均速度（3 3）求极限）求极限;svt00()( ).limlimxxss tts ttt 2由导数的定义可得求导数的一般步骤：由导数的定义可得求导数的一般步骤：（1）求函数的增量）求函数的增量y=f(x0+t)-f(x0) (2) 求平均变化率求平均变化率（3）求极限）求极限yx00()limxyfxx hxfhxfh)()(lim000和和 hxfhxfh)()(lim000分别被称为函数分别被称为函数 在在 0 x点的左导数和右导数，点的左导数和右导数，即即 hxfhxfxfh)()(lim)(0000hxfhxfxfh)()(lim

14、)(0000)(xfy )(0 xf和和 )(0 xf记作记作 )( 0 xf存在的充分必要条件是存在的充分必要条件是 )(0 xf和和 )(0 xf都存在并且都存在并且相等。相等。 讨论讨论 xxf)(在分段点在分段点 0 x处的可导性。处的可导性。 时，时， 当当 0 x0)0(f，由左、右导数定义，由左、右导数定义 ) 0(/fxfxfx)0()(lim010lim0 xxx)0(/f10lim0 xxx)0(/f)0(/f，故函数在点，故函数在点 0 x不可导。不可导。 左导数和右导数统称为单侧导数。左导数和右导数统称为单侧导数。例例3 3解解 定理若函数若函数 )(xfy 在区间在区

15、间 ),(ba内每一点都可导，内每一点都可导，)(xfy 在在 ),(ba内可导。内可导。,( ),dyyfxdx( )df xdx或或 记作记作 )(xfy 在在 ),(ba内可导，且内可导，且 )(af和和 )(bf都都存在，存在， 则称则称 )(xfy 在在 ,ba上可导。上可导。若若则称则称 当函数当函数 )(xf 在开区间在开区间I I内可导内可导, ,这时，这时， Ix都有一个都有一个确定的导确定的导数值数值 )( xf与之对应，这样就产生了在区间与之对应，这样就产生了在区间)( xf称这个函数为称这个函数为 )(xf（简称导数）（简称导数）上定义的函数上定义的函数 的的导函数导函

16、数,区间上的导数区间上的导数导函数导函数其表达式为其表达式为00y()( )( )limlimxxf xxf xfxxx 显然，显然， )( 0 xf就是导函数就是导函数 )( xf在点在点 0 x处的函数值，即处的函数值，即0| )( )( 0 xxxfxf按导数定义求导数举例。按导数定义求导数举例。 求函数求函数 CCxf()(为常数）的导数。为常数）的导数。 0lim)()(lim)( 00hCChxfhxfxfhh即即 0)(C 求函数求函数 3)(xxf的导数。的导数。 xxxxxxfxxfxfxx3300)(lim)()(lim)( 22203)()(limxxxxxxxx即即 2

17、33)(xx例例4解解例例5解解请验证以下常见函数的导数请验证以下常见函数的导数 21)1(xx1)1(nnxnx练习：练习： ?)1(4x?)1(100 x xx21)( nnmnmxnmx)(练习练习： ?)(23x?)(99100 x一般地，对于幂函数一般地，对于幂函数 (xy 为常数），有为常数），有 1)(xx求函数求函数 353xxxy 的导数。的导数。 化简得：化简得： 65353xxxxy6616516565)(xxxy求下列函数的导数求下列函数的导数51xy 100 xy 324xxy 53xxxy 例例6解解求函数求函数 xxfsin)(的导数的导数hxhxhxfhxfxf

18、hhsin)sin(lim)()(lim)( 002sin)2cos(21lim0hhxhh,cos22sin)2cos(lim0 xhhhxh即即 xxcos)(sin类似可得类似可得 xxsin)(cos例例8解解求函数求函数 ) 1, 0()(aaaxfx的导数。的导数。 haahxfhxfxfxhxhh00lim)()(lim)( haahhx1lim0aaxln即即 aaaxxln)(特殊地，特殊地， xxee)(例例9解解 ?)(sin4xx ?)(cos4xx ?)(0 xxe ?)4(sin0 x由导数的定义可知：函数由导数的定义可知：函数 )(xfy 在点在点 处的导数处的导

19、数 )( 0 xf在几在几何上表示曲线何上表示曲线 )(xfy 在点在点 )(,(00 xfxM处的切线的斜率处的切线的斜率axftan)( 0其中其中a是切线的倾角。是切线的倾角。oxy)(xfy T0 xM即即)(xfy 在点在点 )(,(00 xfxM处的切线方程为处的切线方程为 )(000 xxxfyy过曲线过曲线 )(xfy 上的点上的点 ),(00yxM而与切线垂直的直线称为而与切线垂直的直线称为曲线在该点的法线。曲线在该点的法线。 )(xf在点在点 ),(00yxM处的法线方程为处的法线方程为)()(1000 xxxfyy求抛物线求抛物线 342xxy在点在点 处的切线方程处的切

20、线方程3 , 0和法线方程。和法线方程。 根据导数的几何意义知道，所求切线的斜率为根据导数的几何意义知道，所求切线的斜率为 0| xyk由于由于 42xy，于是，于是 4k从而所求切线的斜率为从而所求切线的斜率为 043xy即即 即即 34 xy于是所求法线方程为于是所求法线方程为 0413xy341xy例例9解解曲线曲线 3xy 在哪一点处的切线与直线在哪一点处的切线与直线 131xy平行平行 ?写出其切线方程。写出其切线方程。)(3xy32131x解得：解得： ,1x 相应相应 1y则在点则在点(1,1) , (1,1) 处与直线处与直线 131xy平行的切线方程分别为平行的切线方程分别为

21、) 1(311xy) 1(311xy即即 023 yx和和例例10解解 求等边双曲线求等边双曲线 xy1在点在点 2 ,21处的切线的斜率，处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程。并写出在该点处的切线方程和法线方程。 求曲线求曲线 23xy 的通过点的通过点 )4, 0( 的切线方程。的切线方程。 若函数若函数 在点在点 处可导，则必在点处可导，则必在点 处连续。处连续。 0 x 由已知由已知 )(xf在点在点 0 x处可导，处可导，即即 000)()(lim)( 0 xxxfxfxfxx存在存在00)()(xxxfxf)()( 0 xxf其中其中 0lim( )0,xxx 因此因

22、此 即即 )()(lim00 xfxfxx)(xfy 故函数故函数 0 x)(xfy 在点在点 处连续。处连续。 )()( )()(000 xxxxxfxfxf0 x从而从而 定理2.1证证可导可导连续连续不连续不连续不可导不可导可导可导连续连续不一定不一定2 2）函数在一点处可导是指在该点处导数值有限）函数在一点处可导是指在该点处导数值有限, ,导数为无穷大和导数不存在都称为不可导，但函导数为无穷大和导数不存在都称为不可导，但函数在某点处的导数为无穷大时，该点处的切线是数在某点处的导数为无穷大时，该点处的切线是存在的。存在的。 1）例如，函数例如，函数 3)(xxf在点在点 0 x处连续但不

23、可导。处连续但不可导。 3/203001lim0lim)0()0(limhhhhfhfhhh即导数为无穷大，在图形中表现为曲线即导数为无穷大，在图形中表现为曲线 3)(xxf在原点在原点 O具有垂直于具有垂直于 x轴的切线轴的切线 0.x 3 3）判断函数在特殊点的连续性与可导性，主要用定义）判断函数在特殊点的连续性与可导性，主要用定义及定义推导出的充要条件：及定义推导出的充要条件： .)(0处连续在xxf)()(lim00 xfxfxx )0(0 xf)0(0 xf)(0 xf处可导在0)(xxf010( )()limxf xf xxx 存存在在)(0 xf0()fx 存存在在讨论讨论 00

24、01sin)(fxxxxx在点在点 0 x处的连续性与可导性处的连续性与可导性. . (1) (1) 连续性：连续性： f(0)0 ，)(lim0 xfx01lim sin0 xxx ，(2) (2) 可导性：可导性： xxxxfxffxx1sinlim)0()(lim)0(00 xx1sinlim0不存在不存在, , 所以所以不可导不可导. ) ( x f0 x例例11解解0 x ( )f x 在在 连续连续 讨论函数讨论函数 0,0,)(2xxxxxf在在 0 x处的连续性和可导性处的连续性和可导性 讨论讨论 0001sin)(f2xxxxx处的连续性和可导性处的连续性和可导性 在在 0

25、x1 1. . 导数的实质导数的实质: : 增量比的极限增量比的极限; ;.)()(lim)(0000hxfhxfxfh .)()(lim)(0000 xxxfxfxfxxxxfxxfxyyxxxx )()(limlim00000 xxfxxfyxxx )()(lim00002. 2. 导数的几种等价形式导数的几种等价形式4. 4. 导数的几何意义导数的几何意义: : 切线的斜率切线的斜率; ;5. 5. 函数可导一定连续，但连续不一定可导函数可导一定连续，但连续不一定可导; ;6. 6. 求导数最基本的方法求导数最基本的方法: : 由定义求导数由定义求导数. .7. 7. 判断可导性判断可导

26、性不连续不连续, ,一定不可导一定不可导. .连续连续直接用定义直接用定义; ;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等. .思考题思考题思考题解答思考题解答求求在在已知已知 1.1. ( )f x1x连续，且连续，且 1( )lim2,1xf xx ) 1 (f 解解 1111( )( )(1)lim( )lim(1)lim(1) lim011xxxxf xf xff xxxxx 1( )(1)(1)lim1xf xffx 1( )lim21xf xx 2. 2. 设设 0)1ln(0sin)(xbxxaxxf)(xfba,，问当，问当 为何值时，为何值时， 为可导函数？为可导函数？ 备用题备用题1 1填空题填空题)(xf0)0(f设设可导，且可导，且，则，则_)()(lim000hhxfxfh_)()(lim000hhxfxfh_)(lim0ttft_)()(lim000hhxfhxfh(1)(2) (3) (4) 21, 11ff11lim221xxfx2 2设设，求，求- - ,1 xy,3xy ,322xxxyxxy233 3求下列函数的导数求下列函数的导数. . )9()2)(1()(xxxxxf 0f4 4 ，则，则)(