高数2补充题解答

1、§ 11-1t ,，一， 一 二(_1)nJ 一 一 一1.判断级数Z (nk的收敛性,n42若收敛求其和.解：因为级数公比的绝对值12nI"2n故该级数收敛.其和为OOZn 4(-1广2nl解法二：因为111 一 (-1广sn =1-2 7 3 .因丁(-1)n2n32 二(-1)n I3.所以2n2 .s = lim sn = lim 1nf： nn-/.：3 |(-1)” 22ncO2 .判断级数工n 1n )3 -13n的收敛性.解：因为lim un = lim n ：n 产：n )3 -13n即级数的一般项不以0为极限, 从而该级数发散.解法二：因为二 3n -1

2、 二 二 1" nn = ' 1" f，n 1 3 nJ n 4 3qQ又因为级数£ 1发散，n 4-1收敛，所以原级数发散. n43noO2.判断级数£ (Jn2十n+1 n的收敛性.22解：lim unn_.n n 1 - n=lim-nf)；n2 n 1 n=limn一j 二n2 n 1 n11=limnI： J 11.1 -21n n二X.即级数的一般项不以 从而该级数发散.§ 11-20为极限,。1 ，1.判断级数工4nsint的收敛性.nW 8n .-4 HZ) 而级数4 I4n 1 .81 1=£ 2n n T

3、2公比q =- <1 收敛，根据比较2审敛法的极限形式知此级数收敛.2,判断级数Z nn 'tan-n4, 口nI的收敛性.解：因为当xt 0t,tanx|_|x.所以lim n un = lim n nn I tan - n-f- - f*n.limn tan- lim n -.、 n f ： n二:1,根据根值审敛法知此级数发散.3.判断级数Zn 1n J 5n的收敛性.解：因为 lim n un = lim * n -n 工二5n.n二 lim n 二 51 I 1= lim , 1 +一5 Tl n)e，【所以根据根值审敛法知此级数收敛.4.判断级数是条件收敛还是绝对收敛

4、二，11-1)nn=2ln nun1二1 -13 I 3,n=2 ln nqQ解：考虑级数 J n之因为函数f (x) uln x - X当x >2时单调减少，一 .1一f (x) = - -1 : 0,当x 2.一 x111所以='-,In n3ln n 3n而级数£工发散, nw 3n根据比较审敛法知,而V (-1)内二为交错级数, n ln n11一一潴足1-3, n =2,31|ln n ln(n 1)1及 l i m3 = 0n- ' In n则这交错级数收敛，所以原级数条件收敛.(2) Z (-1广工sin 一n=2二 n解：考虑级数£|u

5、n=£37sin 土n =2n =2：川n1 二 1因为 sin ' n, (n -2). 二 n 二而级数£47，公比q =-<1 j收敛, n：.二根据比较审敛法知此级数收敛，所以原级数绝对收敛.二 n 1(3)乙q tan ,其中q为吊数.n 1n解：考虑级数oo od£ Un =E qn 1n 1ntan1_、n因为当 xt Ot, tan x LI x.=limlinuntan-.n 1qntan 全q=lim 一n1 膂二 q|.、n根据比值比值审敛法知,当q <1时,cQ级数一n 1un=£ q tann 41 一 ,展

6、收敛,所以原级数绝对收敛.当q >1时,由于 lim q tan n-笆 n 1贝 Jmq tan -j=丰 0 ,所以原级数发散.当q =1时，考察级数'、n 1un“二1=E tan f,nW、ntan -1-因为 lim- =1 0In,一,二 1 由于级数£发散,n 1. -7 n根据比较审敛法的极限形式知,qqOQ级数 Z |un| =2 tan当q=1时，原级数成为二 1工tan j=,发目攵;n 14n当q=-1时，原级数成为£(-1)n tan：,n 生>.n此为交错级数，收敛.从而原级数条件收敛.综上，得当qw(1,1)时，原级数绝对收

7、敛；当q = -1时，原级数条件收敛.5 .设级数an an, £ bn都发散， n 4 ng且各项不为负数，考虑下列两QOQO级数 £ min(an,bn)及2 max(an,bn) n 4n 4的收敛性.证明：因为0 Wan <max(an,bn ),而级数9 an发散，n 1所以根据比较审敛法知，qQ正项级数m max (an, bn )发散. n 1QO正项级数m min (an, bn )的 n 1收敛性不确定.例如，cO级数 £ an g+0+1+0+111 发散； n 1qQ级数工bn =0 +2 +0 +2 +H|发散； n 1则级数QOm

8、min (an,bn )=0+0+0+0 + 川收敛.n 1若an =1 , bn = 2 ,则级数m min(an,bn )=1 + 1 +1 + 1 +| 发散.6 .设级数z an2 , Z bn2都收敛, n 1n 1Q0证明工一anbn必绝对收敛，n 1其逆定理是否成立？ 一 .1 O O证明：因为 0 M anbn <-(an +bn ),已知级数£ %2 , Z bn2都收敛, n z1n 1qQ则级数工(an2 +bn2 )收敛,n 1由正项级数的比较审敛法的推论知,qQ级数E |anbn|收敛, n 1从而级数£ anbn绝对收敛.n =1其逆定理不

9、一定成立.例如,设级数'in = J(T)n1, n 1 n 1nqqCQ级数£bn =£ (-叶2，则n 1 n 1、，noOoQ级数Z anbn =E y=f绝对收敛,但级数-bn2n ：1，二 1，=工一发目攵.n £ n§ 11-3n1.求幕级数_ . n 4 X£ ( T )的n 15 n收敛半径与收敛区间.解：因为a卜=lim |- | = limfann .：5n1(n 1)115nn5'所以收敛半径R = 1 = 5,P收敛区间为(-5,5).2.求幕级数£ n(n+1)xn的和函数.n 1解：先求收敛

10、域.由P = lim?|=lim 叱1)(n，2)=1, nf ann,n(n 1),一 ,，一1行收敛半径R = = 1 .P在端点x =1处,幕级数成为£ n(n+1),发散;n =1在端点x = -1处,qQ幕级数成为£ (-1)nn(n+1),发散.n 1因此收敛域为(-1,1).设和函数为s(x),oO即 s(x)=£ n(n+1)xn , x = (-1,1).n 1于是0oOs(x) ='、' n(n 1)xn n(n 1)xn，n 1n 12° =x _ ! x = x 产 x n 3n 1、，2x(1 - x) x2二

11、X I212x-x2-x I2-1(1 -x)2 一= x<J_ (1-x)2|-1 (JX)N=x 0 2(1-x)j =(1-x)3 '(1-x)2(-1 <x <1).§ 11-4x 21 .将（2+e ）展开成x的幕级数.解：已知exJ- xn ，一 八二 ,(-:-< x -： ). nzo n!=2 4ex (ex)2=2 Ye',2'=2 4:心:血，n=o n!n=o n!（-二：二 X 二qQ所以 2-ex 2 =2 .一n =e4 2n nn! X ,（一二<x < 收).12 .将函数 f（x）=6 x

12、展成（x-1 ）的幕级数.X <1.解：已知 所以 7n 1§ 11-7二7)n 9x -1<1.(-1尸的和.bn=0, (n =1,2,111).an2- x1 2 cosnxdx0x -1由 一 <1,得 x-1 <7, 7即-6<x<8.所以(-1)n(x-1)n二 2 .° x d sin nx=2 x2sinnx 'n 二 一 0冗2xsin nxdx0n2 二ji° x dcosnxxcosnxl。- ° cosnxdx-1 I - i二n2 二cos n 一一 sin nx 0nn 4=(-1&

13、quot;，(n =1,2,111). na0X2dX冗2.故得0 二 03函数f (x)的傅里叶级数展开式为-2 二 n 4=一 %-1 cosnx,3-0,得.42 n0 =32 rn贝 U0 =3CO-4n 1122， n(-1尸2n212“0， 12.已知 f (x) =4A,.；：J x _ 二XE1，写出f (x)以2n为周期的傅里叶级数的和函数S(X)在-%K上的表达式.Io, 1 ：.二X 一二解：即X" A = 0解：由收敛定理知:0, s(x) = A,A ,1 < X < H,X <1,X = 1.Q03.设 x2 =£ an cos

14、 nx , (一nWxWn n z0求a2 解：由已给的余弦级数知，2f (x) =x , Ex 工n).由于它为偶函数，所以2 二 2a2x cos2xdx二01 二 2x d(sin2x)二01 - 2- 1冗 1 户 2= x sin2x lo - I sin2xd(x )2 二.八.1 二,c、=一- xsin2xdx = xd(cos2x) 二0二01,c:1二xcos2xcos2xdx二0二,0=h -0bin2xf = 1 .二2 二0§ 11-81 .将函数 f (x) =x2 -x, (-2 < x<2 )展为以4为周期的傅里叶级数.解：所给函数满足收敛

15、定理的条件,周期T =21 =4, 所以l =2.计算傅里叶系数如下:1 2an =22 2=0 x 8s2n二 xx -x cos-dxn二 xdx22 2 n二 x , n二 x x cosd I 0222_._ n二x x sin2xsin ojx2d 'sin o2xd I cosoxcos2 o n22 JI2cos0n二 x ,dx2162cosn 二n 二.sin_ 16=2n 二ao=2bn=22f(x2 -x - 222二 x -x二一 xsino2 2dx = 0 x dxn二 xsindxn二 x , dx22 . n二 x , n二 xxsind I 3 222 2 n二 x xd cosn二0.22 n二 x 2 2 n二 x二一 xcos 一一 cosdxn±IL2 0n二.0224 n二 x 2二3 2cosn 二一产 sin n -n _2 0 n二一(T )