2017学年度北极星教育培训学校----高二期末模拟(一)文--教师版汇总

1、绝密启用前2017学年度北极星教育培训学校-高二期末模拟(1)文考试范围：高中文科数学；考试时间：120分钟；命题人：黄佑彬学校:姓名：班级：考号：一、选择题1.曲线y = sinx + e' (其中e=2. 71828是自然对数的底数)在点(0, 1)处的切线的斜率为()(A) 2(B) 3(C) -(D)-32【答案】A【解析】试题分析：先求导，根据导数的几何意义，斜率&=k = yk0,解得即可；,/ y = cosx + exf k = y' |e= cosO += 2,故选 A.考点：导数的几何意义及导数的运算，72.曲线三+二=1与曲线+=16<9)的

2、()25 925-k 9-k')(A)长轴长相等(C)焦距相等【答案】D【解析】(B)短轴长相等(D)离心率相等试题分析：分别求出两椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，即可判断./ V24曲线上+匕=1表示焦点在x轴上，长轴长为10,短轴长为6,离心率为一，焦距为25 95*>716.曲线石三十 占 =1也<9)表示焦点在x轴上，长轴长为2JFE,短轴长为2J4,离心率为/ 4,焦距为16.则D正确.考点：椭圆的几何性质3.设i是虚数单位，好数/ Z,在更平面内的对应点关于实轴对称，则亘= z2()(A) 2(B) 1 + i(C) i(D) -i【答案】D【解析】试题分析

3、：由对称性可得z=l+i,代入要求的式子化简即可.亚数zn z二在复平面内的对应点关于实轴对称且z尸1-i,由对称性可得Z2=l+i,（1-）2 * "i （i+OO-O考点：复数的代数形式的乘除运算试卷第11页，总11页4 .双曲线上-上=1的渐近线方程是() 42(A) y = ±y/2x(B) y = ±-x(C) y = ±-x(D) y = ±2x2【答案】B【解析】试题分析：直接利用双曲线方程求渐近线方程即可.双曲线二-工=1可得七-巨=04242所以双曲线的渐近线方程为：)，= 土正x,故选：B. '2考点：双曲线的简单性

4、质5 .设函数/(» = ：0¥3+反(4。0),若/(3) = 3/'&),则与等于()(A) ±1(B) ±3(C)应(D) 2【答案】C【解析】试题分析：将3代入函数解析式求出f (3)；求出函数的导函数，将X。代入求出函数值f( Xo ), 列 出 方 程 求 出 4；,/ f(3) = 9a + 3b, , /'(x) = ax2 + b,:. fKx) = ax + b,;f (3) = 3/*(x0),/. 9a + 3b = 3ov02 4- 3Z?, /. xQ = ±5/3 ,故选 C考点：抽象函数的

5、性质6 .若函数x) = sinx+ar在R上单调递增，则实数。的取值范围为()(A) -1, 1(B) S，-1(C) (t», 1(D) 1, +8)【答案】D【解析】试题分析：求函数的导数，要使函数单调递增，则f' (x) 20成立，然后求出实数a的取值范围.因为f (x);sinx+ax,所以f' (x)=cosx+a.要使函数单调递增，则f'(x) 20成立.即cosx+aO恒成立.所以a2-cosx,因为-1 WcosxWl,所以a21.故 选：D.考点：导数的基本运算,利用导数研究函数的单调性【答案】A【解析】试题分析：:/(x) = x+cos

6、x,.=si内,/'(-x) =/'(工)，故 f' (x) 试卷第2页，总11页为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD ,又当x = 2 时，2f(-) = -sin- = -l<0 ,排除 C,只有 A 适合，故选：A.242 4考点：函数的图像和性质8.若直线1： y = (a + l)x-l与抛物线C： V =公恰好有一个公共点，则实数。的值构 成的集合为()(A) - 1, 0(B) -2, -144(C) -1,(D) -1,0)【答案】D【解析】试题分析：联立方程组，消去y得到关于x的准一元二次方程，分二次项的系数等于零和不为零两种情况进行讨论.联立

7、方程组得：,'一(：+ 1)'- 1,消去y得到：(a+l) y=axx-l) 2=ax,化简得：(a+1) ：x2- (3a+2) x+l=0.a=T 时，显然成立.aKT 时，44二(3a+2) J4 (a+1) W),解得 a=0 或一百，综上，a=0、T、或一百，故选 D.考点：函数零点9 .过双曲线a： 5- = l(4>0, b>0)的左焦点写作圆a：/+9=/的切线，设 a b切点为M，延长尸附 交抛物线C3： y2 =2px(p>0)于点N ,其中G，C3有一个共同的(B)回 (C)有2(D) >/5 + 1焦点，若|M"|=|

8、MN|,则双曲线C1的离心率为()(A) 75-1【答案】B 【解析】 试题分析：双曲线的右焦点的坐标为(c, 0),利用。为艮艮的中点，M为N的中点,可得0M为NFH的中位线，从而可求INF/，再设N(x, y)过点F作X轴的垂线，由 勾股定理得出关于a, c的关系式，最后即可求得离心率.设双曲线的右焦点为F>则庄的坐标为(c, 0),因为曲线Q与C3有一个共同的焦点， 所以yJ4cx ,因为。为FR的中点，M为FN的中点，所以0M为aNF艮的中位线，所 以0MPF>因为|0M|二a,所以|附|=2且,又NFNF“ |FF=2c所以|NF=2b，设N (x, y),则由抛物线的定

9、义可得x+c=2a, .x=2a-c ,过点F作x轴的垂线，点N到该垂线的距离为2a ,由勾股定理y：+4a：=4b：»即4c (2a-c ) +4a：=4 ( c：_a：)得 e-e-l=0, /. eVs+i2考点：双曲线、抛物线的几何性质10 .若函数/(x) = V+"2+bx + c (a, b, ceR)有极值点玉，%，且/(石)=%，则关于试卷第11页，总11页X的方程3"(x)f+2叭x) + 6 = 0的不同实根的个数是()(A) 5(B) 4(C) 3(D) 2【答案】A【解析】试题分析：求导数f' (x),由题意知xx, X?是方程3

10、/+2ax+bR的两根，从而关于f (x)的方程再人月?+2如(x) + b = O有两个根，作出草图，由图象可得答案.£' (x) =3x：+2ax+b, xx, x：是方程 3x?+2ax+b=0 的两根，由 3/(4)f + 2。工)+ 6 = 0 , 则有两个f (x)使等式成立，Xi=f (X1), X2>Xi=f(XX),如下示意图象:如图有三个交点，故选A. 考点：函数零点的概念二、填空题11 .抛物线>3= Tx的准线方程为【答案】1【解析】试题分析：根据抛物线的标准方程及基本概念，结合题中数据加以计算，可得答 案.y2 = 4x, ：.2p =

11、4,段=1,因此,抛物线的焦点为F(-I,o),准线方程为x=L故答案为：x=l.考点：抛物线的简单性质12 .执行下图所示的程序框图，若输入x = 2,则输出y的值为/输物/【答案】12【解析】试题分析：根据程序框图中的条件，进行求解即可.若x=2,则y=£+2x=8+4=12；故答试卷第2页，总11页案为：12考点：程序框图13 .函数=-Inx的单调减区间为.【答案】(0, 1【解析】试题分析：对于函数/(x) = Ax2-hix易得其定义域为x|x > 0,1 Y* _ 1y" _ 1f(x = x一一=二二，令一40,又由x>0,则可得OVxWL单调递

12、减区间为 X XX(0, 1.考点：利用导数研究函数的单调性14.定义在R上的函数/(X)满足"1) = 1,且对任意xeR都 有/则不等式f(x)>岩的解集为.【答案】(-1,1)【解析】试题分析：设g(x)=/(x)-苫L=1-1=0,/. (x)=/z(x)-l.对任意xWR,都有:(x)vg,/.g<x) <0,即g(X)为实数集上的减函数.不等式/(炉)>=，即为 g(X2) >0=g (1).则 XVI,解得-IVxVl，的解集为(T, 1).考点：利用导数研究函数的单调性15.抛物线y2=4x的焦点为尸，过点P(2, 0)的直线与该抛物线相

13、交于A B两点,直线"，游分别交抛物线于点G D.若直线45, C0的斜率分别为& k、，则土 = k2【答案】-2【解析】试题分析：设AF的方程是y =1)与抛物线方程联立，求出c的坐标，同理求xx-l出D的坐标，可得k,即可求出.设 A(X, %) , B(&, y2) , C(x3, y3) , DCx4, y4) ,:. AF 的方程是y = -(x D石-1设&0 =2；，则AF ： )，= %(X-D,与抛物线方程联立，可得X, +1试卷第11页，总11页攵o、2_（2%2+4） x + %2 =0, 利用韦 达定理 不为=1二.演=一»

14、 -,必=C（,-）,工+三同理“J_,_匹）./,=4a=2人,.乱=上 x2 x2 J£ k2 2演公考点：直线与圆锥曲线的位置关系三、解答题2216.（本题满分12分）求与椭圆三十二=1有公共焦点，且离心率e =-的双曲线方程. 49 244【答案】£-21=1 169【解析】试题分析：根据题意双曲线方程可设为= 1（。>0, 6>0）可得关于a, b的方程a" b-组，进而求出a, b的数值即可求出双曲线的方程.7*>试题解析：椭圆三+汇=1的焦点坐标为（-5, 0）, （5, 0）,49 24设双曲线的方程为1-左= 1（。>0,

15、 b>0）, a' b则 c? =a +b2 =25 ,试卷第2页，总11页解得 tz = 16 » b = 9 .所以双曲线的方程是二-£=i. 169考点：圆锥曲线的性质17.（本题满分12分）斜率为;的直线/经过抛物线/= 4），的焦点，且与抛物线相交于A B两点,求线段的长.【答案】5【解析】试题分析：求得抛物线的焦点，可得直线1的方程，代入抛物线方程，由韦达定理和弦 长公式，计算即可得到.试题解析：由已知可知,抛物线x2= 4y的焦点为尸（0,1），所以直线/的方程为y =+1 .V = X+l,，由<2 得(2y-2)-=4y,即 y-3y

16、+ l = 0. /=4y,设4（冷弘）,8区,%），则%+%=3, 所以 | AB |=+ % + P = 3 + 2 = 5 .考点：直线和抛物线的位置关系18 .(本题满分12分)已知函数/(x) = x(x-c)2 ( ceR)在x = 2处有极小值.(I )求c的值；(II)求/Xx)在区间0,4上的最大值和最小值.【答案】(I ) 2或6；( II ) 0, 16.【解析】试题分析：(I )求出广(幻=3炉43 +，2 ,令/(2) = 0 ,解得c,再分别讨论,利用函数/(x) = Mxc)2(cwR)在x=2处有极小值，从而得出答案；(H)确定函数 的单调性，即可求f (x)在

17、区间0, 4上的最大值和最小值.试题解析：(I )因为八力=(%一以+ 21(工一 =3/一40：+02,又f(x) = x(x- c)2在x = 2处有极小值，所以/'(2) = 12 8。+ /=0 =。= 2或0 = 6，当 c = 2 时，f '(x) = 3x2 -8x + 4 = (3x- 2)(x- 2),当 f'(x) = (3x 2)(x-2)Z0 = x«：或xN2 时，/(x)单调递增，当 /(x) = (3x- 2乂X- 2) K 0 = |« x4 2 时，/(x)单调递减，此时x)在x = 2处有极小值，符合题意；当 c

18、= 6 时，f'(x) = 3x2- 24x+ 36 = 3(x-2)(x-6),当/(工)=3(工一2)(工一6)20 =工4 2或工之6时，f(x)单调递增，当/(工)=3(工一2)(工一6)<0 = 24%46时，/(X)单调递减，此时x)在x = 2处有极大值，不符题意，舍去.综上所述，c = 2.(H)由(I )知，f(x) = x(x-2)2 f 0(x) = (3x-2)(x-2),2令八x) = (3x-2)(x-2) = 0,得x = § 或x = 2,当变化时，/。),/(冷的变化情况如下表：X02(09232(2,4)4/'W+00+/W0

19、/极大值必 27极小值0/16由上表可知：刈叫=0,/(刈3=16.考点：利用导数研究函数的性质19 .(本题满分12分)某商场的销售部经过市场调查发现，该商场的某种商品每口的销试卷第11页，总11页售量 )，(单位：千克)与销售价格% (单位：元/千克)满足关系式y =，一+10(x-6) x-3其中3Vx<6, a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.(I )求a的值；(H)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格的值，使该商场每口销售该商品 所获得的利润最大.【答案】(1)2； ( II ) 4【解析】试题分析：(I )由f(5) =11代入函数的解析式，

20、解关于a的方程，可得a值；(II) 商场每口销售该商品所获得的利润二每口的销售量X销售该商品的单利润，可得口销售 量的利润函数为关于x的三次多项式函数，再用求导数的方法讨论函数的单调性，得出 函数的极大值点，从而得出最大值对应的x值.试题解析：(I )因为x = 5时，>' = 11,所以巴+ 10 = 11,解得4 = 2.2(H)由(I )可知，该商品每日的销售量 > =:_ + 10。-6)2,x-3所以商场每口销售该商品所获得的利润为：2/(x) = (x-3)+10(x - 6): = 2 +10(x - 3Xx - 6)2,3 < x < 6 .x-

21、3所以 / '(X)= 10。- 6):+ 2(x- 3)(x - 6) = 30a - 4)(x - 6).令八x)=30(x - 4)(x-6) = 0,得x = 4或 6 (舍去) 当变化时，/。),/(冷的变化情况如下表：X(3,4)4(4,6)/V)+0一/极大值42由上表可知x = 4是函数/(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点.所以，当x = 4时，函数“X)取得最大值，且最大值为42.答：当销售价格为4元/千克时，该商场每口销售该商品所得的利润最大.考点：函数模型的应用；利用导数研究函数的性质20.(本题满分13分)已知椭圆>>0)的离心率为立，

22、且它的一个焦点 a- b-3片的坐标为(0, 1).(I)求椭圆的标准方程；(II)设过焦点工的直线与椭圆相交于A 8两点，N是椭圆上不同于A 5的动点，试求AA5的面积的最大值.【答案】(I)21+£.=i ；(II)324【解析】试题分析：(I)根据椭圆的离心率和焦距即可求出标准方程；(II)设过焦点E的直线 为1,分两类，若1的斜率不存在，求出答案，若1的斜率存在，不妨设为k,则1的 方程为y=kx+1,根据韦达定理，弦长公式，点到直线的距离公式，得到 5-=6(lL)2(l),构造函数八八=6(1-八2(1 /)，利用导数求出函数的最值, 问题得以解决试卷第2页，总11页试题

23、解析：(I)设椭圆的半焦距为C,则C = l.又由e=£ =立，可解得。=6, a 3所以=/- = 2 ,*>7所以，椭圆的标准方程为二+二=1. 32(II)设过焦点鸟的直线为/.若/的斜率不存在，则A(0,JJ),8(0,g),即|A8|=2jJ,显然当N在短轴顶点(0,0)或(-0,0)时，的面积最大，此时，AA5的最大面积为:x2VJx>/I=#.若/的斜率存在，不妨设为k,则/的方程为y = h + l.设人(冷弘),83,兄).y = kx + l,联立方程：r 消去y整理得：(3+2-)/+4h-4 = 0, - L32_ -4kx所以 ：产，则.1= 7

24、T7F|= f ； 1).X.X =-T,- 3 + 2 公因为，当直线与/平行且与椭圆相切时，此时切点N到直线/的距离最大, 设切线 /': y =丘 + m(m < ->/2),y = kx + m联立x2 / 消去x整理得：(3 + 2-)/+46加:+2疝-6 = 0 ,+ = 132由 A = (4如?一4(3 + 2公)(2疝-6) = 0 ,解得：M = 3 + 24(机<一。).又点N到直线/的距离d =,y/k2 +1所以邑9 AB比1 4y/3(k2 +1) |/n-l| 2y/3m-ly/k2 +Ly/k2 +1-xx23 +2k-所以将 m2

25、=3 + 2k2 代入得 S2 - 6(1- )2 (1-. m m-令(一且,0),设函数) = 6(1 一(1 /)，则尸) = -12("1(2/ + 1), m 3因为当 y(-9，一；)时，/ >0,当/e(-g,0)时，fW<0,所以/(f)在(一弓上是增函数，在(一；,0)上是减函数，所以人«) = /(；) = £.试卷第11页，总11页故公=时，AM48面积最大值是处.显然病心， 244所以，当/的方程为），=±乎"1时，的面积最大，最大值为孚.考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质.21.（本

26、题满分 14 分）已知函数/（x） = X2 -2x+alnx（aeR）.（I ）当。=2时，求函数/（X）在（1, 1）处的切线方程；（II）求函数/（X）的单调区间；（III）若函数f（x）有两个极值点不，七（内x2）,不等式/（xj 九0恒成立，求实数m的 取值范围.【答案】（I） y = 2x-3 ;（II）当时，函数/（X）的增区间为在（0,一）,无减区 间；当0a；时，"X）的单调递增区间是（0,匕手巨）,（匕与至,”）；单调递减 区间是（匕昨至，匕半至）；当。0时，“X）的单调递增区间是（上半至,位）， 单调递减区间是（0,匕正至）；（JU） m-n222【解析】试题分

27、析：（I ）求当a=2时，函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即 可得到切线方程；（II ）求出f （x）的导数，令r （x） =0,得2f-2x+aR,对判别式 讨论，令导数大于0,得增区间，令导数小于0,得减区间；（III）函数f （x）在（0, +8 ）上有两个极值点，由（II ）可得0 a1不等式f（X。亘成立即为小J N m 2x2即为叁i2=i_&+L-+ 2811】演，h（x） = 1 -x+ + 2xhix（0 x -）求出导数， x2再一1x-12判断单调性，即可得到h （x）的范围，即可求得m的范围.试题解析：（I）因为当。=2 时，/（x） = x2 -2x+2Inx ,所以 fx） = 2x-2 + -. x因为1） = -1,/'（1） = 2，所以切线方程为y = 2x-3.（II）/'（x） = 2a