高二数学直线和圆的方程教案 人教版

1、高二数学直线和圆的方程教案一、知识框架二、重点难点重点：直线的倾斜角和斜率，直线方程的点斜式、两点式，直线方程的一般式；两条直线平行与垂直的条件，两条直线的夹角，点到直线的距离；用二元一次不等式表示平面区域，简单的线性规划问题；曲线与方程的概念，由已知条件列出曲线方程；圆的标准方程和一般方程，圆的参数方程；难点：解析几何的基本量；对称问题；直线与圆的位置关系；与圆和直线有关的轨迹问题；三、知识点解析1、直线（1）直线的方程： 1）直线的倾斜角、斜率及直线的方向向量： 直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么

2、就叫做直线的倾斜角；若直线和轴平行或重合时，则倾斜角为；直线倾斜角的取值范围是； 直线的斜率：倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，用来表示，即；倾斜角是的直线没有斜率；倾斜角不是的直线都有斜率，其取值范围是； 直线的方向向量：设是直线上不同的两点，则向量称为直线的方向向量；向量也是该直线的方向向量，是直线的斜率； 直线斜率的求法：（）定义法：依据直线的斜率定义求得；（）公式法：已知直线过两点，且，则斜率；（）方向向量法：若为直线的方向向量，则直线的斜率；2）直线方程的五种形式：（）斜截式：；（）点斜式：；（）两点式：；（）截距式：；（）一般式：。（2）点和直线、两直线之间的位

3、置关系： 1）点和直线的位置关系：设点，直线，则若点在直线上，则满足：；点到直线的距离：； 2）两直线的位置关系：设直线，：两直线平行：，且或；两平行线，之间的距离为：；两直线相交：（）到的角满足，且；（）与的夹角满足，且；（）：当、的斜率存在时，有；一般情况有：；两直线重合：，且或。（3）简单的线性规划： 1）二元一次不等式表示平面区域： 在平面直角坐标系中，已知直线，坐标平面内的点：时，若，则点在直线的上方；若，则在下方；也就是说：时， 表示直线上方区域；表示其下方区域； 2）线性规划： 定义：求线性目标函数在线性的约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划； 满足线性约束条件的解叫

4、做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解； 线性规划问题一般用图解法，步骤如下：（）根据题意，设出自变量；（）找出线性约束性条件；（）确定线性目标函数：；（）画出可行域（几个约束条件所示区域的公共区域）；（）利用线性目标函数作平行直线系（为参数）；（）观察图形，找到直线在可行域上使取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案。2、圆（1）曲线和方程： 1）一般地，在直角坐标系中，如果某曲线（看作是和某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系：曲线上的点的坐标都是这个方程的解，以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这

5、个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线； 2）求曲线的方程一般有五个步骤：建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点的坐标；写出适合条件的点的集合；用坐标表示条件，列出方程；化方程为最简式；证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。（2）圆的方程： 1）圆的标准方程：圆心为，半径为的圆的标准方程为； 2）圆的一般方程：二次方程（）是圆的一般方程，可以化简为的标准方程，圆心为，半径为，具有几个特点：项系数相等且不为零，没有项；当时，表示点；当时，方程不表示任何图像；根据条件列出关于的三元一次方程组，可确定圆的一般方程； 3）圆的参数方程：圆心在，半径为的圆的参数方程为（为参数）

6、；圆心在，半径为的圆的参数方程为（为参数）； 4）二元二次方程表示圆的充要条件：。（3）直线与圆的位置关系：方程的观点，利用判别式：，直线和圆相交；，直线和圆相切；，直线和圆相离；几何的观点，利用圆心到直线的距离和半径的大小：，直线和圆相离；，直线和圆相切；，直线和圆相交。四、例题1、 直线例1 关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的 （ ）。A、任一条直线都有倾斜角，也都有斜率； B、直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；C、平行于x轴的直线的倾斜角是0或； D、两直线的斜率相等，它们的倾斜角相等；E、两直线的倾斜角相等，它们的斜率相等； F、直线斜率的范围是。答 DF。oxy例2 如图，

7、直线的斜率分别为，则：（ ）A、 B、 C、 D、答 B。例3 填空（1） 若则 ；若则 ；（2） 若，则 ；若 ；（3） 若则的取值范围 ；若,则的取值范围 。答 （1），；（2），；（3），。例4 一条直线经过点，倾斜角，求这条直线方程，并画出图象。分析 此题可直接应用直线方程的点斜式，意在使学生逐步熟悉直线方程的点斜式。解 这条直线经过点，斜率是，代入点斜式方程，得，即，这就是所求直线方程。图形如下：例5 一直线过点，其倾斜角等于直线的倾斜角的2倍，求直线的方程。分析 此题已知所求直线上一点坐标，所以只要求得所求直线的斜率即可。根据已知条件，先求出直线的倾斜角，再求出所求直线的倾斜角，进

8、而求出斜率。解 设所求直线的斜率为，直线的倾斜角为，则，代入点斜式得：，即：。说明：通过此题要求学生注意正切两倍角公式的正确运用。例6 已知直线的斜率为，与轴的交点是，求直线的方程。解 将点，代入直线方程的点斜式得：，即。说明 (1)上述方程是由直线的斜率和它在轴上的截距确定的，叫做直线方程的斜截式；(2)我们称为直线在轴上的截距；(3)截距可以大于0，也可以等于或小于0。例7 已知直线与轴的交点为，与轴的交点为，其中，求直线的方程。分析 此题条件符合两点式的适用范围，可以直接代入。解 由两点式得，即1。说明 (1)这一直线方程由直线在轴和轴上的截距确定，所以叫做直线方程的截距式；(2)截距式

9、适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线。例8 三角形的顶点是，这个三角形三边所在的直线方程。解法一 (用两点式)直线经过点，由两点式得，整理得：，这就是直线的方程。直线经过点，由两点式得，整理得，这就是直线的方程。直线经过点，由两点式得，整理得，这就是直线的方程。解法二 (用斜截式求所在直线方程)，由斜截式得，整理得，这就是直线的方程。解法三 (用截距式求直线的方程)直线的横、纵截距分别为5，2，由截距式得1，整理得，这就是直线的方程。例9 为何值时，直线与，(1)平行；(2)垂直。解 当或1时，两直线既不平行，也不垂直；当且时，直线的斜率为，；直线的斜率为，。（1）当，即，解得或，所以当或时

10、，两直线平行；（2）当，即·1，解得，所以当时，两直线垂直。例10 直线与直线的平行，则的值为（ ）A、2 B、-3 C、2或-3 D、-2或-3解法一 ，当时，显然不平行于；当时，若，须。由式有,解得或。显然或满足。应选C。解法二 若，须,解得或。当或时，或为所求。 应选C。例11 与互相垂直，则为（ ）A、-1 B、1 C、±1 D、-解：。两直线垂直，整理，得，应选C。例12 求与直线平行且过点的直线的方程。分析 本题己知一点坐标，故可考虑用直线方程的点斜式求解，而互相平行的两直线斜率相等；或者可设出与L平行的直线系方程，再利用题设求解。解法一 设直线的斜率为，与直线

11、平行，。又经过点可得所求直线方程为，即。解法二 设与直线 平行的直线的方程为，过点，所以有：，解得，所求直线方程为。例13 已知的顶点坐标为，求边上的高所在的直线方程。分析 边上的高所在直线的斜率与直线的斜率互为负倒数，然后用点斜式求解。解 设边上的高所在直线斜率为，则，又，由点斜式得：，即：。例14 求与直线平行，且在两坐标轴上截距之和为的直线的方程。分析 由与直线为。平行联想，可设直线的方程为,也可由两截距之和为，设直线的方程为。解法一 设直线的方程为。令，得y轴上截距；令，得x轴上截距， -+（-）=，解得，所求直线的方程为。 解法二 设直线方程为，解得，所求直线方程为。例15 求直线的

12、夹角(用角度制表示)。解：由两条直线的斜率得，。例16 等腰三角形一腰所在直线的方程是，底边所在直线的方程是，点(2，0)在另一腰上，求这条腰所在直线的方程。分析 已经已知上一点，故求出的斜率即可，如图，根据等腰三角形的性质，可得到，即，而分别为直线到与到的角，而根据公式这两角都可用斜率表示，由此可建立关于的方程。解 设的斜率分别为3，到的角是，到的角是，则，。因为所围成的三角形是等腰三角形，所以，即3，将代入得3，解得。因为经过点(2，0），斜率为2，写出其点斜式方程为，即：，这就是直线的方程。评述 此题应用了到的角的公式及等腰三角形有关知识，并结合了直线方程的点斜式，要求学生注意解答的层次

13、。例17 当为何值时，直线过直线与的交点?解法一 解方程组，得交点(4，9)。将代入得，解得。解法二 过直线与的交点的直线系方程为，整理得：y与直线比较系数，得，即。例18 求点到下列直线的距离：(1) ；(2) 。解 （1）根据点到直线的距离公式得；（2）因为直线平行于轴，所以。评述 此例题（1）直接应用了点到直线的距离公式，要求学生熟练掌握；（2）体现了求点到直线距离的灵活性，并没局限于公式。例19 求两平行线，的距离。解法一 令代入的方程，得，所以直线在轴上的截距为，同理可求得直线在轴上的截距为。又，所以原点在直线与同一侧；又由已知，可求出原点到直线与的距离为，。所以平行线与的距离。解法

14、二 ，又，由两平行线间的距离公式：若，（不全为0)，则与之间的距离，于是得。例20 已知直线与夹角的平分线为，如果的方程是，那么的方程是 ( ) A、 B、 C、 D、解 设直线与直线的交点为。由，解得，点的坐标为()。又的斜率为，由直线到直线的角等于直线到的角，得，根据直线的点斜式得的方程为 即。答 A。例21 已知、满足约束条件，分别求、的值，使下列目标函数取得最值：(1)；(2)解 (1)作出约束条件所表示的平面区域，即可行域，如图一，可行域为凸五边形，目标函数为，作一组平行直线(为参数)，由图可知，当直线经过原点时，取得最小值；当直线通过点时，直线离原点最远，此时取得最大值，解方程组，

15、得点的坐标为(2,3)。综上所述，当，时，取得最小值；当，时，取得最大值。 图一 图二 (2)目标函数，作一组平行线，如图二所示。由图象知，当直线经过原点时，取得最小值；当直线与边重合时，取最大值。综上所述，当，时，取得最小值；当，且时，取得最大值。 例22 某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72，第二种有56，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示。每生产一只圆桌可获利6元,生产一个衣柜可获利10元。木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜各生产多少,才使获得利润最多?产 品木料(单位)第 一 种第 二 种圆 桌018008衣 柜0090

16、28解 设生产圆桌只,生产衣柜个,利润总额为元,那么 而。如上图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域。作直线,即,把直线向右上方平移至的位置时,直线经过可行域上点,且与原点距离最大,此时取最大值解方程组,得点坐标(350,100)。答 应生产圆桌350只,生产衣柜100个,能使利润总额达到最大。例24 某养鸡场有1万只鸡,用动物饲料和谷物饲料混合喂养。每天每只鸡平均吃混合饲料0.5kg，其中动物饲料不能少于谷物饲料的。动物饲料每千克0.9元,谷物饲料每千克0.28元,饲料公司每周仅保证供应谷物饲料50000kg，问饲料应怎样混合,才使成本最低。解 设每周需用谷物饲料kg,动物饲料k

17、g,每周总的饲料费用为元,那么,而如下图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域。作一组平行直线,其中经过可行域内的点且和原点最近的直线,经过直线和直线的交点,即,时,饲料费用最低。所以,谷物饲料和动物饲料应按5:1的比例混合,此时成本最低。 例25 下表给出甲、乙、丙三种食物的维生素A、B的含量及成本:甲乙丙维生素A(单位/千克)维生素B(单位/千克)成本(元/千克)400800760020064004005营养师想购这三种食物共10千克,使之所含维生素A不少于4400单位,维生素B不少于4800单位,问三种食物各购多少时,成本最低?最低成本是多少?解 设所购甲、乙两种食物分别为千克

18、、千克,则丙种食物为(10-)千克。 、应满足线性条件为 ,化简得。作出可行域如上图中阴影部分目标函数为,令,作直线,则直线经过可行域中时,最小,即,答 甲、乙、丙三种食物各购3千克、2千克、5千克时成本最低,最低成本为58元。例26 某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送180吨支援物资的任务,该公司有8辆载重为6吨的A型卡车与4辆载重为10吨的B型卡车,有10名驾驶员,每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次,B型卡车3次,每辆卡车每天往返的成本费用为A型卡车320元,B型卡车504元,请你给该公司调配车辆,使公司所花的成本费用最低。解 设每天调出A型卡车辆,B型卡车辆,公司所花成本为元,

19、则据题设可得如下约束条件:，即 作出可行域如下图中的阴影部分,作直线,把直线向右上方作平行移动,经过点时取最小值,但不是整数,所以(,0)不是最优解。继续平移直线,直线上的整点(5,2)应是首先经过的,使取最小值,。答 每天调出A型卡车5辆,B型卡车2辆,公司所花成本最低。2、 圆例1 已知两定点、间的距离为2,求动点到两定点、的距离之比为：的点的轨迹方程。分析 先合理建系,再对与分别进行讨论。解 先建系,设,当时,动点为、两点连线的中垂线,即；当时,由,即即例2 在中,若边上的高长为2,求垂心的轨迹方程。解 顶点在上方或下方。当在上方时,设垂心,则当时,边上高的斜率,由,即,即。当时,垂心与

20、点重合;当时, 垂心与点重合,而这两点坐标均适合轨迹方程,点在轴上方时,的轨迹方程是。当点在轴下方时,垂心的轨迹方程是。例3 过点作互相垂直的直线、,分别交轴正向于,交轴正向于,求线段中点的轨迹方程。分析 思路一:设中点为。若能把点坐标转移到、两点,再利用,问题便可解决；思路二:若设斜率为,则斜率为,再建立、方程,求得、两点坐标,继而得点坐标用表示,最后消去便可达到目的,在上述考虑中,要注意斜率存在与不存在两种情况；思路三:因为、四点共圆,所以,用直接法最简捷。解 方法一:设中点为,则、()。当不垂直于轴时,由,即,化简得。当轴时,点坐标为(3,4),满足上述方程。故点轨迹方程为()。 方法二

21、:当不垂直于轴时时,设斜率为,则斜率为,得方程为,方程为,从而得,。由,消参数,得。当轴时,点坐标为(3,4),满足上述方程,故点轨迹方程为()。例4 已知两点和,求以为直径的圆的方程。分析一 从确定圆的条件考虑，需要求圆心和半径。解 设圆心,则,圆的半径，所求圆的方程为。 分析二 从图形上动点的性质考虑,根据圆周角是直角可知。 解 设是圆上任意一点,即,化简并整理得例5 求过两点,且圆心在直线上的圆的标准方程。分析一 因为、是圆上的两点,所以圆心在弦的垂直平分线上,又圆心在已知直线:上,故圆心是直线、的交点。解 由题可得线段的中点坐标为(2,5),直线的斜率为,线段的垂直平分线的斜率为,故线

22、段的垂直平分线方程为,即,由解得圆心的坐标为(4,1),半径,所求的圆的方程为。分析二 确定一个圆需且只需三个条件,本题亦可用待定系数法求解。分析三 因为圆心在直线上,可设,又、在圆上,故,可求出,即(4,1),所求的圆的方程为。例6 已知直线:与圆:。(1)判断直线与圆的位置关系；(2)求直线被圆所截得的弦长。 解 (1)分析一 联立方程组,消去后整理得到,方程组有两组不同的实数解,即直线与圆相交。分析二 圆心(7,1)到直线的距离为,故直线与圆相交。(2)分析一 解方程组、的坐标求。分析二 由方程组（利用弦长公式）。分析三 解由弦心距,弦长之半,半径构成的直角三角形可得。例7 过点(2,4)作圆的切线,试求切线的方程。解 分析一 设点斜式方程利用切线性质求。点不在圆上,设方程的方程为,即。圆心(0,0)到切线的距离等于半径,解之得,切线的方程为。当斜率不存在时,方程为,此时直线也和圆相切。故所求的切线方程为和。分析