（整理版）高考数学总复习87圆锥曲线的综合问题(理)

1、 【走向高考走向高考】 高考数学总复习高考数学总复习 8-78-7 圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的综合问题( (理理) )课后作课后作业业 新人教新人教 a a 版版 1.(1.(宁波十校联考宁波十校联考) )抛物抛物线线 y yx x2 23 3 上存在关于直上存在关于直线线 x xy y0 0 对称的相异两对称的相异两点点 a a、 b b，那么那么|ab|ab|等于等于( () )a a3 3b b4 4c c3 3 2 2d d4 4 2 2 答案答案 c c 解析解析 设设 a(xa(x1,1,3 3x x2 21 1) )，b(xb(x2,2,3 3x x2 22 2) )，由于，由

2、于 a a、b b 关于直线关于直线 x xy y0 0 对称，对称，x x1 1x x2 22 23 33 3x x2 22 2x x2 2，解得，解得x x1 12 2x x2 21 1或或x x1 11 1x x2 22 2，设直线，设直线 abab 的斜率为的斜率为 k kabab，|ab|ab| 1 1k k2 2abab|x|x1 1x x2 2| |3 3 2 2. .应选应选 c.c.2 2( (南昌检测南昌检测( (二二)过椭圆过椭圆x x2 2a a2 2y y2 2b b2 21(ab0)1(ab0)的左焦点的左焦点 f f1 1作作 x x 轴的垂线交椭圆于点轴的垂线交

3、椭圆于点 p p，f f2 2为右焦点，假设为右焦点，假设f f1 1pfpf2 26060，那么椭圆的离心率为，那么椭圆的离心率为( () )a.a.2 22 2b.b.3 33 3c.c.1 12 2d.d.1 13 3 答案答案 b b 解析解析 记记|f|f1 1f f2 2| |2c2c，那么那么|pf|pf1 1| |2c2c3 3，|pf|pf2 2| |4c4c3 3，所以椭圆的离心率为所以椭圆的离心率为|f|f1 1f f2 2| |pf|pf1 1| |pf|pf2 2| |2c2c2c2c3 34c4c3 33 33 3，选，选 b.b.2 2y y2 23 31 1 的

4、左顶点为的左顶点为 a a1 1，右焦点为，右焦点为 f f2 2，p p 为双曲线右支上一点，那么为双曲线右支上一点，那么papa1 1pfpf2 2的最小值的最小值为为( () )a a2 2b b81811616c c1 1d d0 0 答案答案 a a 解析解析 由得由得 a a1 1( (1,0)1,0)， f f2 2(2,0)(2,0) 设设 p(xp(x， y)(xy)(x1)1)， 那么那么papa1 1pfpf2 2( (1 1x x， y)y)(2(2x x，y)y)4x4x2 2x x5.5.令令 f(x)f(x)4x4x2 2x x5 5，那么，那么 f(x)f(x)

5、在在 x x1 1 上单调递增，所以当上单调递增，所以当 x x1 1时，函数时，函数 f(x)f(x)取最小值，即取最小值，即papa1 1pfpf2 2取最小值，最小值为取最小值，最小值为2.2.4 4( (大纲全国理，大纲全国理，10)10)抛物线抛物线 c c：y y2 24x4x 的焦点为的焦点为 f f，直线，直线 y y2x2x4 4 与与 c c 交于交于 a a，b b两点，那么两点，那么 coscosafbafb( () )a.a.4 45 5b.b.3 35 5c c3 35 5d d4 45 5 答案答案 d d 解析解析 方法一：联立方法一：联立y y2 24x4xy

6、 y2x2x4 4，解得解得x x4 4y y4 4或或x x1 1y y2 2，不妨设，不妨设 a a 在在 x x 轴上方，轴上方，a(4,4)a(4,4)，b(1b(1，2)2)，f f 点坐标为点坐标为(1,0)(1,0)，fafa(3,4)(3,4)，fbfb(0(0，2)2)，coscosafbafbfafafbfb| |fafa| | |fbfb| |8 85 52 24 45 5. .方法二：同上求得方法二：同上求得 a(4,4)a(4,4)，b(1b(1，2)2)，|ab|ab|3 3 5 5，|af|af|5 5，|bf|bf|2 2，由余弦定理知，由余弦定理知，cosco

7、safbafb|af|af|2 2|bf|bf|2 2|ab|ab|2 22 2|af|af|bf|bf|4 45 5. .5 5 ( (台州二模台州二模) )过抛物线过抛物线 y y2 22px(p0)2px(p0)的焦点的焦点 f f 且倾斜角为且倾斜角为 6060的直线的直线 l l 与抛物线在与抛物线在第一、四象限分别交于第一、四象限分别交于 a a、b b 两点，那么两点，那么|af|af|bf|bf|的值为的值为( () )a a5 5b b4 4c c3 3d d2 2 答案答案 c c 解析解析 由题意设直线由题意设直线 l l 的方程为的方程为 y y 3 3(x(xp p2

8、 2) )，即即 x xy y3 3p p2 2，代入抛物线方程代入抛物线方程 y y2 22px2px 中中，整理得整理得3 3y y2 22py2py 3 3p p2 20 0，设设 a(xa(xa a，y ya a) )，b(xb(xb b，y yb b) )，那么那么 y ya a 3 3p p，y yb b3 33 3p p，所以所以|af|af|bf|bf| |y ya ay yb b| |3.3.6 6( (海南一模海南一模) )假设假设 abab 是过椭圆是过椭圆x x2 2a a2 2y y2 2b b2 21(ab0)1(ab0)中心的一条弦，中心的一条弦，m m 是椭圆上

9、任意一是椭圆上任意一点，且点，且 amam、bmbm 与两坐标轴均不平行，与两坐标轴均不平行，k kamam、k kbmbm分别表示直线分别表示直线 amam、bmbm 的斜率，那么的斜率，那么 k kamamk kbmbm( () )a ac c2 2a a2 2b bb b2 2a a2 2c cc c2 2b b2 2d da a2 2b b2 2 答案答案 b b 解析解析 解法一解法一( (直接法直接法) )：设：设 a(xa(x1 1，y y1 1) )，m(xm(x0 0，y y0 0) )，那么，那么 b(b(x x1 1，y y1 1) )，k kamamk kbmbmy y

10、0 0y y1 1x x0 0 x x1 1y y0 0y y1 1x x0 0 x x1 1y y2 20 0y y2 21 1x x2 20 0 x x2 21 1b b2 2a a2 2x x2 20 0b b2 2b b2 2a a2 2x x2 21 1b b2 2x x2 20 0 x x2 21 1b b2 2a a2 2. .解法二解法二( (特殊值法特殊值法) )：因为四个选项为确定值，取：因为四个选项为确定值，取 a(a,0)a(a,0)，b(b(a,0)a,0)，m(0m(0，b)b)，可，可得得k kamamk kbmbmb b2 2a a2 2. .7 7( (吉林省

11、调研吉林省调研) )过双曲线过双曲线x x2 2a a2 2y y2 2b b2 21 1 右焦点且倾斜角为右焦点且倾斜角为 4545的直线与双曲线右支有的直线与双曲线右支有两个交点，那么双曲线的离心率两个交点，那么双曲线的离心率 e e 的取值范围是的取值范围是_ 答案答案 (1(1， 2 2) ) 解析解析 由条件知，渐近线的倾斜角小于由条件知，渐近线的倾斜角小于 4545，即，即b ba a11，c c2 2a a2 2a a2 211，c c2 2a a2 222，即即 e e2 221e1，1e1eb0)1(ab0)， 过椭圆的右焦点过椭圆的右焦点作作 x x 轴的垂线交椭圆轴的垂线

12、交椭圆于于 a a、 b b 两点两点， 假设假设oaoaobob0 0，那么椭圆的离心率，那么椭圆的离心率 e e 等于等于( () )a.a.1 1 5 52 2b.b.1 1 3 32 2c.c.1 12 2d.d.3 32 2 答案答案 a a 解析解析 如图，如图，f f2 2(c,0)(c,0)把把 x xc c 代入椭圆代入椭圆x x2 2a a2 2y y2 2a a2 21 1 得得 a(ca(c，b b2 2a a) )由由oaoaobob0 0 结合图形分析得结合图形分析得|of|of2 2| |af|af2 2| |，即即 c cb b2 2a ab b2 2acaca

13、 a2 2c c2 2acac( (c ca a) )2 2c ca a1 10 0e e2 2e e1 10 0e e5 51 12 2. .3 3( (河南南阳调研河南南阳调研) )双曲线双曲线x x2 2a a2 2y y2 2b b2 21(a01(a0，b0)b0)的左右焦点分别为的左右焦点分别为 f f1 1、f f2 2，p p 为右支为右支上一点，点上一点，点 q q 满足满足f f1 1q q1 1qpqp( (1 10)0)且且| |f f1 1q q| |2a2a，f f2 2t t2 2tqtq，ptptf f2 2q q0 0，那么，那么|ot|ot|的值的值为为(

14、() )a a4a4ab b2a2ac ca ad.d.a a2 2 答案答案 c c 解析解析 由题知由题知 q q、f f1 1、p p 三点共线三点共线，f f2 2、t t、q q 三点共线三点共线|pf|pf1 1| |pf|pf2 2| |2a2a|f|f1 1q|q|，|pq|pq|pf|pf2 2| |，又，又 ptptqfqf2 2，t t 为等腰三角形为等腰三角形 qpfqpf2 2底边底边 qfqf2 2的中点，连接的中点，连接 otot，那么，那么 otot 为为f f1 1qfqf2 2的中位线，所以的中位线，所以|ot|ot|a.a.2 2，点点 a(0a(0，2)

15、2)及点及点 b(3b(3，a)a)，从点从点 a a 观察点观察点 b b，要使视线不被曲线要使视线不被曲线 c c 挡住挡住，那么实那么实数数a a 的取值范围是的取值范围是( () )a a(4(4，) )b b( (，44c c(10(10，) )d d( (，1010 答案答案 d d 解析解析 过点过点 a(0a(0，2)2)作曲线作曲线 c c：y y2x2x2 2的切线，设方程为的切线，设方程为 y ykxkx2 2，代入，代入 y y2x2x2 2得，得，2x2x2 2kxkx2 20 0，令，令k k2 216160 0 得得 k k4 4，当当 k k4 4 时，切线为时

16、，切线为 l l，b b 点在直线点在直线 x x3 3 上运动，直线上运动，直线 y y4x4x2 2 与与 x x3 3 的交点为的交点为 m(3,10)m(3,10)，当点，当点 b(3b(3，a)a)满足满足 a a1010 时，视线不被曲线时，视线不被曲线 c c 挡住，应选挡住，应选 d.d.5 5( (海南五校联考海南五校联考) )抛物线抛物线 x x2 24y4y 的焦点为的焦点为 f f，准线与，准线与 y y 轴的交点为轴的交点为 m m，n n 为抛物线为抛物线上的一点，且上的一点，且|nf|nf|3 32 2|mn|mn|，那么，那么nmfnmf_._. 答案答案 30

17、30 解析解析 作作 nhnh 垂直于准线于垂直于准线于 h h，由抛物线的定义得，由抛物线的定义得|nh|nh|nf|nf|，|nh|nh|mn|mn|nf|nf|mn|mn|3 32 2sinsinhmnhmn，得得hmnhmn6060，nmfnmf909060603030. .6 6( (安徽模拟安徽模拟) )点点 a a、b b 分别为椭圆分别为椭圆x x2 23636y y2 220201 1 长轴的左长轴的左、右端点右端点，点点 f f 是椭圆的右焦是椭圆的右焦点，点点，点 p p 在椭圆上，且位于在椭圆上，且位于 x x 轴上方，轴上方，papapf.pf.(1)(1)求点求点

18、p p 的坐标；的坐标；(2)(2)设设 m m 是椭圆长轴是椭圆长轴 abab 上的一点，上的一点，m m 到直线到直线 apap 的距离等于的距离等于|mb|mb|，求椭圆上的点到点，求椭圆上的点到点 m m的距离的距离 d d 的最小值的最小值 解析解析 (1)(1)由可得点由可得点 a(a(6,0)6,0)，f(4,0)f(4,0)，设点，设点 p p 的坐标是的坐标是(x(x，y)y)，那么，那么apap(x(x6 6，y)y)，fpfp(x(x4 4，y)y)由得由得x x2 23636y y2 220201 1x x6 6x x4 4y y2 20 0消去消去 y y 得，得，2

19、x2x2 29x9x18180 0，x x3 32 2或或 x x6 6由于由于 y0y0，只能，只能 x x3 32 2，于是，于是 y y5 5 3 32 2所以点所以点 p p 的坐标是的坐标是( (3 32 2，5 5 3 32 2) )(2)(2)直线直线 apap 的方程是的方程是 x x 3 3y y6 60 0设点设点 m m 的坐标是的坐标是(m,0)(m,0)，那么，那么 m m 到直线到直线 apap 的距离是的距离是|m|m6|6|2 2，于是，于是|m|m6|6|2 2|m|m6|6|，又又6 6m m6 6，解得：，解得：m m2 2椭圆上的点椭圆上的点(x(x，y

20、)y)到点到点 m m 的距离是的距离是 d d，d d2 2(x(x2)2)2 2y y2 2x x2 24x4x4 420205 59 9x x2 24 49 9(x(x9 92 2) )2 21515，由于由于6 6x x6 6，所以当，所以当 x x9 92 2时时 d d 取最小值取最小值 1515. .7 7双曲线双曲线x x2 2a a2 2y y2 2b b2 21(a01(a0，b0)b0)的离心率为的离心率为 2 2，坐标原点到直线，坐标原点到直线 abab 的距离为的距离为3 32 2，其，其中中a(0a(0，b)b)，b(a,0)b(a,0)(1)(1)求双曲线的标准方

21、程；求双曲线的标准方程；(2)(2)设设 f f 是双曲线的右焦点是双曲线的右焦点，直线直线 l l 过点过点 f f 且与双曲线的右支交于不同的两点且与双曲线的右支交于不同的两点 p p、q q，点点m m 为线段为线段 pqpq 的中点的中点假设点假设点 m m 在直线在直线 x x2 2 上的射影为上的射影为 n n，满足满足pnpnqnqn0 0，且且| |pqpq| |1010，求直线求直线 l l 的方程的方程 解析解析 (1)(1)依题意有依题意有c ca a2 2，ababa a2 2b b2 23 32 2，a a2 2b b2 2c c2 2. .解得解得 a a1 1，b

22、 b 3 3，c c2.2.所以，所求双曲线的方程为所以，所求双曲线的方程为 x x2 2y y2 23 31.1.(2)(2)当直线当直线 l lx x 轴时轴时，| |pqpq| |6 6，不合题意不合题意当直线当直线 l l 的斜率存在时的斜率存在时，设直线设直线 l l 的方程的方程为为 y yk(xk(x2)2)由由x x2 2y y2 23 31 1x0 x0y yk kx x2 2得，得，(3(3k k2 2)x)x2 24k4k2 2x x4k4k2 23 30.0.因为直线与双曲线的右支交于不同两点，所以因为直线与双曲线的右支交于不同两点，所以 3 3k k2 20.0.设设

23、 p(xp(x1 1，y y1 1) )，q(xq(x2 2，y y2 2) )，m(xm(x0 0，y y0 0) )，那么，那么 x x1 1、x x2 2是方程是方程的两个正根，于是有的两个正根，于是有x x1 1x x2 24k4k2 2k k2 23 300，x x1 1x x2 24k4k2 23 3k k2 23 300，4k4k2 22 24 43 3k k2 24k4k2 23 300，所以所以 k k2 23.3.因为因为pnpnqnqn0 0，那么，那么 pnpnqnqn，又，又 m m 为为 pqpq 的中点，的中点，| |pqpq| |1010，所以，所以|pm|pm

24、|mn|mn|mq|mq|1 12 2|pq|pq|5.5.又又|mn|mn|x x0 02 25 5，x x0 03 3，而而 x x0 0 x x1 1x x2 22 22k2k2 2k k2 23 33 3，k k2 29 9，解得，解得 k k3.3.k k3 3 满足满足式，式，k k3 3 符合题意符合题意所以直线所以直线 l l 的方程为的方程为 y y3(x3(x2)2)即即 3x3xy y6 60 0 或或 3x3xy y6 60.0.1 1( (马鞍山质检马鞍山质检) )椭圆椭圆x x2 2a a2 2y y2 2b b2 21(ab0)1(ab0)、双曲线、双曲线x x2

25、 2a a2 2y y2 2b b2 21 1 和抛物线和抛物线 y y2 22px(p0)2px(p0)的的离心率分别为离心率分别为 e e1 1、e e2 2、e e3 3，那么，那么( () )a ae e1 1e e2 2ee3 3b be e1 1e e2 2e e3 3c ce e1 1e e2 2eb0ab0，00b ba a4 411，e e1 1e e2 2101(m0，n0)n0)与直线与直线 y y1 1x x 交于交于 a a，b b 两点，过原点与线段两点，过原点与线段 abab 中点的连线的中点的连线的斜率为斜率为1 12 2，那么椭圆的离心率为，那么椭圆的离心率为

26、( () )a.a.1 12 2b.b.2 22 2c.c.3 32 2d.d.6 62 2 答案答案 b b 解析解析 设设 a(xa(x1 1，y y1 1) )，b(xb(x2 2，y y2 2) )，那么那么 abab 中点为中点为x x1 1x x2 22 2，y y1 1y y2 22 2，mxmx2 22 2nyny2 22 21 1，mxmx2 22 2nyny2 22 21 1， 两式相减得两式相减得y y1 1y y2 2x x1 1x x2 2m mn nx x1 1x x2 2y y1 1y y2 2， 1 12 2m mn n( (1)1)， 即即m mn n1 12

27、 2， 离心率离心率 e e1 1m m1 1n n1 1m m1 1m mn n2 22 2，应选，应选 b.b.3 3以以 f f1 1( (2,0)2,0)，f f2 2(2,0)(2,0)为焦点的椭圆与直线为焦点的椭圆与直线 x x 3 3y y4 40 0 有且仅有一个公共点，有且仅有一个公共点，那么椭圆的长轴长为那么椭圆的长轴长为( () )a a3 3 2 2b b2 2 6 6c c2 2 7 7d d4 4 2 2 答案答案 c c 解析解析 根据题意设椭圆方程为根据题意设椭圆方程为x x2 2b b2 24 4y y2 2b b2 21(b0)1(b0)，那么将，那么将 x

28、 x 3 3y y4 4 代入椭圆方代入椭圆方程得，程得，4(b4(b2 21)y1)y2 28 8 3 3b b2 2y yb b4 412b12b2 20 0，椭圆与直线椭圆与直线 x x 3 3y y4 40 0 有且仅有一个公共点，有且仅有一个公共点，(8(8 3 3b b2 2) )2 24 44(b4(b2 21)(1)(b b4 412b12b2 2) )0 0，即即(b(b2 24)(b4)(b2 23)3)0 0，b b2 23 3，长轴长为长轴长为 2 2 b b2 24 42 2 7 7，应选，应选 c.c.4 4双曲线双曲线x x2 2a a2 2y y2 2b b2

29、21 1(a0(a0，b0)b0)的右焦点为的右焦点为 f f，假设过点假设过点 f f 且倾斜角为且倾斜角为 6060的直线与的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，那么此双曲线离心率的取值范围是双曲线的右支有且只有一个交点，那么此双曲线离心率的取值范围是( () )a a(1,2(1,2b b(1,2)(1,2)c c22，) )d d(2(2，) ) 答案答案 c c 解析解析 渐近线渐近线 l l1 1： y yb ba ax x 与过焦点与过焦点 f f 的直线的直线 l l 平行平行， 或渐近线或渐近线 l l1 1从该位置绕原点按从该位置绕原点按逆时针旋转时，直线逆时针旋转时，直线

30、 l l 与双曲线的右支交于一个点与双曲线的右支交于一个点b ba a 3 3，即，即 c c2 2a a2 2b b2 24a4a2 2，e e2 2，应选，应选 c.c.5 5( (安徽江南十校联考安徽江南十校联考) )椭圆椭圆 c c：x x2 2a a2 2y y2 21(a1)1(a1)的上顶点为的上顶点为 a a，左左、右焦点为右焦点为 f f1 1、f f2 2，直线直线 afaf2 2与圆与圆 m m：x x2 2y y2 26x6x2y2y7 70 0 相切相切(1)(1)求椭圆求椭圆 c c 的方程；的方程；(2)(2)假设椭圆内存在动点假设椭圆内存在动点 p p， 使使|

31、pf|pf1 1| |， |po|po|， |pf|pf2 2| |成等比数列成等比数列(o(o 为坐标原点为坐标原点) )， 求求pfpf1 1pfpf2 2的取值范围的取值范围 解析解析 (1)(1)圆圆 m m：x x2 2y y2 26x6x2y2y7 70 0 化为化为(x(x3)3)2 2(y(y1)1)2 23 3，那么圆那么圆 m m 的圆心为的圆心为 m(3,1)m(3,1)，半径，半径 r r 3 3. .由由 a(0,1)a(0,1)，f f2 2(c,0)(c,0)，(c(c a a2 21 1) )，得直线，得直线 afaf2 2：x xc cy y1 1，即即 x

32、xcycyc c0 0，由直线由直线 afaf2 2与圆与圆 m m 相切，得相切，得|3|3c cc|c|c c2 21 1 3 3，解得解得 c c 2 2或或 c c 2 2( (舍去舍去) )那么那么 a a2 2c c2 21 13 3，故椭圆，故椭圆 c c 的方程为：的方程为：x x2 23 3y y2 21.1.(2)(2)由由(1)(1)知知 f f1 1( ( 2 2，0)0)、f f2 2( ( 2 2，0)0)，设，设 p(xp(x，y)y)，由题意知由题意知|po|po|2 2|pf|pf1 1| |pf|pf2 2| |，即即( ( x x2 2y y2 2) )2

33、 2x x 2 22 2y y2 2x x 2 22 2y y2 2，化简得：化简得：x x2 2y y2 21 1，那么，那么 x x2 2y y2 21 11.1.因为点因为点 p p 在椭圆内，故在椭圆内，故x x2 23 3y y2 211，即，即x x2 23 3x x2 21111，x x2 2 3 32 2，1 1x x2 2 3 32 2，又又pfpf1 1pfpf2 2x x2 22 2y y2 22x2x2 23 3，1 1pfpf1 1pfpf2 20.0.6 6( (浙江文，浙江文，22)22)如图，设如图，设 p p 是抛物线是抛物线 c c1 1：x x2 2y y

34、 上的动点，过点上的动点，过点 p p 做圆做圆 c c2 2：x x2 2(y(y3)3)2 21 1 的两条切线，交直线的两条切线，交直线 l l：y y3 3 于于 a a，b b，两点，两点. .(1)(1)求圆求圆 c c2 2的圆心的圆心 m m 到抛物线到抛物线 c c1 1准线的距离准线的距离(2)(2)是否存在点是否存在点 p p，使线段，使线段 abab 被抛物线被抛物线 c c1 1在点在点 p p 处的切线平分，假设存在，求出点处的切线平分，假设存在，求出点 p p的坐标；假设不存在，请说明理由的坐标；假设不存在，请说明理由 解析解析 (1)(1)因为抛物线因为抛物线

35、c c1 1的准线方程为：的准线方程为：y y1 14 4，所以圆心所以圆心 m m 到抛物线到抛物线 c c1 1准线的距离为：准线的距离为：| |1 14 4( (3)|3)|11114 4. .(2)(2)设点设点 p p 的坐标为的坐标为(x(x0 0，x x2 20 0) )，抛物线抛物线 c c1 1在点在点 p p 处的切线交直线处的切线交直线 l l 于点于点 d d，再设再设 a a，b b，d d的横坐标分别为的横坐标分别为 x xa a，x xb b，x xd d；过点过点 p(xp(x0 0，x x2 20 0) )的抛物线的抛物线 c c1 1的切线方程为：的切线方程为：y yx x2 20 02x2x0 0(x(xx x0 0) )当当 x