随机数的生成方法学习教案

1、会计学1随机数的生成随机数的生成(shn chn)方法方法第一页，共26页。 在一定的统计意义在一定的统计意义(yy)下可作为随机样本下可作为随机样本X1，X2，Xn的一组样本值，称的一组样本值，称r1 , r2 , , rn一组具有与一组具有与X相同分布的随机数相同分布的随机数. 例例1 设随机变量设随机变量XB(1, 0.5), 模拟该随机变模拟该随机变量量X的一组样本的一组样本(yngbn)值值. 一种简单的方法是一种简单的方法是 抛一枚均匀硬币，观察出现正反面的情况，抛一枚均匀硬币，观察出现正反面的情况，出现正面出现正面(zhngmin)记为数值记为数值“1”,否则记为否则记为“0”得

2、：得： 0，0，1，0，1，1，1，0，1，0，0，0， 0，1，1，0，1，0, 可看成可看成总体总体X 的一系列样本值的一系列样本值, ,或称产生了或称产生了一系列一系列具有两点分布的随机数具有两点分布的随机数. . 第1页/共26页第二页，共26页。 需要寻求一种需要寻求一种(y zhn)简便、经济、可靠简便、经济、可靠, 并能在计算机上实现的产生随机数的方法并能在计算机上实现的产生随机数的方法.数学软件有产生常用数学软件有产生常用(chn yn)分布随机数的功能分布随机数的功能对特殊对特殊(tsh)分布分布需要数据量很大时需要数据量很大时 不太有效不太有效第2页/共26页第三页，共26

3、页。最常用、最基础的随最常用、最基础的随机数是在（机数是在（0,10,1）区间）区间(q jin)(q jin)内均匀分布的随机数内均匀分布的随机数( (简记为简记为RND) RND) 理解理解(lji)为：随机变量为：随机变量XU(0,1)的一组样本值的模拟值的一组样本值的模拟值 一般采用某种数值计算方法产生随机数序列，在计算机上运算来得到一般采用某种数值计算方法产生随机数序列，在计算机上运算来得到.通常是利用递推公式：通常是利用递推公式：),(21knnnnf 给定给定k个初始值个初始值1,2,k , 利用递推公式递推出一系列随机数利用递推公式递推出一系列随机数1 1, ,2 2, ,，n

4、 n, ,第3页/共26页第四页，共26页。乘同余法乘同余法混合混合(hnh)同余法同余法常用常用(chn yn)方法方法具有具有(jyu)较好的较好的统计性质统计性质 1乘同余法乘同余法 递推公式为递推公式为 MxrMxxnnnn)(mod1 用用M 除除xn后得到的余数记为后得到的余数记为xn+1其中其中是乘因子是乘因子, M为模数为模数(modulus),第一式是以第一式是以M为模数为模数的的同余式同余式. .给定初值给定初值x0 (称为称为种子种子),递推计算出递推计算出第4页/共26页第五页，共26页。 r1，r2，即在即在(0, 1)上均匀分布的随机数序列上均匀分布的随机数序列(x

5、li).例例2 取取x0=1，=7，M=103，有有x0=71=7 ， x1=7 ， r1x1=77=49 ， x2=49 ， r2x2=749=343 ， x3=343 ，r3x3=7343=2401 , x4=401 , r4x4=7401=2807, x5=807 , r5其余其余(qy)类推类推. 第5页/共26页第六页，共26页。 MxrMCxxnnnn)(mod1 用模用模 M 去除去除(q ch)xn+C的余数的余数其中，其中，C是非是非(shfi)负整数负整数. 例例3 ：选选=97，C=3，M=1000，得递推公式得递推公式 1000)1000(mod3971nnnnxrxx

6、取定种子取定种子x0=71，得得97x03=6890， x1=890， r197x13=86333， x2=333， r2第6页/共26页第七页，共26页。97x23=32304， x3=304， r397x33=29491， x4=491， r497x43=47830， x5=630， r5 余类推，接下来的随机数是：余类推，接下来的随机数是：，0.853有下述问题有下述问题(wnt)：1.数列(shli)rn是有周期的，周期LM（模数）； 因因0 xnM，数列，数列xn最多有最多有 M个相异值个相异值, 从而从而(cng r)rn也同样如此也同样如此.第7页/共26页第八页，共26页。2.

7、 数列(shli)rn本质上是实数列(shli), 给定初始值由递推 公式计算出的一串确定的数列(shli).不能简单等同于真正不能简单等同于真正(zhnzhng)意义的随机数意义的随机数.解决方法解决方法(fngf)与思路：与思路：1. 选择模拟参数选择模拟参数2. 对数列进行统计检验对数列进行统计检验 从计算机中直接调用从计算机中直接调用某种分布的随机数同样存在类似问题某种分布的随机数同样存在类似问题.第8页/共26页第九页，共26页。x。=1，=513，M=236 （L=23421010）1） 周期的长度取决于参数周期的长度取决于参数(cnsh)x0, 入入, M的选择；的选择； 2）

8、通过适当选取通过适当选取(xunq)参数可以改善随机数的统计参数可以改善随机数的统计性质性质. 几组供参考的参数值：几组供参考的参数值： x。=1，=7，M=1010 （L=5107）1. 选择选择(xunz)模拟参数模拟参数 在计算机上编程产生随机数还应注意在计算机上编程产生随机数还应注意浮点运算对周期的影响浮点运算对周期的影响x。=1，=517，M=212 （L=2401012）第9页/共26页第十页，共26页。2. 对数列对数列(shli)进行统计检验进行统计检验 无论用哪一种方法产生的随机数序列无论用哪一种方法产生的随机数序列 (实数实数(shsh)列列) RND, 都存在问题：都存在

9、问题： 能否能否(nn fu)将其看着是在将其看着是在(0,1)上均匀分布的连续型随机变量上均匀分布的连续型随机变量X 的独立样本值？的独立样本值？ 对应的样本是否可以看成对应的样本是否可以看成X的简单随机样本：的简单随机样本：1）X1，X2，Xn相互独立相互独立； 2）Xi U(0, 1) , (i=1, 2，n) 需判断是否具有较好的统计性质：需判断是否具有较好的统计性质：独立性独立性 均匀性均匀性进行统计检验进行统计检验 第10页/共26页第十一页，共26页。设随机变量设随机变量(su j bin lin(su j bin lin)X )X 的分布律为的分布律为 , 2 , 1, 01)

10、()0( nniipPPn令令将将P( n)作为区间作为区间(0, 1)的分点的分点:P(0)P(1)P(2)P(3)01), 2 , 1(, ipxXPii第11页/共26页第十二页，共26页。 若随机变量若随机变量(su j bin lin) RU(0,1),有有产生产生X X的随机数的算法的随机数的算法(sun f)(sun f)步骤步骤 ：(1) 产生一个产生一个(y )(0, 1)区间上均匀分布随机数区间上均匀分布随机数r(RND); (2) 若若 P(n1)rP(n) ，则令则令X 取值为取值为xn.例例3 离散型随机变量离散型随机变量X的分布律如下的分布律如下 X=x P(x)

11、0 1 2 0.3 0.3 0.4 ), 2 , 1(,)1()()()1( npPPPRPPnnnnn)()1(nnnxXPRP 令令), 2 , 1(, npxXPnn有有第12页/共26页第十三页，共26页。 设设r1，r2，rN是是RND随机数随机数，令令 iiiirrrx6 . 0, 26 . 03 . 0, 13 . 00, 0 x1，x2，xN 即具有即具有(jyu)X 的分布律的随机数的分布律的随机数. 从理论上讲从理论上讲, 已解决了产生具有任何已解决了产生具有任何(rnh)离散型分布的随机数的问题离散型分布的随机数的问题. 具体执行仍有困难具体执行仍有困难,如如X的取值是无

12、穷多个的取值是无穷多个(du )的的情况情况. 可利用分布的自身特点可利用分布的自身特点,采用其他的模拟方法采用其他的模拟方法.第13页/共26页第十四页，共26页。 例例4 随机变量随机变量(su j bin lin)XB(n,p)，其分布律为，其分布律为 随机变量随机变量X X是是 n n 次独立贝努里试验中次独立贝努里试验中, , 事件事件(shjin)A(shjin)A发生的总次数发生的总次数, , 其中其中p=P(A). p=P(A). 在计算机上模拟在计算机上模拟 n 重贝重贝努里试验努里试验(shyn)来产生二项分布来产生二项分布的随机数的随机数. 当当p 较大而计算精度要求较高

13、时较大而计算精度要求较高时 ), 2 , 1(,)1(nkppCkXPknkkn 10 p第14页/共26页第十五页，共26页。 2）统计）统计(tngj)ri （i=1，2，n）中使得）中使得 重复循环重复循环(xnhun)得到得到: n1，n2，nk即所求随机数列即所求随机数列.01p练习题：练习题：(1)生成生成100个服从个服从B(20,0.3)的随机数的随机数(2) 如何如何(rh)模拟参数为模拟参数为的泊松分布随机数？的泊松分布随机数？ri p的个数的个数ni. .算法步骤：算法步骤： 1）产生产生n个个RND r1，r2，rn； 第15页/共26页第十六页，共26页。 利用在利用

14、在(0 , 1) 区间上均匀分布的随机数来模拟区间上均匀分布的随机数来模拟(mn)具有给定分布的连续型随机数具有给定分布的连续型随机数. 两种方法两种方法(fngf)反函数法反函数法 舍选法舍选法 1) 反函数法反函数法 设连续型随机变量设连续型随机变量Y的概率函数为的概率函数为 f(x), 需产生给定分布的随机数需产生给定分布的随机数. 算法算法:1）产生产生n个个RND 随机数随机数r1，r2，rn； ;)()2iyiydyyfri中中解解出出从从等等式式 所得所得yi, i=1,2, ,n 即所求即所求.第16页/共26页第十七页，共26页。基本原理：基本原理：设随机变量设随机变量Y的分

15、布函数的分布函数F(y)是连续函是连续函数，而且数，而且(r qi)随机变量随机变量XU(0,1)，令，令Z=F1(X)。则则Z与与Y有相同分布有相同分布. 第17页/共26页第十八页，共26页。例例5 模拟模拟(mn)服从参数为服从参数为的指数分布的随机数，其概率密度函数为的指数分布的随机数，其概率密度函数为 . 0, 0, 0,)(xxexfx iyidyyfr)(代代入入公公式式iyiyxiedxer 10有有)1ln(1iiry 可可得得 若随机变量(su j bin lin) XU(0, 1)1X U(0, 1)第18页/共26页第十九页，共26页。(1ri)与与ri 均为均为RND

16、 随机数随机数 模拟公式(gngsh)可改写为iiryln1 问题：请考虑如何利用问题：请考虑如何利用(lyng)此公式模拟泊松流？此公式模拟泊松流？优点：一种普通优点：一种普通(ptng)而适用的方法；而适用的方法； 缺点缺点:当反函数不存在或难以求出时当反函数不存在或难以求出时, 不宜于使不宜于使 用用.练习：练习：生成生成100服从参数为服从参数为10的指数分布的随机数。的指数分布的随机数。第19页/共26页第二十页，共26页。2）舍选法）舍选法 基本思想基本思想(sxing)：实质上是从许多：实质上是从许多RND随机数中选随机数中选出一部分出一部分, 使之成为具有给定分布的随机数使之成

17、为具有给定分布的随机数.算法算法(sun f)步骤：步骤： (1) 选取(xunq)常数，使f(x)1，x(a, b)； (2) 产生两个产生两个RND 随机数随机数r1 、r2，令令 y= a(ba)ri ； (3) 若若 r2f(y)，则令，则令x=y, 设随机变量设随机变量X的概率密度函数为的概率密度函数为f(x)，存在存在实数实数 ab，使使 PaXb=1， 否则剔除否则剔除 r1和和r2, 重返步骤重返步骤(2).第20页/共26页第二十一页，共26页。 重复循环重复循环, , 产生的随机数产生的随机数x1x1，x2x2，xNxN的的分布分布(fnb)(fnb)由概率函数由概率函数

18、f(x) f(x) 确定确定. .舍选法算法原理分析：舍选法算法原理分析：设设PaZb=1，Z的概率密度为的概率密度为f(z),选常数选常数，使，使f(z)1，z(a，b)；随机变量随机变量X1，X2相互独立相互独立XiU(0, 1),令令 Y1=a+(ba)X1U(a, b);若若X2f(Y1)，则令，则令 X = Y1，否则剔除，否则剔除X1，X2重复到重复到(2)。 则随机变量则随机变量X的分布的分布(fnb)与与Z相同。相同。第21页/共26页第二十二页，共26页。注注, 1)( badxxf若若不不满满足足条条件件：可选取可选取(xunq)有限区间有限区间(a1, b1)，使得，使得 1)(11badxxf是很小的正数是很小的正数(zhngsh).例如例如(lr)取取 a1=3,b1=3，有，有 003. 011122)(221 dxebax 在区间在区间(a1, b1)上应用舍选法上应用舍选法,不会出现较大不会出现较大的系统误差的系统误差. 第22页/共26页第二十三页，共26页。产生产生(chnshng)正态分布正态分布随机数的方法随机数的方法反函数法反函数法舍选法舍选法坐标坐标(zubio)变换法变换法 中心极限定理中心极限定理1）坐标变换法坐标