机械震动--单自由度系统的无阻尼自由振动

1、1第二章第二章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动以弹簧质量系统为力学模型，讨论单自由度无阻尼系统的固有振动和自由振动，有阻尼的系统根据阻尼的大小分为过阻尼、临界阻尼及欠阻尼三种状态固有振动的表现形式为简谐振动，其固有频率的计算方法有静变形法、能量法、瑞利法以及等效刚度、等效质量法2 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 一、自由振动的概念一、自由振动的概念：3 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动以弹簧质量系统为力学模型以弹簧质量系统为力学模型4 运动过程中，总指向物体平衡位置的力称为恢复力恢复力。 物体受到初干扰后，仅在系统的恢复力作用下在其平衡位置附近的振动称为

2、无阻尼自由振动无阻尼自由振动。 质量质量弹簧系统：弹簧系统： )(xkmgxms 令x为位移，以质量块的静平衡位置为坐标原点，当系统受干扰时，根据牛顿第二定律，有：5 0 /22xxgmk令nsn 在静平衡时有：skmgkxxm 振动微分方程为：)(xkmgxms )sin(tAxn方程的通解为：方程的通解为：6)sin(tAxn7二、单自由度系统无阻尼自由振动微分方程及其解二、单自由度系统无阻尼自由振动微分方程及其解 对于任何一个单自由度系统，以x 为广义坐标（从平衡位置开始量取 ），则自由振动的运动微分方程必将是：0cxxa a, c是与系统的物理参数有关的常数。令acn/2则自由振动的微

3、分方程的标准形式：则自由振动的微分方程的标准形式：02xxn 方程的通解解方程的通解解为：)sin(tAxn8 或：tCtCxnnsincos21C1，C2由初始条件决定2112221tanccccA这里A和与C1和C2的关系为：9 设 t = 0 时， 则可求得：00 , xxxx nx CxC/ ,02 01txtxxnnnsincos 000022020arctg , xxxxAnntCtCxnnsincos211011 三、自由振动的特点三、自由振动的特点： A物块离开平衡位置的最大位移，称为振幅。 n t + 相位，决定振体在某瞬时 t 的位置 初相位，决定振体运动的起始位置。 T

4、周期，每振动一次所经历的时间。 f 频率，每秒钟振动的次数， f = 1 / T 。 固有频率，振体在2秒内振动的次数。反映振动系统的动力学特性，只与系统本身的固有参数有关。 nT2n12 无阻尼自由振动的特点是无阻尼自由振动的特点是： (2) 振幅A和初相位 取决于运动的初始条件(初位移和初速度)；(1) 振动规律为简谐振动；(3)周期T 和固有频率 仅决定于系统本身的固有参数(m,k,I )。n四、其它四、其它 1. 如果系统在振动方向上受到某个常力的作用，该常力只影响静平衡点O的位置，而不影响系统的振动规律，如振动频率、振幅和相位等。 13固有频率固有频率及固有周期固有周期 kmTnn2

5、2mkn只与振动系统的弹簧常量只与振动系统的弹簧常量k和物块的质量和物块的质量 m 有关，有关，而与运动的初始条件无关，所以称为固有频率。而与运动的初始条件无关，所以称为固有频率。固有周期固有周期固有圆频率，为了方便也称固有圆频率，为了方便也称为固有频率，是系统的固有为固有频率，是系统的固有特性，与系统是否振动无关特性，与系统是否振动无关sgmk/14固有频率固有频率及固有周期固有周期 对于不易得到刚度或质量的系统，对于不易得到刚度或质量的系统，若能测出静变形，可用上式计算固有频率。若能测出静变形，可用上式计算固有频率。sngmkw1516重物匀速下降时处于静重物匀速下降时处于静6 .1910

6、5*47. 1104*78. 5*980Wgkmkwn平衡位置，若将坐标原点取在绳被卡住瞬时重物所平衡位置，若将坐标原点取在绳被卡住瞬时重物所在位置，则在位置，则t=0时有时有:vxx000其振动规律为：其振动规律为：txtxxnnnsincos 00解：解：17vxx000其振动规律为：其振动规律为：txtxxnnnsincos 00因为：因为：根据：根据：)(6 .19sin28. 16 .19sin60*6 .19100*15sin)( cmtttvtxnn18绳中的最大张力等于静张力绳中的最大张力等于静张力与因振动引起的动张力之和与因振动引起的动张力之和)(6 .19sin28. 1)

7、( cmttxNkAWkATsT5554510*21. 210*74. 010*47. 128. 1*10*78. 510*47. 1max可见动张力几乎是静张力的一半，由于可见动张力几乎是静张力的一半，由于kmvwvkkAn因而为了降低动张力，应该降低系统的刚度因而为了降低动张力，应该降低系统的刚度19 例例2.2 图示的直升机桨图示的直升机桨叶经实验测出其质量叶经实验测出其质量为为m，质心，质心C距铰中心距铰中心O距离为距离为l。现给予桨。现给予桨叶初始扰动，使其微叶初始扰动，使其微幅摆动，用秒表测得幅摆动，用秒表测得多次摆动循环所用的多次摆动循环所用的时间，除以循环次数时间，除以循环次数

8、获得近似的固有周期，获得近似的固有周期，试求桨叶绕垂直铰试求桨叶绕垂直铰O的的转动惯量。转动惯量。 OlCm g20解：取图示坐标系，将直升机桨叶视为一物解：取图示坐标系，将直升机桨叶视为一物理摆，根据绕固定铰的动量矩定理得到其理摆，根据绕固定铰的动量矩定理得到其摆动微分方程摆动微分方程sin0mglJ sinJmgl00nnmglJTJmgl 002,JmglTn0224 JJmlc02OlCm g21例 2.3 一个质量为m的物体从h高处自由落下，与一根抗弯刚度为EJ、长L的简支梁作完全非弹性碰撞，不计梁的质量，求梁的自由振动的频率和最大挠度。Mx22由材料力学可知简支梁在重物mg作用下的

9、静变形为：Mx解：解：EJmgls483故自由振动频率为：以梁受重时平衡位置为坐标原点，以撞击时为0时候348mlEJgwsnghx，xs200则自由振动振幅为：ghwxxAsn2)(2200梁的最大挠度为：sAmax2324251. 由系统的振动微分方程的标准形式由系统的振动微分方程的标准形式2. 能量法能量法： 2 求系统固有频率的方法求系统固有频率的方法02qqn stngst：集中质量在全部重力 作用下的静变形n由Tmax=Umax , 求出3. 瑞利法：瑞利法：4. 等效刚度法等效刚度法:26 无阻尼自由振动系统为保守系统，机械能守恒。 当振体运动到距静平衡位置最远时，速度为零，即系

10、统动能等于零，势能达到最大值（取系统的静平衡位置为零势能点）。 当振体运动到静平衡位置时，系统的势能为零，动能达到最大值。mgAkAkUstst22max21)(212max21 kAUmgkst如：2. 能量法能量法：27 mkkAmAUTnn 2121 222maxmax由 能量法是从机械能守恒定律出发，对于计算较复杂的振能量法是从机械能守恒定律出发，对于计算较复杂的振动系统的固有频率来得更为简便的一种方法。动系统的固有频率来得更为简便的一种方法。222max2121nmAxmT28 例例1 图示系统。设轮子无侧向摆动，且轮子与绳子间无滑动，不计绳子和弹簧的质量，轮子是均质的，半径为R，质

11、量为M，重物质量 m ，试列出系统微幅振动微分方程，求出其固有频率。29 解解 ： 用机械能守恒定律 以x为广义坐标（取静平衡位置为原点）22222)23(21 21)(22121xmMxmRxMRxMT 以平衡位置为计算势能的零位置，并注意轮心位移x时，弹簧伸长2xgxmMxkkxgxmMxkUststst)(22 )()2(2222因平衡时gxmMxkst)(222kxU 30 由 T+U= 有：constconstkxxmM222)23(2104)23(kxxmM mMkxmMkxn2380238 对时间 t 求导，再消去公因子 ，得x 31 例例2 鼓轮：质量M，对轮心回转半径，在水平

12、面上只滚不滑，大轮半径R，小轮半径 r ，弹簧刚度 ，重物质量为m, 不计轮D和弹簧质量，且绳索不可伸长。求系统微振动的固有频率。21 , kk32 解解：取静平衡位置O为坐标原点，取C偏离平衡位置x为广义坐标。系统的最大动能为：33 ) )()( ( )(21 )(21212max21max22max21maxRkkrRmgxkkxRrRmgxkkUststst2max22222max2max22maxmax 21 )(21 )(21)(21xr)m(R)RM(RxRrRmRxMxMT系统的最大势能为：34 设 则有)sin(nAxnAxAxmaxmax , )(21 2)()(221max

13、222222maxAkkUARrRmRMTn根据Tmax=Umax , 解得222221)()()(rRmRMRkkn35 例例 半径为半径为r、质量、质量为为m的圆柱体在半的圆柱体在半径为径为R的内圆柱面的内圆柱面上绕最低点作纯上绕最低点作纯滚动，试求其微滚动，试求其微振动的固有频率。振动的固有频率。 ROACBrvc3637 38 利用能量法求解固有频率时，只考虑了惯性元件的动能，而忽略不计弹性元件的质量所具有的动能，因此算出的固有频率是实际值的上限。 但在有些工程问题中，弹性元件本身的质量因占系统质量相当大的比例而不能忽略，否则算出的固有频率会明显偏高2. 瑞利法瑞利法： 弹性元件的质量

14、实际是分布质量，可以先利用动能计算将分布质量等效为质中质量，加到原来的惯性元件的集中质量上，仍作为单自由度系统来处理，从而得到更精确的固有频率的近似值，这种方法称为瑞利法。39 2. 瑞利法瑞利法：Lksds例.求考虑弹簧质量时系统的固有频率40 形状函数形状函数：设平衡时弹簧长L，振动中质量m的位移为x(t),弹簧上距固定端s处的位移即与t有关又与s有关，即应写为y(s,t),显然，当s=L时有：Y(l,t)=x(t)假设弹簧在振动时的形状（即弹簧的变形形式）是仅与s有关而与t无关的函数f(s)，则弹簧各点在振动中的位移可表示为Y(s,t)=x(t)f(s) 0s1f(s)就为形状函数。它的

15、定义是质量m有单位位移时弹簧各点相应的位移，弹簧各点的速度为：Lksds)()(),(sftxtsYt41 LksdsllkdssfxdststT02220)(21),(21弹簧单位质量为 ,系统的动能为系统的最大动能为：max220max2max2max)(21)(2121xmmemdssfxxmTlledssfm02)(其中：enmmkw42 例：计算考虑弹簧质量时弹簧质量系统的固有频率例：计算考虑弹簧质量时弹簧质量系统的固有频率43 例：计算考虑弹簧质量时弹簧质量系统的固有频率例：计算考虑弹簧质量时弹簧质量系统的固有频率解：解：F(0)=0, f(l)=1则其等效质量为：则其等效质量为：

16、lssf)(3131)(22020mldslsdssfmell44 2. 等效质量与等效刚度法：等效质量与等效刚度法：eenMkw Ke及Me称为简化系统的等效刚度及等效质量 瑞利法中将弹性元件的分布质量等效为集中质量，从而使一个复杂的系统简化为弹簧质量系统。 工程中有许多较复杂的单自由度都可简化为弹簧质量系，简化方法有两种，一种为能量法，即在选定广义位移坐标x之后，将系统的动能，势能写成如下形式：简化后得固有频率的形式为：222121xKUxMTee45 2. 等效质量与等效刚度法：等效质量与等效刚度法：另一种定义另一种定义: 使系统在选定的坐标上产生单位位移而需使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力要在此坐标方向上施加的力,叫做系统在这个坐叫做系统在这个坐标上的等效刚度标上的等效刚度 使系统在选定的坐标上产生单位加速度而使系统在选定的坐标上产生单位加速度而需要在此坐标方向上施加的力需