2017年浙江省台州市高考数学一模试卷

1、2017 年浙江省台州市高考数学一模试卷一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分）（14 分）若集合 A，则 AB（   ）A0，1）C（1，1）2，+）B（1，+）D（24 分）已知双曲线1 的一条渐近线方程是 yx，则双曲线的离心率为（   ）ABCD3（4 分）若函数 yf（x）是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，则&#

2、160;f（2017）（）A2017B0C1D20174（4 分）某空间几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为1 的圆，则该几何体的体积是（）ABCD5（4 分）若 a，bR，则“  ”是“A充分不必要条件C充分必要条件0”的（   ）B必要不充分条件D既不充分也不必要条件（b   c26 4 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a， ， ，已知 a1， bc

3、2acosC，sinCA，则ABC 的面积为（   ）B               C   或         D  或7（4 分）已知函数 f（x）x（1+a|x|）（aR），则在同一个坐标系下函数 f（x+a）与 f（x）第

4、 1 页（共 24 页）的图象不可能的是（）ABC（84 分）已知A270x1D的展开式中各项系数的和为 32，则展开式中系数最大的项为（   ）B270x           C405x3         D243x59（4 分）已知 0，），若对任意的 x1，0不等式

5、0;x2cos+（x+1）2sin+x2+x0恒成立，则实数  的取值范围是（）A（，）B（，）C（，）D（，）10（4 分）已知共面向量 ， ， 满足| |3， + 2 ，且| |  |若对每一个确定的向量 ，记| t |（tR）的最小值 dmin，则当 变化时，dmin 的最大值为（）AB2C4D6二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题&#

6、160;4 分，共 36 分.11（6 分）已知复数的实部为 1，则 a，|z|12（6 分）已知离散型随机变量 X 的分布列为XP0a1                 2则变量 X 的数学期望 E（X），方差 D（X）13（6 分）已知数列an的前 m（m4）项是公差为

7、60;2 的等差数列，从第 m1 项起，am第 2 页（共 24 页）1，am，am+1，成公比为 2 的等比数列若 a12，则 m，an的前 6 项和S614（6 分）已知，则 log2b     ，满足 logab1 的实数 x 的取值范围是15（4 分）如图，过抛物线 y24x 的焦点 F 作直线与抛物

8、线及其准线分别交于 A，B，C三点，若4，则16（4 分）某校在一天的 8 节课中安排语文、数学、英语、物理、化学、选修课与 2 节自修课，其中第 1 节只能安排语文、数学、英语三门中的一门，第 8 节只能安排选修课或自修课，且选修课与自修课、自修课与自修课均不能相邻，则所有不同的排法共有种（结果用数字表示）（17 4 分）如图，在棱长为 2 的正四面体 ABCD 中，E、F 分别为直线 AB、CD 上的动

9、点，且若记 EF 中点 P 的轨迹为 L，则|L|等于（注：|L|表示 L 的测度，在本题，L 为曲线、平面图形、空间几何体时，|L|分别对应长度、面积、体积）三、解答题：本大题共 5 小题，共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18（14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点针方向旋转 x 弧度得到向量第 3 页（共 24 页），将向量  绕原点

10、 O 按逆时（1）若，求点 Q 的坐标；（2）已知函数 f（x）  ，令                    ，求函数 g（x）的值域19（15 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB1，BC2，E 为 BC 的中点，F 为线段 AD

11、60;上的一点，且弦值为 现将四边形 ABEF 沿直线 EF 翻折，使翻折后的二面角 A'EFC 的余（1）求证：A'CEF；（2）求直线 A'D 与平面 ECDF 所成角的大小20（15 分）已知函数（1）若函数 f（x）在（0，2）上存在两个极值点，求 3a+b 的取值范围；（2）当 a0，b1 时，求证：对任意的实数 x0，2，恒成立21（15 分）如图，在椭圆中，过坐标原点&

12、#160;O 作两条互相垂直的射线 OA，OB 与 C 分别交于 A，B 两点（1）已知直线 AB 的斜率为 k，用 k 表示线段 AB 的长度；（2）过点 O 作 OMAB 于 M 点，点 P 为椭圆 C 上一动点，求线段 PM 长度的取值范围22（15 分）已知数列an满足：第 4 页（共 24

13、 页）（1）求证：（2）求证：；第 5 页（共 24 页）2017 年浙江省台州市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分）（14 分）若集合 A，则 AB（   ）A0，1）C（1，1）2，+）B（1，+）D【分析】求出集合 B 中元素的范围，确定出集合 B，找出 A 与 B 的并集即可【解答】

14、解：集合 A（1，1），B2，+），则 AB（1，1）2，+），故选：C【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键（24 分）已知双曲线1 的一条渐近线方程是 yx，则双曲线的离心率为（）ABCD【分析】根据题意，由双曲线的方程可得其渐近线方程，结合题意可得 ，解可得a 的值，由双曲线的几何性质计算可得 c 的值，由双曲线的离心率公式计算可得答案【解答】解：根据题意，双曲线的方程为1，其焦点在 x 轴上，则其渐近线方程为：y± x，又由题意，该

15、双曲线的一条渐近线方程是 y解可得 a，x，则有    ，又由 b1，则 c2，则该双曲线的离心率 e ，故选：D【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的渐近线方程3（4 分）若函数 yf（x）是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，则 f（2017）（）A2017B0C1【分析】利用函数的周期性和奇函数的性质求解第 6 页（共 24 页）D2017【解答】解：函数 

16、;f（x）是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，f（1）f（1），f（1）f（1）f（1），f（1）f（1）0，f（2017）f（1）0故选：B【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数的周期性和奇函数的性质的合理运用4（4 分）某空间几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为1 的圆，则该几何体的体积是（）ABCD【分析】由三视图可得，直观图是圆锥与 球的组合体，由图中数据可得体积【解答】 解：由三视图可得，直观图是圆锥与球的组合体，由图中数据可得体积为，故选：A第 7

17、0;页（共 24 页）【点评】本题考查圆三视图求面积、体积，考查学生的计算能力，确定直观图的形状是关键5（4 分）若 a，bR，则“  ”是“A充分不必要条件C充分必要条件【分析】a，bR，a2+ab+b20”的（   ）B必要不充分条件D既不充分也不必要条件+ b20，当且仅当 ab0 时取等号可得0（ab）ab0，“ ”【解答】解：a，bR，a2+ab+b2+ b20，当且仅当 ab0 时取等号0（ab）ab0，“ 

18、60;”“ ”是“0”的充要条件故选：C【点评】本题考查了函数的性质、不等式的性质与解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题（b   c26 4 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a， ， ，已知 a1， bc2acosC，sinCA，则ABC 的面积为（   ）B         

19、0;     C   或         D  或2【分析】 bc2acosC，利用正弦定理，求出 A；sinC，可得 C60°或 120°，分类讨论，可得三角形面积【解答】解：2bc2acosC，由正弦定理可得 2sinBsinC2sinAcosC，2sin（A+C）sinC2sinAcosC，第 8 页（共

20、0;24 页）2cosAsinCsinC，cosAA30°，sinC，C60°或 120°A30°，C60°，B90°，a，ABC 的面积为A30°，C120°，B30°，a，ABC 的面积为，故选：C【点评】本题考查正弦定理，考查三角形面积的计算，考查分类讨论的数学思想，属于中档题7（4 分）已知函数 f（x）x（1+a|x|）（aR ），则在同一个坐标系下函数 f（x+a）与 f（x）的图象不可能的是（）ABCD

21、【分析】去绝对值化简 f（x）解析式，对 a 进行讨论，根据二次函数的性质判断 f（x）的单调性，再根据函数平移规律得出两函数图象【解答】解：f（x）x（1+a|x|）x+ax|x|，（1）若 a0，则当 x0 时，对称轴为 x0，开口向上，x0 时，对称轴为 x0，开口向下，f（x）在（0，+）上单调递增，在（，0）上单调递增，且 f（0）0，第 9 页（共 24 页）f（x+a）是由 f（x）向左平移 a 的单位

22、得到的，此时函数图象为 B，（2）若 a0，则当 x0 时，对称轴为 x0，开口向下，x0 时，对称轴为 x0，开口向上，f（x）在（0，+）上先减后增，在（，0）先减后增，且 f（0）0，f（x+a）是由 f（x）向右平移|a|的单位得到的，此时函数图象为 A 或 C，故选：D【点评】本题考查了函数的单调性判断，二次函数的性质，属于中档题（84 分）已知A270x1【分析】根据利用【解答】解：的展开式中各项系数的和为 32，则展开式中系数最大的项为（&#

23、160;  ）B270x           C405x3         D243x5展开式中各项系数和求出 a 的值，展开式的通项求出 r2 时该二项式展开式中系数最大的项的展开式中各项系数的和为 32，（a1）532，解得 a3；Tr+1展开式的通项为（3x）5r    &

24、#160; （1）r35r  x52r，又当 r0 时，35243；当 r2 时，33当 r4 时，3270；15；r2 时该二项式展开式中系数最大的项为 270x故选：B【点评】本题主要考查了二项式定理的应用问题，也考查了二项式展开式的通项公式应用问题，是基础题9（4 分）已知 0，），若对任意的 x1，0不等式 x2cos+（x+1）2sin+x2+x0第 10 页（共 24 页）恒成立，则实数

25、0; 的取值范围是（）A（，）B（，）C（，）D（，）【分析】可设不等式左边为 f（x）并化简，求出 f（x）的最小值，令其大于 0，得到 的取值范围即可f2xx【解答】解：设 （x）x2cos+（x+1） sin+x2+x（1+sin+cos） 2+（2sin+1） +sin，0，），1+cos+sin0，且其对称轴为 xf（x）在1，0的最小值为 f（0）或 f（1）或 f（），即故选：A【点评】本题考查学生理解函数恒成立时取条件的能力，以及灵活运用三角函数的能

26、力，以以及运算能力，属于中档题10（4 分）已知共面向量 ， ， 满足| |3， + 2 ，且| |  |若对每一个确定的向量 ，记| t |（tR ）的最小值 dmin，则当 变化时，dmin 的最大值为（）AB2C4D6【分析】 根据向量的平行四边形法则和三角形的面积公式以及平行四边形的性质可得b2+2c236，即可得到 d c，利用基本不等式即可求出最值第 11 

27、;页（共 24 页）【解答】解：如图，设 ，   ，   ， + 2 ，M 为 BD 的中点， ABD 3d23d，| |  |，ADBD，设 ABc，ADb，在 ABCD 中，2（AB）2+（AD）2AC2+BD2，b2+2c236， ABD c c，将代入可得， ABD c c  &#

28、160;    ，3d cd c故选：B，2，当且仅当 c28 时，取等号，【点评】本题考查了向量的在几何中的应用，考查了学生的转化能力和计算能力，属于难题二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分.11（6 分）已知复数的实部为 1，则 a1，|z|【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为 1 求得 a 值，再由复数

29、模的求法第 12 页（共 24 页）求得|z|【解答】解：za1，的实部为 1，则 z1i，|z|故答案为：1，【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题12（6 分）已知离散型随机变量 X 的分布列为XP0a12则变量 X 的数学期望 E（X）1，方差 D（X）【分析】先根据概率的和为 1 求得 a 的值，再根据期望公式，方差的定义求出对应值【解答】解：根据概率和为 1，得 a+&

30、#160;+ 1，解得 a；变量 X 的数学期望 E（X）0× +1× +2× 1，方差 D（X） ×（01）2+ ×（11）2+ ×（21）2 故答案为：1， 【点评】本题考查了离散型随机变量的数学期望与方差的计算问题，是基础题13（6 分）已知数列an的前 m（m4）项是公差为 2 的等差数列，从第 m1 项起，am1，am，am+1

31、，成公比为 2 的等比数列若 a12，则 m4，an的前 6 项和 S628【分析】由已知利用等差数列的通项公式求出 am1，am，再由等比数列的定义求得 m；然后求出数列前 6 项可得 S6【解答】解：由 a12，公差 d2，得 am12+2（m2）2m6，am2+2（m1）2m4，则m4；S6a1+a2+a3+a4+a5+a62+0+2+4+8+1628，第 13 页（共 24 页）故答案为：4，28【

32、点评】本题考查等差数列与等比数列的性质，考查了等差数列与等比数列的前 n 项和，是基础的计算题14（6 分）已知，则 log2b，满足 logab1 的实数 x 的取值范围是【分析】b，即可得出 log2b，logab1，解出即可得出【解答】解：b，log2b ，logab1，x0，或满足 logab1 的实数 x 的取值范围是故答案为： ，【点评】本题考查了对数的运算法则、对数的换底公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15（

33、4 分）如图，过抛物线 y24x 的焦点 F 作直线与抛物线及其准线分别交于 A，B，C三点，若4，则【分析】分别过 A，F，B 作准线的垂线，垂足分别为 A1，D，B1，利用相似三角形计算BB1，AA1 即可得出 ABAA1+BB1【解答】解：分别过 A，F，B 作准线的垂线，垂足分别为 A1，D，B1，则 DFp2，由抛物线的定义可知 BFBB1，AFAA1，第 14 页（共 24 页）4，B

34、FBB1 CF4FB6，cosDFCcosA1AC，      ，解得 AF3，ABAF+BF3+  故答案为： 【点评】本题考查了抛物线的性质，属于中档题16（4 分）某校在一天的 8 节课中安排语文、数学、英语、物理、化学、选修课与 2 节自修课，其中第 1 节只能安排语文、数学、英语三门中的一门，第 8 节只能安排选修课或自修课，且选修课与自修课、自修课与自修课均不能相邻，则所有不同的排法共

35、有1296种（结果用数字表示）【分析】根据题意，先分析第 1 节课，由组合数公式可得第一节的排法数目，对于后面 7节课，按第 8 节课分 2 种情况讨论，、若第 8 节安排选修课，、若第 8 节安排自修课，由分类计数原理可得后面 7 节课的排法数目，进而由分步计数原理计算可得答案【解答】解：根据题意，由于第 1 节只能安排语文、数学、英语三门中的一门，则第一节课有 C313 种排法；对第 8 节课分情况讨论

36、：、若第 8 节安排选修课，需要将语文、数学、英语、物理、化学中剩余的 4 科全排列，有 A4424 种情况，排好后，出最后的空位之外，有 4 个空位可选，在其中任选 2 个，安排 2 节自修课，有 C426 种情况，此时有 24×6144 种安排方法；第 15 页（共 24 页） 、若第 8 节安排自修课，将语文、数学、英语、物理、化学中剩余的 

37、4 科全排列，有A4424 种情况，排好后，出最后的空位之外，有 4 个空位可选，在其中任选 2 个，安排剩下的自修课与选修课，有 A4212 种情况，此时有 24×12288 种情况，则后面 7 节课有 144+288432 种安排方法；则所有不同的排法共有 3×4321296 种；故答案为：1296【点评】本题考查排列组合的应用，注 2 节自修课之间是相同的，而其他科目之间是不同的（17

38、60;4 分）如图，在棱长为 2 的正四面体 ABCD 中，E、F 分别为直线 AB、CD 上的动点，且若记 EF 中点 P 的轨迹为 L，则|L|等于（注：|L|表示 L 的测度，在本题，L 为曲线、平面图形、空间几何体时，|L|分别对应长度、面积、体积）【分析】由题意画出图形，通过取特殊点找到 P 的轨迹，再由圆的面积公式得答案【解答】解：如图，当 E 为 AB 中点时，F

39、 分别在 C，D 处，满足|EF|，此时 EF 的中点 P 在 EC，ED 的中点 P1，P2 的位置上，当 F 为 CD 中点时，E 分别在 A，B 处，满足|EF|，此时 EF 的中点 P 在 BF，AF 的中点 P3，P4 的位置上，连接 P1P2，P3P4 相交于点 O，则四点 P1，P2，

40、P3，P4 共圆，圆心为 O，圆的半径为 ，则 EF 中点 P 的轨迹为 L 为以 O 为圆心，以 为半径的圆，其测度|L|第 16 页（共 24 页）故答案为：【点评】本题考查空间中的线面关系，考查数形结合的解题思想方法，明确 P 的轨迹是关键，是中档题三、解答题：本大题共 5 小题，共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18（14 分）在平面直角坐

41、标系 xOy 中，已知点，将向量  绕原点 O 按逆时针方向旋转 x 弧度得到向量（1）若，求点 Q 的坐标；（2）已知函数 f（x）  ，令，求函数 g（x）的值域（P【分析】1） 点坐标化为（cos，sin），故 Q 点坐标（cos（      ），sin（      ），利用和角公式计算即可；（2）用三

42、角恒等变换化简 f（x）的解析式，得出 g（x）的解析式，根据正弦函数的性质得出 g（x）的值域【解答】解：（1）P（cos，sin  ），cos（sin（）+，点 Q 的坐标为（f+x）+sin（+x）（2） x） cos（，g（x）cosxcos（x+） cos2xsinxcosx           sin2x  sin第 17 页（共

43、60;24 页）（2x）因，故 g（x）的值域为         【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，三角恒等变换，正弦函数的性质，属于中档题19（15 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB1，BC2，E 为 BC 的中点，F 为线段 AD 上的一点，且弦值为 现将四边形 ABEF 沿直线 EF 翻折，使翻折后的二面角 A'E

44、FC 的余（1）求证：A'CEF；（2）求直线 A'D 与平面 ECDF 所成角的大小（【分析】 1）连接 AC 交 EF 于 M 点，由平面几何知识可得，以及，经过计算可得：AM2+MF2AF2，则 ACEF，再利用线面垂直的判定与性质即可证明（2）由（1）知，二面角 A'EFC 的平面角就是A'MC，即，根据余弦定理，可求得 A'C1，利用 A'C2+MC2A'M2，

45、可得 A'CMC，可知 A'C平面 ECDF，即可得出A'DC 就是直线 A'D 与平面 ECDF 所成的角（【解答】 1）证明：连接 AC 交 EF 于 M 点，由平面几何知识可得，以及，则有，故有 AM2+MF2AF2，则 ACEF，第 18 页（共 24 页）于是，A'MEF，CMEF，而 A'MCMM，故 EF平

46、面 A'MC，而 A'C平面 A'MC，故 A'CEF（2）解：由（1）知，二面角 A'EFC 的平面角就是A'MC，即，根据余弦定理，可求得 A'C1，因为 A'C2+MC2A'M2，所以 A'CMC，而 A'CEF，可知 A'C平面 ECDF，因此，A'DC 就是直线 A'D 与平面 ECDF 所成的角由于

47、60;A'CCD1，故直线 A'D 与平面 ECDF 所成的角为【点评】本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、空间角、勾股定理的逆定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20（15 分）已知函数（1）若函数 f（x）在（0，2）上存在两个极值点，求 3a+b 的取值范围；（2）当 a0，b1 时，求证：对任意的实数 x0，2，恒成立（【分析】 1）求出关于 a，b 的不等式组，令 z3a+b，问题转化为简单的线性规划问题；结合

48、图象求出即可；f（2）根据函数的单调性求出 （x）的范围，要证即可第 19 页（共 24 页），只需证【解答】（1）解：f'（x）x2+ax+b，由已知可得 f'（x）0 在（0，2）上存在两个不同的零点，故有，即，令 z3a+b，如图所示：由图可知8z0，故 3a+b 的取值范围（8，0）（2）证明：，所以 f'（x）x2+b，当 b0 时，f'（x）0 在0，2上恒成立，则 f（x）在0，2上单调递增，故，所以

49、；当1b0 时，由 f'（x）0，解得，则 f（x）在上单调递减，在上单调递增，所以因为，要证，只需证                ，即证，因为1b0，所以，所以成立综上所述，对任意的实数恒成立第 20 页（共 24 页）【点评】本题考查了线性规划问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想、分类讨论思想，不等式的证明，是一道综合题21（15 分）如图，在椭圆中，过坐标原点 O 作两条互相垂直的射线 OA，O