2000-2017考研数学二历年真题word版

1、2017 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.（1）若函数 f ( x) = íì1 - cos xïax, x > 0在 x=0 连续，则ïîb, x £ 0(A) ab =

2、60; 1(B) ab = -     (C) ab = 0  (D) ab = 2122（2）设二阶可到函数 f ( x) 满足 f (1) = f (-1) = 1, f (0) = -1 且 f ¢¢( x)

3、60;> 0 ，则(A)ò1f ( x)dx > 0-1(B)ò1f ( x)dx < 0-2(C)ò0f ( x)dx > ò1 f ( x)dx-10(D)ò1f ( x)dx < ò1 f ( x)dx-1（3）设数列x0收敛，则nn®¥

4、60;                   n®¥(A)当 limsin x = 0 时， lim x = 0nnn®¥n®¥(B)当 lim x ( x +nnx ) = 0&#

5、160;时，则 lim x = 0n nnn®¥(C)当 lim( x + x2 ) = 0 ,nlim = 0n®¥n®¥n®¥（5）设 f ( x) 具有一阶偏导数，且在任意的 ( x, y) ，都有  ¶f ( x, y)(

6、D)当 lim( x + sin x ) = 0 时， lim x = 0nnn（4）微分方程 y¢¢ - 4 y¢ + 8 y = e2 x (1+ cos 2 x) 的特解可设为 y k =(A) Ae2 x + e

7、2 x ( B cos 2 x + C sin 2 x)(B) Axe2 x + e2 x ( B cos 2 x + C sin 2 x)(C) Ae2 x + xe2 x ( B cos 2 x + C s

8、in 2 x)(D) Axe2 x + xe2 x ( B cos 2 x + C sin 2 x)¶f ( x, y)> 0,则¶x¶y(A) f (0,0) > f (1,1)(B) f (0,0) < f (1,1)(C) f

9、 (0,1) > f (1,0)(D) f (0,1) < f (1,0)（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位:m）处,图中，实线表示甲的速度曲线 v = v (t ) （单位:m/s）1,虚线表示乙的速度曲线 v = v (t )，三块阴影部分面积的数值依次为 10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为t （单位:s）20则(A)&#

10、160;t = 10(B)15 < t < 20(C) t = 25(D) t > 250000v(m / s)1020（7）设 A 为三阶矩阵， P = (a ,a ,a ) 为可逆矩阵，使得 P -1 AP = ê0 10úú ，则 A(

11、a ,a ,a ) =051015202530t(s)é000ùê123123êë002úû(A) a + a12(B) a + 2a23(C) a + a23(D) a + 2a12（8）已知矩阵 A = ê0 21úú ， B = êê

12、020úú ， C = êê020úú ，则（10）设函数  y  =  y(x )由参数方程 í       确定，则î                

13、60;      t=0é200ùé210ùé100ùêëëëê001úûê001úûê000úû(A) A 与 C 相似，B 与 C 相似(B) A 与 C 相似，B 与 C 不相似(C) A

14、60;与 C 不相似，B 与 C 相似(D) A 与 C 不相似，B 与 C 不相似二、填空题：914 题，每小题 4 分，共 24 分.（9）曲线 y = x (1 + arcsin2 x )的斜渐近线方程为ìx = t + etd 2yy = sin td

15、x 2(1 + x )（11） ò+¥0ln(1 + x )2dx =                   （12）设函数 f (x ,y )具有一阶连续偏导数，且df (x ,y ) = yeydx 

16、;+ x (1 + y )e ydy ,f (0,0) = 0 ，则 f (x ,y )=（13） òdy ò1y   x    dx  =10tan x（14）设矩阵 A  =  ç 1 2 a ÷

17、 的一个特征向量为 ç 1 ÷ ，则 a   =ç 31-1 ÷            ç 2 ÷æ 41-2 öæ 1 öç÷ç ÷èø&

18、#232; ø三、解答题：1523 小题，共 94 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分 10 分）求 limx ®0+ò x0x - tetdtx 3()     d2y设函数 f (u,v )具有 2 阶连续性偏导数， y  = f   e 

19、;x,cosx  ,求dx 2（16）（本题满分 10 分）dy,dxx=0x=0（17）（本题满分 10 分）n ÷øln ç1 +n 2n求 lim ån ®¥k =1æk       k öè（18）（本题满分 10 分）已知函数由方程确定，求的极值（1

20、9）（本题满分 10 分）f ( x) 在 0,1 上具有 2 阶导数， f (1) > 0, limx®0+f ( x)x< 0 ，证明（1）方程 f ( x) = 0 在区间 (0,1) 至少存在一个根（2）方程 f ( x) + f ¢

21、62;( x) +  f ¢( x)2 = 0 在区间 (0,1) 内至少存在两个不同的实根（20）（本题满分 11 分）已知平面区域 D =(x ,y ) x22+ y 2 £ 2y ，计算二重积分 òò (x + 1) dxdyD（21）（本题满分 11 

22、分）3设 y( x) 是区间 (0, ) 内的可导函数，且 y(1) = 0 ，点 P 是曲线 L : y = y( x) 上的任意一点，L 在点 P 处的切线与 y2轴相交于点 (0, Y ) ，法线与 x 轴相交于点 ( X ,0) ，若 X =

23、 YPPpP，求 L 上点的坐标 ( x, y) 满足的方程。（22）（本题满分 11 分）三阶行列式 A = (a ,a ,a ) 有 3 个不同的特征值，且a = a + 2a123312（1）证明 r ( A) = 2（2）如果 b = a + a + 

24、a 求方程组 Ax = b 的通解123（23）（本题满分 11 分）设 f ( x , x , x ) = 2x2 - x2 + ax2 + 2x x - 8x x + 2x x 在正交变换 x = Qy 下的标准型为 l y&

25、#160;2 + l y 2 求 a 的值及12321 21 32 31 12213一个正交矩阵 Q .2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题.一、选择：18 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的（1） 设 a = x(cos x -1) ， a =12x&#

26、160;ln(1+ 3 x ) ， a = 3 x + 1 -1 .当 x ® 0+时，以上 3 个无穷小量按照从低阶3到高阶拓排序是（A） a , a , a .（B） a , a , a .123231（C） a , a , a .（D

27、） a , a , a .213321（2）已知函数 f ( x) = íì2( x - 1),   x < 1,ln x,   x ³ 1,î则 f ( x) 的一个原函数是ì ( x -1)2 ,x 

28、< 1.ì( x -1)2 ,x < 1.（A） F ( x) = í（B） F ( x) = íx(ln x - 1),   x ³ 1.îî x(ln x + 1) - 1, x ³ 

29、1.ì( x -1)2 ,ì( x -1)2 ,x < 1.x < 1.（C） F ( x) = í（D） F ( x) = íî x(ln x + 1) + 1, x ³ 1.î x(ln x -

30、 1) + 1, x ³ 1.（3）反常积分  òe x dx ， ò +¥-¥ x00 1121 1e x dx 的敛散性为x2（A）  收敛，  收敛.（B）  收敛，  发散.（C）  收敛，  收敛.（D）  收

31、敛，  发散.（4）设函数 f ( x) 在 (-¥, +¥) 内连续，求导函数的图形如图所示，则（A）函数 f ( x) 有 2 个极值点，曲线 y = f ( x) 有 2 个拐点.（B）函数 f ( x) 有 2 个极值点，曲线 y = f (

32、 x) 有 3 个拐点.（C）函数 f ( x) 有 3 个极值点，曲线 y = f ( x) 有 1 个拐点.（D）函数 f ( x) 有 3 个极值点，曲线 y = f ( x) 有 2 个拐点.（5）设函数 f ( x)(i =

33、60;1,2) 具有二阶连续导数，且 f ( x ) < 0(i = 1,2) ，若两条曲线ii0y = f ( x)(i = 1,2) 在点 ( x , y ) 处具有公切线 y = g ( x) ，且在该点处曲线 y = f ( x) 的曲

34、率大于曲线 y = f ( x) 的曲率，i0012则在 x 的某个领域内，有0（A） f ( x) £ f ( x) £ g ( x)12（B） f ( x) £ f ( x) £ g ( x)21（C） f ( x) 

35、;£ g ( x) £ f ( x)12（D） f ( x) £ g ( x) £ f ( x)21e x（6）已知函数 f ( x, y) =，则x - y（A） f ' - f ' = 0xy（B） 

36、f ' + f ' = 0xy（C） f ' - f ' = fxy（D） f ' + f ' = fxy（7）设 A ， B 是可逆矩阵，且 A 与 B 相似，则下列结论错误的是（A） AT 与 BT 相似（B） A-1

37、 与 B-1 相似（C） A + AT 与 B + BT 相似（D） A + A-1 与 B + B -1 相似（8）设二次型 f ( x , x , x ) = a( x 2 + x 2 + x 2 )

38、60;+ 2 x x + 2 x x + 2 x x 的正、负惯性指数分别为 1,2，则1231231 2231 3（A） a > 1（B） a < -2（C） -2 < a < 1（D） a = 1 与 a = -2二、填空题：914 

39、;小题，每小题 4 分，共 24 分。（9）曲线 y =x31 + x2+ arctan(1+ x2 ) 的斜渐近线方程为_.(sin  + 2sin  + L  + n sin   ) = _.112n（10）极限 limn®¥ n2nnn（11）以 y = 

40、;x 2 - e x 和 y = x2 为特解的一阶非齐次线性微分方程为_.（12）已知函数 f ( x) 在 (-¥, +¥) 上连续，且 f ( x) = ( x + 1)2 + 2òxf (t )dt ，则当 n ³ 2 时

41、， f (n) (0) = _.（14）设矩阵 ê-1 a -1úú 与 êê0-1   1úú 等价，则 a = _.0（13）已知动点 P 在曲线 y = x3 上运动，记坐标原点与点 P 间的距离为 l .若点 P 的横坐标时间的变化

42、率为常数 v ，则0当点 P 运动到点 (1,1)时， l 对时间的变化率是 _.é a-1 -1ùé110ùêêë-1 -1a úûêë101úû解答题：1523 小题，共 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分 10 分）（16）（本题满分 10 

43、;分）设函数 f ( x) = ò1t 2 - x2 dt ( x > 0) ，求 f ' ( x) 并求 f ( x) 的最小值.0（17）（本题满分 10 分）已知函数 z = z ( x, y ) 由方程 ( x

44、0;2 + y 2 ) z + ln z + 2( x + y + 1) = 0 确定，求 z = z ( x, y )的极值.（18）（本题满分 10 分）x2 - xy - y 2设 D 是由直线 y = 1 ，&#

45、160;y = x ， y = - x 围成的有界区域，计算二重积分 òòdxdy.x2 + y 2D（19）（本题满分 10 分）已知 y ( x) = e x ， y ( x) = u ( x)e x 是二阶微分方程 (2 x - 1)

46、 y n - (2 x + 1) y '+ 2 y = 0 的解，若 u (-1) = e ， u (0) = -1 ，求12u( x) ，并写出该微分方程的通解。（20）（本题满分 11 分）设  D 是由曲线 y =   1&#

47、160;- x2 (0 £ x £ 1) 与 íïî y = sin 3 t è0 £ t £  ÷ 围成的平面区域，求 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积。ïì x = cos3 t &

48、#230;çp ö2 ø（21）（本题满分 11 分）已知 f ( x) 在 0,3p            3p         cos x 上连续，在 (0,  ) 内是函数2  

49、60;          2         2 x - 3p的一个原函数 f (0) = 0 。设矩阵 A = ç   1           &#

50、160;   ÷ ，且方程组 Ax = b 无解。0   a   ÷ ， b  = ç1ç a + 1   1a + 1÷    ç 2a - 2 ÷已知矩阵 A

51、0;= ç 2 -3   0 ÷题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.3p（）求 f ( x) 在区间 0, 上的平均值；23p（）证明 f ( x) 在区间 (0,) 内存在唯一零点。2（22）（本题满分 11 分）1   1 - a öæ 1æ

52、0;0öç÷ç÷èøèø（）求 a 的值；（）求方程组 AT Ax = AT b 的通解。（23）（本题满分 11 分）æ 0-1 1 öç÷èøç 000 ÷（）求 A 99（）设 3 阶矩阵 B = (a&

53、#160;,a ,a ) 满足 B 2 = BA 。记 B100 = (b , b , b ) ，将 b , b , b 分别表示为a ,a ,a 的线性组123123123123合。2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:18 小题，每小题 4 分，共 32 

54、;分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合(1)下列反常积分中收敛的是（）（A） òdx  （B） òdx (C) òdx  (D) ò+¥21x+¥2ln xx+¥21x ln x+¥ xe x2dx(2)函数 f ( x) = lim(1+t ®0sin t x2) t

55、 在 (-¥, +¥) 内（）x（A）连续 （B）有可去间断点 （C）有跳跃间断点 (D)有无穷间断点ì   ax  cos , x > 0(3)设函数  f ( x) = í    xï1b(a > 0, b > 0)&

56、#160;，若 f ( x) 在 x = 0 处连续，则（）îï0, x £ 0（A） a - b > 1 (B) 0 < a - b £ 1 (C) a - b > 2 (D) 0 < a

57、60;- b £ 2(4) 设函数 f ( x) 在 (-¥, +¥) 连续，其二阶导函数 f ¢¢( x) 的图形如右图所示，则曲线 y = f ( x) 的拐点个数为（）（A）0(B)1(C)2(D)3(5).设函数 f (u，v) 满足 f ( x + 

58、y, y ) = x 2 - y 2 ，则x¶f ¶f与¶u u=1  ¶v u=1v=1 v=1依次是（）（A）  1111,0(B)0，（C）-,0(D)0 ,-2222(6). 设 D 是第一象限中曲线 2 xy = 1,4 xy = 1 与直线 y&#

59、160;= x, y =3x 围成的平面区域，函数 f ( x, y) 在 D 上连续，则òòf ( x, y)dxdy =（）Dòp dq òòpp dq ò（A）2 sin 2q4 2sin 2qp 11f (r cosq , r sin

60、0;q )dr（B）21sin 2q1f (r cosq , r sin q )dr42sin 2qòp dq òf (r cosq , r sin q )dr （D） ò 3 dq ò（C）p31sin 2q1pp1sin 2q1f (r cosq , r&

61、#160;sin q )dr42sin 2q42sin 2q(7)设矩阵 A= ç1   2 a ÷ ，b= ç d ÷ ,若集合 =1,2 ，则线性方程组 Ax = b 有无穷多个解的充分必要条件为（）ç1   4a 2 ÷   

62、1; d 2 ÷æ1 11 öæ 1 öç÷ç÷èøèø（A） a ÏW , d ÏW(B) a ÏW , d ÎW(C) a ÎW , d ÏW (D) a 

63、ÎW , d ÎW(8)设二次型 f ( x , x , x ) 在正交变换 x = Py 下的标准形为 2 y 2 + y 2 - y 2 , 其中 P=(e ,e ,e ) ，若 Q = (e , -e&#

64、160;, e ) ，则123123123132f ( x , x , x ) 在正交变换 x = Py 下的标准形为（）123(A): 2 y 2 - y 2 + y 2123(B) 2 y 2 + y 2 - y 21 2 3(C) 2

65、 y 2 - y 2 - y 21 2 3(D) 2 y 2 + y 2 + y 21 2 3二、填空题：914 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.ì x = arctan t  d 2 yî &#

66、160;y = 3t + t 3(9) 设 í, 则dx2t =1=（10）函数 f ( x) = x 2 2 x 在 x = 0 处的 n 阶导数 f (n) (0) =（11）设函数 f ( x) 连续， j ( x) =&#

67、160;ò x2xf (t )dt, 若 j (1) = 1 ， j ' (1) = 5 ，则 f (1) =0（12）设函数 y = y ( x) 是微分方程 y '' + y ' - 2 y = 0 的解

68、，且在 x = 0 处 y( x) 取值 3，则 y( x) =（13）若函数 z = z ( x, y ) 由方程 e x+2 y+3z + xyz = 1 确定，则 dz(0,0)=三、解答题：1523 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演

69、算步骤.（14）设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2，-2,1， B = A2 - A + E ，其中 E 为 3 阶单位矩阵，则行列式 B =15、（本题满分 10 分）设函数 f ( x) = x + a ln(1+ x) + bx sin x ，

70、 g ( x) = kx 2 ，若 f ( x) 与 g ( x) 在 x ® 0 是等价无穷小，求 a, b, k 的值。16、（本题满分 10 分）2  ) 及直线 y = o, x =设 A > 0 ，D&#

71、160;是由曲线段 y = A sin x(0 £ x £pp2 所形成的平面区域， V1 ，V2 分别表示 D 绕 X 轴与绕 Y 轴旋转所成旋转体的体积，若V = V ，求 A 的值。1217、（本题满分 10 分）已知函数 f ( x, y) 满足 f 

72、¢¢ ( x, y) = 2( y +1)ex ， f ¢( x,0) = ( x + 1)e x ， f (0, y) = +2 y, 求 f ( x, y) 的极值。xyx18、（本题满分 10 分）(计算二重积分 ò

73、2; x( x + y)dxdy ，其中 D = x, y) x2 + y 2 £ 2, y ³ x2 。D19、（本题满分 10 分）1 + t 2 dt + ò x1 + tdt ，求 f ( x) 零点的个数。已知

74、函数 f ( x) = ò12x1ç 0÷20、（本题满分 11 分）已知高温物体置于低温介质中，任一时刻物体温度对时间的关系的变化与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为 120 0C 的物体在 20 0C 恒温介质中冷却，30min 后该物体温度降至 30 0C ，若要使物体的温度继续降至 21 0C ，还需冷却多长时间？21、（本题满分

75、0;11 分）已知函数 f ( x) 在区间  a, +¥) 上具有 2 阶导数，f (a) = 0, f ¢( x) > 0, 设 b > a, 曲线 y = f ( x) 在点 (b, f (b) 处的切线与X 轴

76、的交点是 ( x ,0) ，证明： a < x < b 。0022、（本题满分 11 分）æ a10 öç÷设矩阵 A = ç 1a-1÷ ,且 A3 = 0 ，（1）求 a 的值；（2）若矩阵 X 满足 X - XA2

77、0;- AX + AXA2 = Z , 其中 Z 为 3 阶单è1a ø位矩阵，求 X。    设矩阵 A = ç -13-3 ÷ ，相似于矩阵 B = ç 0b0 ÷ ，23、（本题满分 11 分）æ 02-

78、3 öæ 1-20 öç÷ç÷øøèèç 1-2a ÷ç 031 ÷（1）求 a,b 的值（2）求可逆矩阵 P，使 P-1 AP 为对角矩阵。2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题18 小题每小题 4 分，共 32 分2 

79、0;，当 x ® 0 时， a  ( x ) （设 cos x - 1 = x sin a ( x), a ( x) < p（A）比 x 高阶的无穷小（B）比 x 低阶的无穷小（C）与 x 同阶但不等价无穷小（D）与 x 等价无穷小）y =&#

80、160; f (x )是由方程 cos(xy )- ln y + x = 1 确定，则 lim nçç  f ç   ÷ - 1÷÷ = （2已知æ æ 2 ö ön®¥ è

81、60;è n ø ø）（A）2（B）1（C）-1（D）-2设 f ( x) = í          ， F ( x) = ò  f (t )dt  则（2,  x Î p ,2p 

82、8;ìsin x, x Î 0, p )x0）ïï ( x - 1)a -1 ,1 < x < e设函数 f ( x) = í            ，且反常积分 ò f

83、0;(x)dx 收敛，则（）ï   1（） x = p 为 F ( x) 的跳跃间断点 （） x = p 为 F ( x) 的可去间断点（） F ( x) 在 x = p 连续但不可导 （） F ( x) 在 x = p

84、 可导ì1+¥, x ³ eïî x ln a +1 x（A） a < -2（B） a > 2（C） - 2 < a < 0（D） 0 < a < 2设函数 z =y f (xy )，其中 f&

85、#160;可微，则xx ¶z  ¶z+   = （   ）y ¶x  ¶yç 1a1 ÷    ç 000 ÷22（A） 2 yf '( xy)（B） - 2 yf '( xy) （C）f

86、60;( xy)（D） -f ( xy)xx6设 D 是圆域 D = ( x, y) | x 2 + y 2 £ 1 的第 k 象限的部分，记 I = òò ( y - x)dxdy ，则（）kkDk（A） I > 0（B） 

87、;I > 0（C） I > 0（D） I > 012347设，均为 n 阶矩阵，若，且可逆，则（A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价（B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价（C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价（D）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价æ

88、0;1a1 öæ 200 öç÷ç÷8矩阵 ç aba ÷ 与矩阵 ç 0 b0 ÷ 相似的充分必要条件是èøèø（A） a = 0, b = 2（B） a = 0 ， b 为任意常数（C） a

89、60;= 2, b = 0（D） a = 2 ， b 为任意常数二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）ln(1 + x) ö xæ9 limç 2 -x®0 è1÷ =     &#

90、160; x   ø10设函数 f ( x) = òx-11 - et dt ，则 y = f ( x) 的反函数 x = f-1( y) 在 y = 0 处的导数 dx |dy y=0=      11设封闭

91、曲线 L 的极坐标方程为  r = cos 3q ç -£ q £  ÷ t 为参数，则 L 所围成的平面图形的面积为          æ pè6p ö6 øìï x =

92、0;arctan t12曲线上 í对应于 t = 1 处的法线方程为ïî y = ln 1 + t 213  已 知 y = e 3 x - xe 2 x , y = e x - xe 2 x , y 

93、;= - xe 2 x 是 某 个 二 阶 常 系 数 线 性 微 分 方 程 三 个 解 ， 则 满 足123y(0) = 0, y'(0) = 1 方程的解为14设 A = (a )是三阶非零矩阵， A 为其行列式，&

94、#160;AijA =三、解答题15（本题满分 10 分）ij 为元素 aij 的代数余子式，且满足 Aij + aij = 0(i, j = 1,2,3) ，则当 x ® 0 时，1 - cos x cos 2 x cos3x 与 ax n是等价无穷小，求常数 a, n

95、0;16（本题满分 10 分）设 D 是由曲线 y =3x ，直线 x = a (a > 0) 及 x 轴所转成的平面图形，V ,V 分别是 D 绕 x 轴和 y 轴旋转一周所形成x y的立体的体积，若10V = V ，求 a 的值xy17（本题满分 10 分）设平面区域&

96、#160;D 是由曲线 x = 3 y, y = 3x, x + y = 8 所围成，求 òò x 2 dxdy D18（本题满分 10 分）设奇函数 f ( x) 在 - 1,1上具有二阶导数，且 f (1) = 1 ，证明：（1）存在 x

97、0;Π(0,1) ，使得 f ' (x )= 1 ；（2）存在h Î (-1,1) ，使得 f ¢¢(h) + f ¢(h) = 1 19（本题满分 10 分）求曲线 x 3 - xy + y 3 = 1( x 

98、9; 0, y ³ 0) 上的点到坐标原点的最长距离和最短距离20（本题满分 11）设函数 f ( x) = ln x +1x求 f ( x) 的最小值；n®¥x设数列 n满足 ln xn +x1n+1< 1 ，证明极限 lim x 存在，并求此极限ny =  121（本题

99、满分 11）设曲线 L 的方程为1x 2 - ln x(1 £ x £ e) 4    2设  A = çç÷, B = ç÷ ，问当 a, b 为何值时，存在矩阵 C，使得 AC - CA = B&

100、#160;，并求出所有矩阵 C（1）求 L 的弧长（2）设 D 是由曲线 L，直线 x = 1, x = e 及 x 轴所围成的平面图形，求 D 的形心的横坐标22本题满分 11 分）æ1 a öæ 0 1 öè1 0 øè 1 b 

101、48;23（本题满分 11 分）2 记 a = ç a  ÷, b = ç b  ÷ ç a  ÷   ç b  ÷设二次型 f ( x , x , x ) = 2(a&

102、#160;x + a x + a x )1231 122332 + (b x + b x1 1 22+ b x )3 3æ a ö   æ b öç 1 ÷    ç 1 

103、7;2 2è 3 ø   è 3 ø（1）证明二次型 f 对应的矩阵为 2aa T + bb T ；（2）若 a , b 正交且为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为 2 y 2 + y 2 12母填在答题纸指定位置上.2012 年全国硕士研究生入学统一

104、考试数学二试题一、选择题:1-8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字(1)曲线 y =x2 + xx2 - 1的渐近线条数                        

105、0;                        (  )(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3(2) 设函数 f ( x) = (e x - 1)(e2 x - 2)L

106、60;(enx - n) ，其中 n 为正整数,则 f ¢(0) =()(A) (-1)n-1 (n - 1)!(B) (-1)n (n - 1)!(C) (-1)n-1 n!(D) (-1)n n!(3) 设 a > 0 (n = 1,2,3L ),S = a +

107、0;a + a + L + a ，则数列 Snn123nn有界是数列 a 收敛的n(  )0(A) 充分必要条件(B) 充分非必要条件(C) 必要非充分条件(D) 非充分也非必要(4) 设 I = ò kpe x2sin xdx,( k = 1,2,3), 则有k()(A) I < 

108、I < I123(B) I < I < I3 2 1(C) I < I < I2 3 1(D) I < I < I2 13(5)  设函数 f ( x, y）为可微函数，且对任意的 x, y 都有  ¶( x

109、, y)¶x       ¶y¶( x, y)> 0,< 0, 则使不等式 f ( x , y ) > f ( x , y ) 成立的一个1122充分条件是()(A) x > x , y < y121

110、2(B) x > x , y > y1 2 12    (C) x1 < x2 , y1 < y2(D) x < x , y > y1 2 122  , y = 1 围成，则 òò&#

111、160;( x5 y - 1)dxdy =(7)  设   = ç 0 ÷ ,   = ç 1 ÷   ,   = ç -1÷   ,   = ç 1 

112、7;   , 其 中 c , c , c , c  为 任 意 常 数 ， 则 下 列 向 量 组线 性 相 关 的为ç c ÷    ç c  ÷ç c

113、60; ÷     ç c  ÷(6) 设区域 D 由曲线 y = sin x, x = ± pD()(A) p(B)2(C)-2(D) - pæ 0 öæ 0 öæ 1 öæ -1

114、6;ç÷ç÷ç÷ç÷12341234è 1 øè2 øè3 øè4 ø()(A)  ,  , 123(B)  ,  , 1 24(C)  ,  , 1 34(D)  ,  ,

115、60;2 34(8)  设 A 为 3 阶矩阵， P 为 3 阶可逆矩阵，且 P-1 AP = ç 0   10 ÷ .若 P = ( ,   ,  )， Q = (  +   , 

116、0; ,  ) 则 Q -1 AQ =ç 0   02 ÷æ 100 öç÷1231223èø()(A)  ç 020 ÷    (B)  ç 0   10 ÷ç

117、0;001 ÷ç 002 ÷(C)  ç 0   10 ÷(D) ç 02   0 ÷ç 002 ÷       ç 00   1 ÷æ 100 ö&

118、#230; 100 öç÷ç÷èøèøæ 2 0 0 ö         æ 2 0 0 öç       ÷ ç    

119、0;  ÷è       ø          è       ø二、填空题：9-14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.+ L  +(10)   

120、lim n ç÷ =(9) 设 y = y( x) 是由方程 x2 - y + 1 = e y 所确定的隐函数，则æ111ö+n®¥ è 1 + n222 + n2n2 + n2 ød 2 ydx2x=0 = 

121、     .z = f ç ln x +÷ , 其中函数 f (u ) 可微，则 x(11) 设æ 1 öè y ø¶z ¶z+ y2¶x    ¶y=.(   )(12)

122、0;微分方程 ydx + x - 3 y 2 dy = 0 满足条件 yx=1= 1 的解为 y =.(13) 曲线 y = x2 + x (x < 0)上曲率为22的点的坐标是.三、解答题：15-23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(14) 

123、设 A 为3阶矩阵， A =3 ， A *为 A 伴随矩阵，若交换 A 的第1行与第2行得矩阵 B ，则 BA* =.(15)(本题满分 10 分)-，记 a = lim f (x )，已知函数 f (x ) =1 + x  1sin x  x x&

124、#174;0(I)求 a 的值;(II)若 x ® 0 时， f (x )- a 与 x k 是同阶无穷小，求常数 k 的值.(16)(本题满分 10 分)求函数 f  (x, y ) = xe- x  +2 y22的极值.(17)(本题满分 12 分)过 (0,1)&

125、#160;点作曲线 L : y = lnx 的切线,切点为 A ,又 L 与 x 轴交于 B 点,区域 D 由 L 与直线 AB 围成,求区域 D 的面积及D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积.(18)(本题满分 10 分)计算二重积分 òò xyds ，其中区域 D

126、 为曲线 r = 1 + cosq (0 £ q £ p ) 与极轴围成.D(19)(本题满分 10 分)已知函数 f ( x) 满足方程 f ¢¢( x) + f ¢( x) - 2 f ( x) = 0 及 f ¢¢( x) + f ( x) = 2e x,(