自动控制原理(11J-17)

1、1例例1 1 已知系统开环频率特性已知系统开环频率特性 )1()()1()(2 TjjjKjG )2()()( jeKjKjGG(0) = ，(0) = - 起点起点:解：系统为解：系统为“2型型”，n-m = 31= 2试简略画出该系统的试简略画出该系统的 Nyquist 图。图。起点在负实轴无限远处！起点在负实轴无限远处！2终点终点: : G()=0 ， ()= - 1800问题问题: 特性曲线是在负实轴之上特性曲线是在负实轴之上? 之下之下? 相交相交?特性曲线形状？特性曲线形状？3)(180)(180)( Tarctgarctg当当 T 时时: ()T 时时: ()0曲线在负实轴之下曲

2、线在负实轴之下考虑相位关系考虑相位关系:4验证验证: :设设: : K=1, =5 ,T=1 num=0,0,5,1; num=0,0,5,1; den=1,1,0,0; den=1,1,0,0; v=-5000,5000,-5000,5000;axis(v) v=-5000,5000,-5000,5000;axis(v) nyquist(num,den) nyquist(num,den)5=5 ,T=1完整图形？完整图形？6设设: K=1, =1 ,T=3 num=0,0,1,1; den=3,1,0,0; nyquist(num,den) v=-5000,5000,-500,500;axi

3、s(v)7=1 ,T=3完整图形？完整图形？8 用用MATLAB 作作 Nyquist图图 例例 1 已知单位反馈系统已知单位反馈系统18 . 0)(1)(2 jjjG num=0 0 1; den=1 0.8 1; nyquist(num,den) grid title(Nyquist Plot of G(s)=1/(s2+0.8s+1)（0型系统）型系统）910例例 2 已知单位反馈系统已知单位反馈系统（0型系统）型系统）18 . 1)(8 . 1)(1)(23 jjjjG num=0 0 0 1; den=1 1.8 1.8 1; nyquist(num,den) axis(-2 2 -

4、2 2); grid title(Nyquis plot of G(s)=1/(s3+1.8s2+1.8s+1)1112例例 3 已知单位反馈系统，已知单位反馈系统， 画该系统的画该系统的nyquist图图 ) 1(2)(sssG1分析：分析：nyquistnyquist图图? ?) 1(1)(jjjG) 1(11122j起点：起点：j, 11型系统，型系统，n-m=213 num=0 0 1; den=1 1 0; nyquist(num,den) grid title(Nyquist plot of G(s)=1/s(s+1)1(2)(sssG1此程序没有对此程序没有对nyquist图的坐

5、标提任何要求！图的坐标提任何要求！运行结果如下图：运行结果如下图：1415 num=0 0 1; den=1 1 0; nyquist(num,den) axis(-3 3 -10 10) grid title(Nyquist plot of G(s)=1/s(s+1)此程序对此程序对nyquist图的坐标提出了具体要求！图的坐标提出了具体要求！运行结果如下图：运行结果如下图：16完整图形？完整图形？175.6 5.6 奈奎斯特稳定判据及其应用奈奎斯特稳定判据及其应用 频域中的稳定性判据频域中的稳定性判据引言：引言： 时域稳定性分析法；时域稳定性分析法； S S域稳定性分析法；域稳定性分析法；

6、 频域稳定性分析法频域稳定性分析法 基于基于NyquistNyquist图的稳定判据图的稳定判据 基于基于BodeBode图的稳定判据图的稳定判据185.6-1 Nyquist5.6-1 Nyquist稳定判据的基本原理稳定判据的基本原理 NyquistNyquist稳定判据是稳定判据是 利用系统开环频率特性利用系统开环频率特性 （NyquistNyquist图）来判断系统的闭环稳定性图）来判断系统的闭环稳定性。 NyquistNyquist稳定判据稳定判据 基于频率特性，应用复变函基于频率特性，应用复变函 数理论中的保角数理论中的保角映射定理，将上述映射定理，将上述充分必要条件充分必要条件

7、转换为频域判据。转换为频域判据。 NyquistNyquist稳定判据的原始依据稳定判据的原始依据 闭环系统稳定的充分必要条件：闭环传递函数的闭环系统稳定的充分必要条件：闭环传递函数的 极点全部在左半极点全部在左半S S平面（特征方程根全部在左半平面（特征方程根全部在左半S S 平面）平面）19为了应用映射定理分析系统稳定性，引入辅助函数为了应用映射定理分析系统稳定性，引入辅助函数 F(s) ：)()()()(1)()()()()(1)()(1)(sDsDsNsDsNsFsDsNsWsWsHsGsFkk ）（则：则：设：设：（即：特征多项式函数）（即：特征多项式函数）).()()().()()

8、()(:321321nnpspspspszszszszsKsF进一步请考虑：请考虑：F(s)的零点、极点和系统开环极点、闭环极点关系。的零点、极点和系统开环极点、闭环极点关系。20F(s)的极点数目用的极点数目用 P 表示表示 , F(s)的零点数目用的零点数目用 Z 表示表示.辅助函数辅助函数 F(s) 的特征的特征 F(s)的的 F(s)的的 F(s)的的系统稳定的充要条件转化为：系统稳定的充要条件转化为：F(s)的的Z个零点必须在个零点必须在 s左半平面。左半平面。设：设：则：则：215.65.62 2 映射定理映射定理 设：原平面为 S 平面，在 S 平面上: s = + j 映射平面

9、为 F (s) 平面，在F (s)平面上: F (s)= u+j v S平面到 F (s)平面的映射点映射曲线映射SF (s)22 如果动点如果动点 S S1 1在在S S平面上平面上沿封闭曲线沿封闭曲线C Cs s按顺时针方向按顺时针方向连续变化一周，那么复变函连续变化一周，那么复变函数在数在F(s)F(s)平面上的映射也是平面上的映射也是一条封闭曲线一条封闭曲线C CF F ，但其变化方向可能是顺时针的，也可能是逆，但其变化方向可能是顺时针的，也可能是逆时针的；可能包围原点，也可能不包围原点；可能环绕原点一时针的；可能包围原点，也可能不包围原点；可能环绕原点一周，也可能环绕多周周，也可能环

10、绕多周 这取决于这取决于S S平面上平面上C Cs s 包围包围 F(s)F(s)的零点个数的零点个数Z Z和极点个数和极点个数P P 。 曲线映射23映射定理：映射定理： 设设C Cs s为为S S平面上不经过平面上不经过F(s)F(s)的任何零点、极点的封的任何零点、极点的封闭曲线，闭曲线，C Cs s中包含了中包含了F(s)F(s)的的P P个极点和个极点和Z Z个零点，则当个零点，则当动点动点s s顺时针在顺时针在C Cs s上围绕一周时上围绕一周时, , 映射到映射到F(s)F(s)平面上的平面上的闭曲线闭曲线C CF F将将逆时针逆时针环绕坐标原点环绕坐标原点 N N 次。次。 并

11、且满足并且满足: N = P-ZN = P-Z若若 N为正值，表示映射曲线为正值，表示映射曲线CF 逆时针逆时针方向环绕原点方向环绕原点N圈。圈。若若N为负值，表示为负值，表示映射映射曲线曲线CF 顺时针顺时针方向环绕原点方向环绕原点 圈。圈。若若N等于零，表示等于零，表示映射映射曲线曲线CF 没有环绕原点。没有环绕原点。N24用保角映射关系用保角映射关系证明映射定理：证明映射定理：设：设：C Cs s 包围包围 F(s)F(s)的零点个数为的零点个数为Z Z、极点个数为、极点个数为P P。 当当s s1 1 沿闭合曲线沿闭合曲线 Cs 顺时针转动一圈时，两平面上封闭曲顺时针转动一圈时，两平面

12、上封闭曲线的相角增量相同线的相角增量相同, , CF 的相角增量的相角增量可由图可由图(a)(a)关系确定关系确定25用保角映射关系用保角映射关系证明映射定理：证明映射定理： 当当s s1 1 沿闭合曲线沿闭合曲线 Cs 顺时针转动一圈时，两平面上封闭曲线顺时针转动一圈时，两平面上封闭曲线的相角增量相同的相角增量相同, , CF 的相角增量的相角增量可由图可由图(a)(a)关系确定：关系确定： nPjjPjjnZiiZiipspszszs1111)()()()()(2)2()2(PZPZnjiniipszssF11)()()(说明：说明：F(s)F(s)平面上对应的映射曲线将按平面上对应的映射

13、曲线将按逆时针方向逆时针方向包围坐标包围坐标 原点原点 N N 圈，并满足：圈，并满足： N =N =（P-ZP-Z）NZPPZsF 2)(22)(）（即即：26例例1 1 映射关系映射关系CsCF N = P-Z = 1-0 =1 N = P-Z = 1-0 =1CsCF( (说明映射曲线逆时针包围原点说明映射曲线逆时针包围原点1 1圈圈) )27例例2 2N=P-Z=1-3= -2CsCFCs (说明映射曲线顺时针包围原点说明映射曲线顺时针包围原点2圈圈)28映射定理：映射定理： 设设C Cs s为为S S平面上不经过平面上不经过F(s)F(s)的任何零点、极点的封闭曲线，的任何零点、极点

14、的封闭曲线，C Cs s中包含了中包含了F(s)F(s)的的P P个极点和个极点和Z Z个零点，则当动点个零点，则当动点s s顺时针在顺时针在C Cs s上上围绕一周时围绕一周时, , 映射到映射到F(s)F(s)平面上的闭曲线平面上的闭曲线C CF F将将逆时针逆时针环绕坐标环绕坐标原点原点 N N 次。次。 并且满足并且满足: : N = P-ZN = P-Z 映射定理给出了映射曲线映射定理给出了映射曲线CF逆时针环绕原点的圈数逆时针环绕原点的圈数N与原与原平面封闭曲线平面封闭曲线Cs内包含的开环极点数目内包含的开环极点数目P、闭环极点数目、闭环极点数目Z之之间的约束关系。间的约束关系。2

15、95.63 映射定理在闭环系统稳定性分析中的应用映射定理在闭环系统稳定性分析中的应用 Nyquist稳定判据稳定判据 为了用映射定理作稳为了用映射定理作稳定性分析定性分析, ,首先在首先在S S平面上平面上构造特殊的封闭曲线构造特殊的封闭曲线 NyquistNyquist路径路径。注意：注意： 解析性要求；解析性要求； Nyquist路径覆盖整个路径覆盖整个右半右半S平面；平面；Nyquist 路径包含路径包含F(s)的的P个极点、个极点、Z个零点。个零点。NyquistNyquist路径路径一、一、NyquistNyquist路径及其映射路径及其映射30 映射关系：映射关系： (1) S(1

16、) S平面虚轴：平面虚轴：s=js=j，在，在F F 平面上的映射曲线是：平面上的映射曲线是： F F(j(j)=1+)=1+G G(j(j) )H H(j(j) () (：-+)+) （这是这是 F F 平面的封闭平面的封闭曲线曲线） (2) S(2) S平面半径为平面半径为的右半圆：的右半圆： 映射到映射到F F 平面上为平面上为: : F () = 1+ G ()H () 1 这是这是F F 平面上的一个定点（平面上的一个定点（1,j01,j0） 这说明这说明s平面上半径为平面上半径为的右半圆，它对映射曲线是否的右半圆，它对映射曲线是否 包围原点无影响。包围原点无影响。s F 平面映射曲

17、线平面映射曲线 1G(j)H(j)是封闭曲线是封闭曲线，它环绕原点情它环绕原点情 况（转向和圈数）服从映射定理。况（转向和圈数）服从映射定理。31进一步考虑，由于：进一步考虑，由于： F(j)1G(j)H(j) (-1, j0)00GHF1 可以在可以在GHGH平面检查被分析系统的开环平面检查被分析系统的开环 频率特性频率特性G(jG(j)H(j)H(j) )（即（即NyquistNyquist曲线）曲线） 是否包围（是否包围（1 1，j0j0）来判断系统闭环右极）来判断系统闭环右极 点个数，满足映射定理：点个数，满足映射定理：N = P-Z .N = P-Z . FF平面、平面、GHGH平面

18、是平移关系平面是平移关系, , F(jF(j) )包围坐标原点就等价于包围坐标原点就等价于 G(jG(j)H(j)H(j) )包围（包围（1 1，j j0 0）；）；于是：于是：32二、二、 Nyquist 稳定判据稳定判据 当系统的开环传递函数当系统的开环传递函数G(s)H(s)G(s)H(s)在在S S平面的虚轴上无奇点平面的虚轴上无奇点（极点或零点）时，奈氏稳定判据可表示为：（极点或零点）时，奈氏稳定判据可表示为： 当当在在 -+ + 变化时，变化时，G(j)H(j)平面上平面上Nyquist曲线曲线逆时针环绕逆时针环绕(-1,j0)(-1,j0)点的圈数为点的圈数为N， 并且满足：并且

19、满足：N = P - Z Nyquist 稳定判据稳定判据给出了给出了GH平面平面Nyquist曲线逆时针环绕曲线逆时针环绕 (-1,j0)点的圈数点的圈数N与与S面开环右极点数目面开环右极点数目P 、闭环右极点数目、闭环右极点数目 Z 之间的之间的约束关系。约束关系。注意：注意： P是系统开环右极点个数，是系统开环右极点个数，P0 ； Z是系统闭环右极点个数，是系统闭环右极点个数，Z0 ； N0 表示逆时针环绕，表示逆时针环绕，N0P0）, ,其闭环稳定的其闭环稳定的 充分必要条件是充分必要条件是: GH: GH平面的奈氏曲线逆时针包围平面的奈氏曲线逆时针包围 (-1,j0)(-1,j0)点

20、点 P P 圈。圈。 即：即： N N P PZ = P (Z=0) Z = P (Z=0) 34 检验稳定判据检验稳定判据I I的条件是否成立的条件是否成立 检验映射的解析性：检验映射的解析性： 开环传递函数开环传递函数G(s)H(s)G(s)H(s)在在S S平面的虚轴上无极点和零点。平面的虚轴上无极点和零点。4. 4. 确定闭环右极点数：确定闭环右极点数： Z=P-N Z=P-N （即（即 N=P-Z N=P-Z ）3. 3. 画画NyquistNyquist曲线曲线G(j)H(j) G(j)H(j) （从从0 0+,-0+,-0） 确定其逆时针包围（确定其逆时针包围（1, j01, j

21、0）的圈数：）的圈数： N N？2. 2. 确定开环传递函数确定开环传递函数G(s)H(s)G(s)H(s)的右极点数：的右极点数：P P？用用NyquistNyquist稳定判据分析闭环稳定性的一般步骤稳定判据分析闭环稳定性的一般步骤: :意义：从开环频率特性意义：从开环频率特性 NyquistNyquist图图 上直接判断系统的闭上直接判断系统的闭 环稳定性。环稳定性。35例例1 已知系统的开环传递函数：已知系统的开环传递函数： 试用奈氏稳定判据分析系统稳定性。试用奈氏稳定判据分析系统稳定性。)0, 0()1)(1()()(2121 KTTsTsTKsHsG)1)(1()()(21 jTj

22、TKjHjG开环频率特性：开环频率特性： 画画 从从-+ 时系统的奈氏曲线时系统的奈氏曲线 分析开环稳定性：分析开环稳定性： 开环右极点数开环右极点数 P P0 0画奈氏曲线：画奈氏曲线：0型、型、n-m=2解析性：解析性：G(s)H(s)在在 S 平面虚轴上无极点。平面虚轴上无极点。解：解：3610K0eRmIGH例例1 1 奈氏曲线奈氏曲线由图看出，奈氏曲线不包围由图看出，奈氏曲线不包围 点（即：点（即：N=0），），据：据： Z = PN = 0 ( 闭环右极点数为闭环右极点数为0 ), 1( j 结论：该系统闭环是稳定的。结论：该系统闭环是稳定的。 而且不论而且不论K K值取多大，闭环

23、系统总是稳定的。值取多大，闭环系统总是稳定的。37)0(1KP2)0(PK K21T11TjS0K 例1 根轨迹图 上述结论可从此系统的根轨图得到证明。无论上述结论可从此系统的根轨图得到证明。无论K K为何值，为何值，根轨迹都在根轨迹都在S S平面左半部，系统闭环总是稳定的。平面左半部，系统闭环总是稳定的。38例例2 2 已知单位反馈系统的开环传递函数：已知单位反馈系统的开环传递函数： 试用试用NyquistNyquist稳定判据，确定系统稳定的临界稳定判据，确定系统稳定的临界K K值。值。1)( sKsG系统频率特性为：系统频率特性为： 1)( jKjG起点：起点：0 0终点：终点： KG

24、)0( arctgG )(, 0)(（3） 画画Nyquist曲线曲线G(j)H(j)（2） 开环传递函数开环传递函数G(s)H(s)有有1个右极点，个右极点，P1（1） G(s)H(s)在在 S 平面虚轴上无极点。平面虚轴上无极点。解：解：39交点：交点：K40 开环频率特性Nyquist图例例3 3 已知单位反馈系统，开环极点均在已知单位反馈系统，开环极点均在s s平面的左半平平面的左半平面，开环频率特性面，开环频率特性NyquistNyquist图如图所示，试判断闭环系统图如图所示，试判断闭环系统的稳定性。的稳定性。解解 此系统开环稳定，即此系统开环稳定，即P = P = 0 0，从图中

25、看到，从图中看到由由- -+变化时，变化时，G G(j(j) )H H(j(j) )曲线不包围曲线不包围(-1(-1，j j0)0)点，即点，即 N = N = 0 0，Z = P-N = Z = P-N = 0 0，所以，闭环系统是稳定的。所以，闭环系统是稳定的。41练习题练习题: : 已知单位负反馈系统的开环已知单位负反馈系统的开环NyquistNyquist图图, , 试分析闭环稳定性试分析闭环稳定性. .该系统闭环不稳定。则由图看出：, 2:2PNPZN42 三、三、特殊情况下的特殊情况下的Nyquist 稳定判据稳定判据 G(s)H(s)在在j轴上有极点轴上有极点(或零点或零点) 当

26、系统开环传递函数当系统开环传递函数G(s)H(jG(s)H(js s) )在在s s平面的虚轴上有极点（或平面的虚轴上有极点（或零点）时，前面定义的零点）时，前面定义的NyquistNyquist路径上有奇点，映射定理出现问路径上有奇点，映射定理出现问题。此时需要对题。此时需要对S S平面的平面的NyquistNyquist路径加以改变路径加以改变, ,使其从极小半圆使其从极小半圆上绕过虚轴上的极点上绕过虚轴上的极点, , 以证以证NyquistNyquist路径上没有奇点，使映射定路径上没有奇点，使映射定理以及理以及NyquistNyquist稳定判据成立。稳定判据成立。43处理方法说明处理

27、方法说明44新问题：作特殊处理之后，映射关系及映射曲线如何确定？新问题：作特殊处理之后，映射关系及映射曲线如何确定？ （一）（一） “ “1”1”型系统映射关系及稳定性判断型系统映射关系及稳定性判断 设设:系统开环传递函数为系统开环传递函数为 G(s)H(s) = 试分析映射关系、画映射曲线、判断系统闭环稳定性。试分析映射关系、画映射曲线、判断系统闭环稳定性。1. 开环特性开环特性 系统在系统在S平面原点处有单极点平面原点处有单极点(含一个积分环节含一个积分环节), 且且 P=0 2. 映射关系映射关系 将将S平面原点处的单极点挖去平面原点处的单极点挖去,用半径足够小用半径足够小(为为 )的半

28、圆所的半圆所取代取代,重新构成无限大半圆的封闭曲线重新构成无限大半圆的封闭曲线 CS Nyquist轨迹。轨迹。 )1( TssK45对封闭曲线对封闭曲线Cs 分三部分分别讨论映射关系：分三部分分别讨论映射关系：46 S GHA: G(j0- ) H(j0- ) = = j B: G(0 ) H(0 ) = C: G(j0+ ) H(j0+ ) = = -j A: sA = j= j0- B: sB = C: sC = j= j0+ 22 结论结论: : 小半圆小半圆 (A(AB BC)C)映射到映射到GHGH平面为平面为: : 无限大半圆无限大半圆( (顺时针沿：顺时针沿：A BB C)C)

29、(1) 小半圆部分映射关系小半圆部分映射关系: jjjjjeKeKeHeGsHsGes )()()()(设设：(2) 无限大半圆部分映射关系无限大半圆部分映射关系: S GH 22lim) 1(lim)()(limjrjjrresrerKTrereKsHsGjD: G(j ) H(j ) = 0 E: G( 0 ) H( 0 ) = 0 F: G(-j ) H(-j ) = 0 D: sD = jE: sE = F: sF = -j0结论结论: S平面无限大半圆映射为平面无限大半圆映射为GH平面的原点。平面的原点。48(3) j轴段的映射轴段的映射 )1()()()()( TjjKjHjGsH

30、sGjs )1()(;1)(22 TKYTKTX )(00)()()2()0()0( jHjGjKTjHjG它是系统的开环频率特性它是系统的开环频率特性G(jG(j)H(j)H(j) )。 )()()1()()()()( jYXTjjKjHjGsHsGjs 画画Niquist Niquist 图：图：49结论：结论： S S平面挖去原点处奇点的平面挖去原点处奇点的NyquistNyquist轨迹的映射关系分三部分：轨迹的映射关系分三部分： 虚轴映射为虚轴映射为GHGH平面的频率特性平面的频率特性G(jG(j )H(j)H(j ) ) NyquistNyquist 曲线；曲线；2. S2. S平

31、面无限小半圆映射为平面无限小半圆映射为GHGH平面的无限大半圆；平面的无限大半圆； （注意起点、方向、保角关系）（注意起点、方向、保角关系）3. S3. S平面无限大半园映射为平面无限大半园映射为GHGH平面的原点。平面的原点。 映射曲线是否包围映射曲线是否包围(-1,j0)(-1,j0)点点, , 只取决于只取决于j j轴段的映射轴段的映射结果（结果（ 即系统的开环频率特性即系统的开环频率特性G(jG(j)H(j)H(j) )NiquistNiquist图图 ）系统闭环稳定。对本例：)1()()(TssKsHsG51传递函数传递函数已知单位反馈系统开环已知单位反馈系统开环例题例题)12(10

32、)( sssG要求要求: : 用奈氏稳定判据分析系统闭环稳定性用奈氏稳定判据分析系统闭环稳定性. .解解: : 此系统为此系统为1 1型系统型系统, ,在原点处有在原点处有1 1个开环极点个开环极点, ,无右极无右极 点点,P=0 .,P=0 .起点：起点：终点：终点： )(,0)(G画画Nyquist图图: 0 2)0(,)0( G52用MATLAB作图 num=0 0 10; den=2 1 0; nyquist(num,den) axis(-30 2 -500 500) title(Nyquist Plot of G(s)=10/s(2s+1) 问题：无限大半圆如何补上？问题：无限大半圆

33、如何补上？53 稳定性判断稳定性判断 由图看出由图看出: 不论不论K大小大小, 频率特性曲线都不会包围频率特性曲线都不会包围(-1,j0)点点, 则则: N=0 ，P=0, Z=P-N = 0 结论：系统闭环是稳定的结论：系统闭环是稳定的.54（二）（二） “ “2”2”型系统映射关系及稳定性分析型系统映射关系及稳定性分析 设设: : 系统开环传递函数为系统开环传递函数为 用奈氏稳定判据判断系统稳定性用奈氏稳定判据判断系统稳定性. )0, 0() 1()()(2TKTssKsHsG (2) 映射关系分析、画映射关系分析、画GH平面映射曲线平面映射曲线 - Nyquist 图。图。(1) 系统为系统为”2”型型, P=0 . 解解:55（a）小半圆曲线段，）小半圆曲线段，小半圆上的动点满足方程：小半圆上的动点满足方程： jes )9090( ,222) 1()()(jeseseKTssKsHsGjj 2lim220 jeK)1802180( ,结论结论: : 小半圆映射到小半圆映射