2015年天津市高考数学试卷(理科)(含解析版)

1、2015 年天津市高考数学试卷（理科）一.选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5 分）已知全集 U=1，2，3，4，5，6，7，8，集合 A=2，3，5，6，集合 B=1，3，4，6，7，则集合 A B=（）UA2，5C2，5，6（2 5 分）设变量 x，y 满足约束条件B3，6D2，3，5，6，8，则目标函数 z=x+6y 的最大值为（）A3B4C18D403（5 分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出 S&

2、#160;的值为（）A10B6C14D184（5 分）设 xR，则“|x2|1”是“x2+x20”的（）A充分而不必要条件C充要条件B必要而不充分条件D既不充分也不必要条件5（5 分）如图，在圆 O 中，M、N 是弦 AB 的三等分点，弦 CD，CE 分别经过点 M，N，若 CM=2，MD=4，CN=3，则线段 NE 的长为（）1AB3C          

3、   D6（5 分）已知双曲线=1 （a0，b0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线 y2=4A=1x 的准线上，则双曲线的方程为（   ）B    =1C=1D=1（7 5 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）=2|xm|1（m 为实数）为偶函数，记 a=f（log 3），b=f（log 5），c=f（2m），则 a，b，c 

4、的大小关系为（）0.52AabcBacbCcabDcba8（5 分）已知函数 f（x）=，函数 g（x）=bf（2x），其中bR，若函数 y=f（x）g（x）恰有 4 个零点，则 b 的取值范围是（）A（ ，+）B（， ）   C（0， ）      D（ ，2）二.填空题（每小题 5 分，共 30 分）（i（95 分） 是虚数

5、单位，若复数（12i）a+i）是纯虚数，则实数 a 的值为10（5 分）一个几何体的三视图如图所示（单位： m），则该几何体的体积为m3211（5 分）曲线 y=x2 与 y=x 所围成的封闭图形的面积为12（5 分）在（x）6 的展开式中，x2 的系数为13（5 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，已知ABC 的面积为 3，bc=2，cosA= ，则 a

6、0;的值为14（5 分）在等腰梯形 ABCD 中，已知 ABDC，AB=2，BC=1，ABC=60°动点E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且=  ，  =     ，则      的最小值为三.解答题（本大题共 6 小题，共 80 分）15（13 分）已知函数 

7、;f（x）=sin2xsin2（x（）求 f（x）的最小正周期；），xR（）求 f（x）在区间，  内的最大值和最小值316（13 分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员 3 名，其中种子选手 2 名，乙协会的运动员 5 名，其中种子选手 3 名，从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛（）设 A 为事件“选出的 4 人中恰有&#

8、160;2 名种子选手，且这 2 名种子选手来自同一个协会”，求事件 A 发生的概率；（）设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望17（13 分）如图，在四棱柱 ABCDA B C D 中，侧棱 AA 底面 ABCD，ABAC，11111AB=1，AC=AA =2，AD=CD=1，且点 M 和 N 分别为

9、0;B C 和 D D 的中点1 1（）求证：MN平面 ABCD（）求二面角 D ACB 的正弦值；11（）设 E 为棱 A B 上的点，若直线 NE 和平面 ABCD 所成角的正弦值为 ，求线11段 A E 的长14（18 13 分）已知数列a 满足 a =qa （q 为实数，且 q1）

10、，nN*，a =1，a =2，nn+2n12且 a +a ，a +a ，a +a 成等差数列233445（1）求 q 的值和a 的通项公式；n（2）设 b =n，nN*，求数列b 的前 n 项和n19（14 分）已知椭圆+=1（ab0）的左焦点为 F（c，0），离心率为，点 M 在椭圆上且位于第一象限，直线 FM 被圆 x2+y2=为 c，|FM|

11、=（）求直线 FM 的斜率；（）求椭圆的方程；截得的线段的长（）设动点 P 在椭圆上，若直线 FP 的斜率大于斜率的取值范围，求直线 OP（O 为原点）的520（14 分）已知函数 f（x）=nxxn，xR，其中 nN ，且 n2（）讨论 f（x）的单调性；（）设曲线 y=f（x）与 x 轴正半轴的交点为 P，曲线在点 P 处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的正实数 x，都有&#

12、160;f（x）g（x）；（）若关于 x 的方程 f（x）=a（a 为实数）有两个正实数根 x ，x ，求证：|x12x |+21262015 年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5 分）已知全集 U=1，2，3，4，5，6，7，8，集合 A=2，3，5，6，集合 B=1，3，4，6，7，则集合 A B=（）UA2，5B3，6   

13、0;    C2，5，6    D2，3，5，6，8【考点】1H：交、并、补集的混合运算【专题】5J：集合【分析】由全集 U 及 B，求出 B 的补集，找出 A 与 B 补集的交集即可；【解答】解：全集 U=1，2，3，4，5，6，7，8，集合 A=2，3，5，6，集合 B=1，3，4，6，7， B=2，5，8，U则 A B=2，5U故选：A【点评】此题考查了交、并、

14、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键（2 5 分）设变量 x，y 满足约束条件为（），则目标函数 z=x+6y 的最大值A3B4             C18           D40【考点】7C：简单线性规划【专题】59：不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标

15、函数的几何意义，利用数形结7合确定 z 的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由 z=x+6y 得 y= x+ z，平移直线 y= x+ z，由图象可知当直线 y= x+ z 经过点 A 时，直线 y= x+ z 的截距最大，此时 z 最大由，解得，即 A（0，3）将 A（0，3）的坐标代入目标函数 z=x+6y，得

16、60;z=3×6=18即 z=x+6y 的最大值为 18故选：C【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法3（5 分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出 S 的值为（）8A10B6C14D18【考点】EF：程序框图【专题】27：图表型；5K：算法和程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 i，S 的值，当 i=8 时满足条件 i5，退出循环，输出 S 的值为 

17、6【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=20，i=1i=2，S=18不满足条件 i5，i=4，S=14不满足条件 i5，i=8，S=6满足条件 i5，退出循环，输出 S 的值为 6故选：B【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的 i，S的值是解题的关键，属于基础题4（5 分）设 xR，则“|x2|1”是“x2+x20”的（）A充分而不必要条件C充要条件B必要而不充分条件D既不充分也不必要条件9【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件【专题】5L：简易逻辑【分析】根据不等式的性质，

18、结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：由“|x2|1”得 1x3，由 x2+x20 得 x1 或 x2，即“|x2|1”是“x2+x20”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础5（5 分）如图，在圆 O 中，M、N 是弦 AB 的三等分点，弦 CD，CE 分别经过点 M，N，若 CM=2，MD=4，CN=3，则线段 NE 的长为（）AB3CD【考点】NC：与圆有

19、关的比例线段【专题】17：选作题；5M：推理和证明【分析】由相交弦定理求出 AM，再利用相交弦定理求 NE 即可【解答】解：由相交弦定理可得 CM MD=AM MB，2×4=AM 2AM，AM=2，MN=NB=2，又 CN NE=AN NB，3×NE=4×2，NE= 故选：A【点评】本题考查相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础106（5 分）已知双曲线=1 （a0，b0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线 

20、;y2=4A=1x 的准线上，则双曲线的方程为（   ）B    =1C=1D=1【考点】KB：双曲线的标准方程【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得 a、b 的另一个方程，求出 a、b，即可得到双曲线的标准方程【解答】解：由题意， =，抛物线 y2=4的准线上，c=，a2+b2=c2=7，a=2，b=，双曲线的

21、一个焦点在抛物线 y2=4x 的准线方程为 x=                                   x双曲线的方程为故选：B【点评】本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属

22、于基础题（7 5 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）=2|xm|1（m 为实数）为偶函数，记 a=f（log 3），b=f（log 5），c=f（2m），则 a，b，c 的大小关系为（）0.52AabcBacbCcabDcba11【考点】3N：奇偶性与单调性的综合【专题】51：函数的性质及应用【分析】根据 f（x）为偶函数便可求出 m=0，从而 f（x）=2|x|1，这样便知道f（x）在0，+）上单调递增，根据 f（x）为偶函数，便可将自变量

23、的值变到区间0，+）上：a=f（|log 3|），b=f（log 5），c=f（0），然后再比较0.52自变量的值，根据 f（x）在0，+）上的单调性即可比较出 a，b，c 的大小【解答】解：f（x）为偶函数；f（x）=f（x）；2|xm|1=2|xm|1；|xm|=|xm|；（xm）2=（xm）2；mx=0；m=0；f（x）=2|x|1；f（x）在0，+）上单调递增，并且 a=f（|log 3|）=f（log 3），b=f（log 5），0.522c=f（0）；0log 3log 5

24、；22cab故选：C【点评】考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间 0，+）上，根据单调性去比较函数值大小对数的换底公式的应用，对数函数的单调性，函数单调性定义的运用8（5 分）已知函数 f（x）=，函数 g（x）=bf（2x），其中bR，若函数 y=f（x）g（x）恰有 4 个零点，则 b 的取值范围是（）A（ ，+）B（， ）C（0， ）D（ ，2）12【考点】53：函数的零点与方程根的关系【专题】2：创新题型

25、；51：函数的性质及应用【分析】求出函数 y=f（x）g（x）的表达式，构造函数 h（x）=f（x）+f（2x），作出函数 h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可【解答】解：g（x）=bf（2x），y=f（x）g（x）=f（x）b+f（2x），由 f（x）b+f（2x）=0，得 f（x）+f（2x）=b，设 h（x）=f（x）+f（2x），若 x0，则x0，2x2，则 h（x）=f（x）+f（2x）=2+x+x2，若 0x2，则2x0，02x2，则 h（x）=f（x）+f（2x）=2x+2|2

26、x|=2x+22+x=2，若 x2，x2，2x0，则 h（x）=f（x）+f（2x）=（x2）2+2|2x|=x25x+8即 h（x）=，作出函数 h（x）的图象如图：当 x0 时，h（x）=2+x+x2=（x+ ）2+  ，当 x2 时，h（x）=x25x+8=（x ）2+  ，故当 b= 时，h（x）=b，有两个交点，当 b=2 时，h（x）=b，有无数个交点，由图象知要使函数 y=f（x）g（x）恰有

27、 4 个零点，即 h（x）=b 恰有 4 个根，则满足 b2，故选：D13【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键二.填空题（每小题 5 分，共 30 分）（9 5 分）i 是虚数单位，若复数（12i） a+i）是纯虚数，则实数 a 的值为2【考点】A1：虚数单位 i、复数【专题】5N：数系的扩充和复数【分析】由复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于 

28、0 且虚部不等于 0 求得a 的值【解答】解：由（12i）（a+i）=（a+2）+（12a）i 为纯虚数，得，解得：a=2故答案为：2【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数为纯虚数的条件，是基础题（m10 5 分）一个几何体的三视图如图所示（单位： ），则该几何体的体积为m314【考点】L!：由三视图求面积、体积【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面相同的

29、圆柱与两个圆锥的组合体，且圆柱底面圆的半径为 1，高为 2，圆锥底面圆的半径为 1，高为 1；该几何体的体积为V=2×  12×1+ 12 2几何体= 故答案为： 【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目11（5 分）曲线 y=x2 与 y=x 所围成的封闭图形的面积为【考点】69：定积分的应用【专题】11：计算题；52：导数的概念及应用【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为

30、0;0，积分上限为 1，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为 1，积分下限为 015直线 y=x 与曲线 y=x2 所围图形的面积 S= 1（xx2）dx0而 1（xx2）dx=（0曲边梯形的面积是 故答案为： ）| 1=  =0【点评】本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，解题的关键就是求原函数12（5

31、0;分）在（x）6 的展开式中，x2 的系数为【考点】DA：二项式定理【专题】11：计算题；5P：二项式定理【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 2，求出 r 的值，即可求得 x2 的系数【解答】解：（x）6 的展开式的通项公式为 T =   （x）6r （  ）r=r+1（ ）r x62r，令 62r=2，解得 r=2，展开式中 x2 的

32、系数为×  =  ，故答案为：【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题1613（5 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，已知ABC 的面积为 3，bc=2，cosA= ，则 a 的值为8【考点】HR：余弦定理【专题】58：解三角形【 分 析 】 由 cosA= ， A  （ 

33、;0 ，  ）， 可 得 sinA=         利用 SABC=       =    ，化为 bc=24，又 bc=2，解得 b，c由余弦定理可得：a2=b2+c22bccosA 即可得出【解答】解：A（0，），sinA=    ABC=&#

34、160;      =       bc=，化为 bc=24，又 bc=2，解得 b=6，c=4由余弦定理可得：a2=b2+c22bccosA=36+1648×=64解得 a=8故答案为：8【点评】本题考查了余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14（5 分）在等腰梯形 ABCD 中，已知 ABDC，AB=2，BC=1，ABC

35、=60°动点E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且=  ，  =     ，则     的最小值为【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算【专题】2：创新题型；5A：平面向量及应用【分析】利用等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表示为关于  的代数式，根据具体的形式求最值【解答】解：由题意，得到 AD=BC=CD=1，所以=（）

36、60;（）17=（）  （         ）=2 × 1 × cos60°+1 × 1 ×cos60°+×2×1+ ×1×1×cos120°=1+ =  （当且仅当       时等号成立

37、）；故答案为：【点评】本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值；关键是正确表示所求，利用基本不等式求最小值三.解答题（本大题共 6 小题，共 80 分）15（13 分）已知函数 f（x）=sin2xsin2（x（）求 f（x）的最小正周期；），xR（）求 f（x）在区间，  内的最大值和最小值【考点】GP：两角和与差的三角函数；H1：三角函数的周期性；HW：三角函数的最值【专题】56：三角函数的求值【分析】（）由三角函数公式化简可得 f（x）= s

38、in（2x），由周期公式可得；（）由 x，结合不等式的性质和三角函数的知识易得函数的最值【解答】解：（）化简可得 f（x）=sin2xsin2（x）= （1cos2x） 1cos（2x）= （1cos2x1+ cos2x+sin2x）= （ cos2x+sin2x）= sin（2x）18f（x）的最小正周期 T=；（）x，2x   ，  ，sin（2x）1， sin（2x） ，  ，f（x）在区间内的最大值

39、和最小值分别为，【点评】本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数的周期性和最值，属基础题16（13 分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员 3 名，其中种子选手 2 名，乙协会的运动员 5 名，其中种子选手 3 名，从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛（）设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手，且这 2 名

40、种子选手来自同一个协会”，求事件 A 发生的概率；（）设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差【专题】5I：概率与统计【分析】（）利用组合知识求出基本事件总数及事件 A 发生的个数，然后利用古典概型概率计算公式得答案；（）随机变量 X 的所有可能取值为 1，2，3，4，由古典概型概率计算公式求得概率，列出分布列，代入期望公式求期望【解答】解：（）由已知，有&#

41、160;P（A）=事件 A 发生的概率为；（）随机变量 X 的所有可能取值为 1，2，3，4P（X=k）=（k=1，2，3，4）随机变量 X 的分布列为：，19XP1            2            34随机变量 X 的数学期望 E（X）=【点

42、评】本题主要考查古典概型及其概率计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，是中档题17（13 分）如图，在四棱柱 ABCDA B C D 中，侧棱 AA 底面 ABCD，ABAC，11111AB=1，AC=AA =2，AD=CD=1，且点 M 和 N 分别为 B C 和 D D 的中点1 1（）求证：MN平面 ABC

43、D（）求二面角 D ACB 的正弦值；11（）设 E 为棱 A B 上的点，若直线 NE 和平面 ABCD 所成角的正弦值为 ，求线11段 A E 的长1【考点】LS：直线与平面平行；MI：直线与平面所成的角；MJ：二面角的平面角及求法【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角【分析】（）以 A 为坐标原点，以 AC、AB、AA 所在直线分别为 x、y、z 轴建1系，通过平

44、面 ABCD 的一个法向量与的数量积为 0，即得结论；（）通过计算平面 ACD 的法向量与平面 ACB 的法向量的夹角的余弦值及平方11关系即得结论；（）通过设20=    ，利用平面 ABCD 的一个法向量与  的夹角的余弦值为 ，计算即可（【解答】 ）证明：如图，以A 为坐标原点，以 AC、AB、AA 所在直线分别为 x、1y、z 轴建系，则 A（0，0，0），B

45、（0，1，0），C（2，0，0），D（1，2，0），A （0，0，2），B （0，1，2），C （2，0，2），D （1，2，2），1111又M、N 分别为 B C、D D 的中点，M（1， ，1），N（1，2，1）11由题可知： =（0，0，1）是平面 ABCD 的一个法向量，=0，MN 平面 ABCD，MN平面 ABCD；=（0， ，0），（）解：由（I）可知：=（1，2，2），  =（2，0，0），&

46、#160;  =（0，1，2），设 =（x，y，z）是平面 ACD 的法向量，1由，得，取 z=1，得 =（0，1，1），设 =（x，y，z）是平面 ACB 的法向量，1由，得，取 z=1，得 =（0，2，1），cos ， =，sin ， =     ，二面角 D ACB 的正弦值为11；（）解：由题意可设=，其中 0，1，E=（0，2），=（1，

47、+2，1），又 =（0，0，1）是平面 ABCD 的一个法向量，21cos， =整理，得 2+43=0，解得 =线段 A E 的长为212 或2= ，（舍），【点评】本题考查直线与平面平行和垂直、二面角、直线与平面所成的角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理能力，注意解题方法的积累，属于中档题（18 13 分）已知数列a 满足 a =qa （q 为实数，且 q1

48、），nN*，a =1，a =2，nn+2n12且 a +a ，a +a ，a +a 成等差数列233445（1）求 q 的值和a 的通项公式；n（2）设 b =，nN*，求数列b 的前 n 项和nn【考点】8E：数列的求和（【专题】11：计算题；32：分类讨论；48：分析法；54：等差数列与等比数列【分析】 1）通过 a =qa 、a 、a ，可得 a

49、60;、a 、a ，利用 a +a ，a +a ，a +a 成n+2n12354233445等差数列，计算即可；（2）通过（1）知 b =，nN*，写出数列b 的前 n 项和 T 、2T 的表达式，nnnn利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可【解答】解：（1）a =qa （q 为实数，且 q1），nN*，a =1，a =2，n+2n1222a =q，

50、a =q2，a =2q，354又a +a ，a +a ，a +a 成等差数列，2334452×3q=2+3q+q2，即 q23q+2=0，解得 q=2 或 q=1（舍），a =；n（2）由（1）知 b =，nN*，n记数列b 的前 n 项和为 T ，nn则 T =1+2n+3+4+（n1）+n，2T =2+2+3n+4+5+（n1）+n，两式相减，得

51、0;T =3+ +n=3+n=3+1n=4+    n【点评】本题考查求数列的通项与前 n 项和，考查分类讨论的思想，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题19（14 分）已知椭圆+=1（ab0）的左焦点为 F（c，0），离心率为，点 M 在椭圆上且位于第一象限，直线 FM 被圆 x2+y2=为 c，|FM|=（）求直线 FM 的斜率；（）求椭圆的方程；截得的线段的长23（）设动点 

52、P 在椭圆上，若直线 FP 的斜率大于，求直线 OP（O 为原点）的斜率的取值范围【考点】K3：椭圆的标准方程；KH：直线与圆锥曲线的综合【专题】2：创新题型；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）通过离心率为，计算可得 a2=3c2、b2=2c2，设直线 FM 的方程为y=k（x+c），利用勾股定理及弦心距公式，计算可得结论；（）通过联立椭圆与直线 FM 的方程，可得 M（c，c），利用|FM|=    计算即可；（）设动

53、点 P 的坐标为（x，y），分别联立直线 FP、直线 OP 与椭圆方程，分 x（ ，1）与 x（1，0）两种情况讨论即可得到结论【解答】解：（）离心率为，  =      = ，2a2=3b2，a2=3c2，b2=2c2，设直线 FM 的斜率为 k（k0），则直线 FM 的方程为 y=k（x+c），直线 FM 被圆 x2+y2=截得的线段

54、的长为 c，圆心（0，0）到直线 FM 的距离 d=，d2+=     ，即（      ）2+=     ，解得 k=，即直线 FM 的斜率为；+（）由（I）得椭圆方程为：=1，直线 FM 的方程为 y=（x+c），联立两个方程，消去 y，整理得 3x2+2cx5c2=0，解得 x= c，或

55、60;x=c，点 M 在第一象限，M（c，c），|FM|=，解得 c=1，a2=3c2=3，b2=2c2=2，24=    ，即椭圆的方程为+=1；（）设动点 P 的坐标为（x，y），直线 FP 的斜率为 t，F（1，0），t=，即 y=t（x+1）（x1），联立方程组，消去 y 并整理，得 2x2+3t2（x+1）2=6，又直线 FP 的斜率大于，62x26（x+1）2，整理得：x（2x+3）0 且

56、60;x1，解得 x1，或1x0，设直线 OP 的斜率为 m，得 m= ，即 y=mx（x0），联立方程组，消去 y 并整理，得 m2= 当 x（ ，1）时，有 y=t（x+1）0，因此 m0，m=，m（，）；当 x（1，0）时，有 y=t（x+1）0，因此 m0，m=，m（，）；综上所述，直线 OP 的斜率的取值范围是：（，）（  ，   

57、60;）【点评】本题考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程和圆的方程、直线与圆的位置关系、一元二次不等式等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力、以及用函数与方程思想解决问题的能力，属于中档题2520（14 分）已知函数 f（x）=nxxn，xR，其中 nN ，且 n2（）讨论 f（x）的单调性；（）设曲线 y=f（x）与 x 轴正半轴的交点为 P，曲线在点 P 处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的正实数 x，都有 f（x）g

58、（x）；（）若关于 x 的方程 f（x）=a（a 为实数）有两个正实数根 x ，x ，求证：|x122x |+21【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】16：压轴题；2：创新题型；52：导数的概念及应用；53：导数的综合应用【分析】（）由 f（x）=nxxn，可得 f（x），分 n 为奇数和偶数两种情况利用导数即可得函数的单调性（）设点 P 的坐标为（x ，0），则可求 x =n，f（x ）=nn2，可求 g（x）000=f（x