2016年中国科学技术大学自主招生数学试题解答

1、2016年中国科学技术大学自主 招生数学试题解答2016年中国科学技术大学自主招生数学试题解析2016.6一、填空题(每小题6分，共48分)1 . 32016除以©的余数为.解 21.由于3圳6 =91口/二。-有32OlG = (-1)1005 4- C；00s. (-1)1TOT -10 (mod 100),于是限"6三a】 imod 10(1 t2,复数s满足|zi1 2，1z21 31 4,则:的值是.9.1解炉.匕设削数工L,的：臼+为在复平面内的计直点分刈为人削门边影04cH枸成平行四边毒.r超包2T的横为 小 接了朱求它的箱弗.J,荏CMC中应用余弦定理.*有

2、.炉+第一下 1m=0 E =-于港cceiZj4(JZ/=彳、理由可律比 2 /1 炳、1 x瓶7； = 3 i±-rj =品土丁3,用S表示集合A的所有元素之和，且A 1,2,3,4,5,6,7,8, S网能被3整除,但不能被5整除,则符合条件的非空集合人的个数是.将集合4划分为4 = 1,4,7,4 = 2,5,8A = 3,6,于是使得S(A)能被3整除的非空集合A的个数有(C§ + Cg)2 + ©产 + (Ci)2 -22-l = 87.接下来考虑S(4)能被15整除的非空集合4的个数，此时S(4) = 15或S(A) = 3(). (1) 5(4)

3、= 15.此时按最大元素分别为8,7,6,5分类，分别有5,4,3个，共计13个. (2)S(A) = 3O.此时只需要考虑S(4) = 6的情形，共有4个.综上所述，符合条件的非空集合4的个数为87- 13-4 = 70.4 .已知 ABC Up 9 sin/l + 2sin8cosC = 0 , 则成的最大值由 sin A = sin(B + C) = sinBcosC + cosBsinC,得即 3 tan B + tan C = 0.3sin BcosC + cos B sin C = 0.于是tan 4 = tan( B + C) = 一1tail B + tan C2 tan 13

4、tan 13 tan C 1+3tan2 B _j_ 3 tan 13tanBw等，等号当3nB = 4,1的。=一/3时取得.因此lanA的最大值为 乎. JO5 .若对任意实数'都有 2x-a + 3x-2a> a 9 则的取值 范围是易知函数/（0=在-3 + |3工一2<1|在工=等 处取得最小值/件）=% 于是解不等式V > Q2,得- Q4a；JOO因此a的取值范围是一;二. o o6 . 若 二 弋，9,力 eg), x = (sina 产叫 y = (cosap。,贝!| x取时数，可将.In2 sin a . In2 cos asin a >

5、cosa => 0 > In sin a > In cos a g In2 sin a < In2 sin 6 0In2 sin aIn 6In2 cosaInd因此lnN>lny,从而h > y.7.梯形ABCD 中,ABH CD，对角线"C回交于与过"作月8的平行线交BC于点。r阳交利于与过八作"的平行线交BC于点。2,，若48=a,CD=J则p,Q=（用a,b,n表示）fT)»Afl履择 NJ,叫工|）- C。= W IL1 I . 1= 一，Hit ,Fi I «于是.十 得即fft Nj. th f

6、lfl 48.数列中，a。是与而最接近的整数，则2016 1n 1 an.记* = r3ind("G)t 则有 k =k 式 + <； fr + 1 4 也即 A： + 7i<r+,244因此口 , 口，以M3为,篇,44,44,，44,4514，4588小进而可那4j12016 444%Ei 5" ns上:、解答题（第9小题满分16分,10、11小题满分18分）9,已知 a，b，c 02aa bcbc abb ca2c由均值不等式,LHS汇eye再由柯西不等式，有2a + 5 + c)2+ b + c 4(a + b + c)因此原不等或得证.10.求所有函数

7、,使得对任意正整数x y ,0 1f(x) f(y)| 2|x y|.薜 /(») = /(l) + n-l 其中根据尊重，= + i,则有豺隹恚工丘国工 均有0 <I/U +1)-f <3. PP |/(1 +1)- /U)| = L考虑到时任毒正整驳工至外|(对一/傅)| >。，因此/势单射.这就意味着 汽工+ 1)汽幻三1亚 打工+ 1) 一义工)三-if否则必然出现不同的自变支映射到同一个正整It).考虑刻果的篥合为国H,因此 工+1)一叫三 L,迷而可"/(1)N*.11.求方程2x 5, 7z 1的所有非负整数解(皿).第 (心以)=(14,。(工0,”特郎曦意，有-(-1)» 1i=1 (mod 3),因见工坊寺数旦卡沔牌状.设2丽+ 1,国，其中nrne N.于愚旌才般手册于口 4”、2即7-1.营刑则3 -(-1) = 1 mod &k矛盾，T < n - H.此时糜彳"等处a"1 一了工_ 1若工=n. ad 7M = n.因此,1,/.二)=。,。*)悔崎吉他意的一短幅(2)若土,n. 4>i-(-If = 1 (iPod 4).于是；沔奇敕，注w 2尹+ 1, pwN,m席方程争价于2-1&qu